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Búgia – camminando s’impara!

Búgia è un’espressione vernacolare piemontese che significa “muoviti!” – e per inciso, precisiamo, i piemontesi si auto definiscono “búgia nën”, ovvero riluttanti a muoversi, o a smuoversi, dai propri luoghi o dalle proprie posizioni.

Búgia però è anche il nome di una città dell’Algeria, quella dove visse il celebre Leonardo Fibonacci, il padre dell’aritmetica e dell’algebra moderne nella loro declinazione europea.

Ebbene, con questo articolo che parte da Búgia (in Algeria) e arriva al Canavese (in Piemonte) dove è nata chi scrive, intendo innanzitutto dimostrare che esiste almeno un contro esempio al sopracitato pregiudizio “piemontesi Búgia nën” – di cui mi candido ad essere soggetto.

Sì, perché secondo me ha ben ragione Sir Ken Robinson quando insiste che il modello di scuola con gli studenti ai banchi 24/7 è perdente, nel senso che fa perdere molte, troppe opportunità non solo agli studenti – aggiungo io – ma anche agli insegnanti.

Personalmente provengo da una scuola superiore (un liceo scientifico) dove il professore di lettere, enciclopedia ambulante rigorosamente “fuori dalle righe”, almeno un giorno alla settimana ci portava fuori dall’aula. Niente di eclatante, sempre nella nostra piccola città di provincia e di campagna che si attraversava tutta, a piedi, in non più di un quarto d’ora: la visita a un museo, un’intera ora di spiegazione davanti all’affresco nascosto in una chiesetta a 2 minuti dalla scuola…

Oppure biblioteca, biblioteca e ancora biblioteca. Lì scoprivamo libri, autori, argomenti inimmaginati, enciclopedie da favola. L’archivio era ancora a schedine di cartone, bisognava aver ben dimestichezza con l’alfabeto (sic!), e quale reverenziale timore quando si scopriva che il volume richiesto era custodito là dove solo il bibliotecario poteva entrare, quando il libro era così prezioso e unico che lo si poteva soltanto consultare in sala…

… Ma sto divagando, mi perdo nei ricordi… Torniamo a noi! Il nocciolo della questione è che si usciva, si usciva e si camminava, persino la ginnastica non era più fine a se stessa, così come la letteratura, la logica, la memoria…. Si respiravano l’arte, la storia, la topografia e gli algoritmi di ricerca sul pavé delle stradine laterali, sulle scale della biblioteca, sulle dita che scorrevano gli archivi.

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Lo storico tram di Milano atm 1503, fonte: Wikimedia Commons (Giorgio Stagni)

Altri tempi? E perché? Forse che i motori di ricerca sul web ci sono di ostacolo? Anzi, allargano gli orizzonti! Oggi possiamo in pochi secondi sognare di arrivare fino a Búgia, in Algerìa, … oppure arrivarci davvero dopo aver sognato, sulle orme di Fibonacci … Oppure no, perché i tempi storici sono ben difficili, il mondo non è più quello di una volta! Eppure … Oppure … Chi ci impedisce di uscire, camminare, sognare non sui banchi ma tra le vie di una città, non importa quale, ché anche lì un Fibonacci magari un’orma l’ha lasciata, un’impronta, un’eco da riscoprire tra il frastuono del traffico quotidiano…

Perché il fine della conoscenza, giustifica sicuramente i mezzi … specie quelli pubblici, per studiare respirando, in giro per le nostre belle città! 🚋🏛🚀

… perchè non siamo mica qui a calcolare radici quadrate !

Se il matematico creativo può eventualmente trovare topologicamente interessante anche pettinare le bambole, sicuramente non è vocazione di nessuno passare la vita a calcolare radici quadrate, con buona pace delle calcolatrici elettroniche!

Non per niente il buon Pitagora “inventò” le famose terne che portano il suo nome. In altre epoche e culture, sappiamo che il parimenti buon Abu-l-Wafa al-Buzjani, nel X secolo del nostro calendario, utilizzava la terna 3-4-5 per verificare la perpendicolarità – e non di cateti di triangoli inventati ad hoc per fare esercizi, ma di muri ed angoli di pavimenti, stante che era un geometra e architetto tra i più sapienti della sua epoca, per inciso padre -tra le molte cose – della moderna trigonometria.

Il (un) fascino delle terne pitagoriche sta nel fatto che permettono di creare senza fatica infiniti triangoli rettangoli apparentemente diversi fra di loro: lo studente diligente e accorto si rende facilmente conto, dopo i pochi primi esercizi proposti dal libro, che i numeri in ballo sono sempre gli stessi, o perlomeno risultano fortemente imparentati fra di loro. Se ha avuto anche un insegnante accorto ( = che gli ha spiegato le terne pitagoriche evitando di considerarle una perdita di tempo), si sarà a quel punto accorto (e scusate le ripetizioni) che gran parte degli esercizi si risolvono facilmente con l’uso delle terne: niente di più difficile di un 3-4-5 o più rare volte un 5-12-13 per non dire qualche sporadico 7-24-25.

I problemi che presentano come dati di partenza le proporzioni tra i lati, poi, sono il più delle volte fatti per lasciar trasparire la terna sottostante, cosa che permette di risolvere il triangolo con pochi semplicissimi calcoli in aritmetica di base. Ricordo perfettamente quanto insistette su questo punto il mio insegnante di quinta elementare! Peccato invece trovare talvolta oggi, persino nel biennio superiore, chi delle terme pitagoriche non sospetta neppure l’esistenza, e instrada gli studenti a un diligentissimo uso della calcolatrice per ottenere risultati approssimati, il più delle volte senza nemmeno introdurre la minima consapevolezza sul fatto che le macchine – più degli esseri umani – sono soggette all’errore.

Alla domanda allora “a cosa serve” che gli studenti si tramandano speranzosi di una risposta di generazione in generazione, il rischio è che si debba rispondere un serio e sincero “solo a farti prendere dimestichezza con il concetto”. Perché a parte forse il Flatiron building di New York, il famoso “ferro da stiro”, tanti triangoli rettangoli con cui avere a che fare “nella vita di tutti i giorni” non è che se ne trovino: non tutti gli angoli di strada sono quello tra la Fifth Avenue e Broadway!

flatiron_crop

E non tutti gli architetti si chiamano Abu-l-Wafa, che misurava l’angolo retto con una “squadra” di lati 3-4-5! E in ogni caso da noi le “squadre” sono costruite sulla misura degli angoli (triangolo rettangolo isoscele con gli angoli acuti di 45° e metà del triangolo equilatero con gli angoli acuti di 30° e 60°) e non sulle proporzioni dei lati. Paradossalmente forse proprio per l’eredità di quel che Abu-l-Wafa ci ha genialmente tramandato: scherzi del destino e della storia!

E tant’è … pare tra l’altro che le nostre “pitagoriche” amiche venissero in realtà dalla Cina, ma questa, forse potrà essere un’altra pagina futura di questo blog.

 

Condividi et impera

Nell’epoca dei social media, sembra diventato anacronistico parlare di “proprietà intellettuale”: le idee circolano alla velocità del pensiero (e a quale altra dovrebbero?) e le regole del web-marketing stabiliscono che “dopo un tot che girano” siano elette a trend, o per dirla in italiano a tendenza di costume.

Così – credo di poter dire – nasce la nuova cultura anche cartacea dei post-millennials. E mentre i “nuovi dirimpettai” diventano i frequentatori delle “social street”, mentre gli ex smanettatori di gameboy (o di ameboidi, come mi suggeriva il correttore automatico) vanno a caccia di luoghi d’arte con la scusa di visitare fantasmi (o era il contrario?) e mentre ancora la didattica online la si fa preferibilmente scrivere agli studenti – “specie quelli creativi che giocano ai quiz elettronici”, mi vien da citare – il web, lo spazio social, diventano il terreno di libera caccia dove possibilmente accaparrarsi qualsiasi cosa non sia stata diligentemente protetta con un qualche grado di disciplina stile “creative commons” – il cui utilizzo, per inciso, richiede una percentuale di vite parallele a disposizione almeno pari a quelle necessarie per portare avanti una seria caccia ai famosi fantasmi culturali con il Pokemon Go.

Resta il dilemma sempre più amletico: posto o non posto? Mi ritaglio un po’ di visibilità gratuita sapendo che qualcuno approfitterà senza scrupoli di coscienza del mio “regalo”, o resto in un benedetto anonimato condividendo con i miei “amici” – quelli veri, pochi e intimi e perlopiù digiuni di matematica – le mie quattro idee che credo di poter dire “buone”?

Riflettendoci, sono sicura che alla fine la risposta giusta sta in un modello predatore-preda: se la preda smette di pubblicare le sue idee, il predatore cosa pubblicherà? Ma se il predatore non è soltanto tale, ma ha a  sua volta delle idee, non potrà la preda stessa invertire il suo ruolo e approfittarne per tenere vivo il suo spazio vitale sul web?

Al vivace lettore trovare (eventualmente su Google) l’equazione di questo modello : possiamo chiamarlo “predatore-preda a ruoli alternati”? 

E no, lo so cosa state pensando: per come la vedo io,  non è la stessa cosa della simbiosi. E se per puro caso fosse un’idea nuova… vedete un po’, ve la sto servendo su un piatto d’argento, fatene buon uso 😉 🚴🏻🚴🏻🚴🏻

Riflessioni per la didattica

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Le simmetrie sembrano essere l’argomento tabù della scuola italiana: prendono troppo tempo, oppure l’insegnante stesso le ha studiate in modo perlopiù autodidatta e quindi non si sente a suo agio, oppure semplicemente non piacciono, stanno antipatiche …

oppure non se ne vede l’utilità, e quanta sarebbe invece!

con le nuove tecnologie e la sovrabbondanza di immagini a disposizione di tutti sul web, oggi non sembra più scusabile un’omertà sull’argomento.

Noi di idee ne abbiamo parecchie! e voi?

Visita la raccolta di materiali su http://www.facebook.com/RIPASSINO

 

Il teorema di Pitagora generalizzato

Dopo quasi tre mesi di silenzio-blog, passati con molto piacere a presentare a un pubblico niente affatto virtuale alcuni degli argomenti di ricerca tra i miei preferiti, rimbocchiamoci le maniche e torniamo al lavoro!

Prendo spunto da uno dei miei libri di testo preferiti di geometria per il biennio superiore, anche se non so quanto sia adottato: Pigreco / Geometria di Palladino-Scotto-Frixione (edizioni Principato, la mia è una copia-saggio del 2003). Mi piace per la scelta sempre molto acuta, ragionata e ben curata degli esercizi.

Ad esempio, nel capitolo sui teoremi di Pitagora ed Euclide, troviamo tra gli esercizi una proposta di “Teorema di Pitagora generalizzato ai triangoli ottusangoli” e di “Teorema di Pitagora generalizzato [per triangoli qualunque]”. Evviva! Ora li vediamo, tutti e due.

Così alla cieca, mi chiederete sicuramente: “ma come, non abbiamo ancora le funzioni trigonometriche fondamentali e già introduciamo Carnot?”, oppure (formulazione equivalente alla precedente): “e come si fa, senza la trigonometria?”

… eppur si muove! … ebbene sì! Eppure si può lo stesso, ed è anche molto semplice e interessante. E vale la pena annotarlo fuori-classe, così, informalmente su un blog amatoriale, per ricordarsi di fare un’operazione complessa ma sicuramente meritevole di essere tentata, anche se apparentemente impossibile visto che l’insegnante del biennio non sarà quasi mai lo stesso del triennio, e i tempi didattici renderanno impraticabile qualsiasi “fuori programma”, per quanto piacevole e utile possa essere. Ovvero, creare continuità didattica tra biennio e triennio, che non si limiti al “dare per scontate le nozioni di base” ma vada un po’ al di là, servendo da vero e proprio amplificatore di conoscenze. Impossibile?

Ebbene no! Come dice la pubblicità: “immagina… puoi!” Immaginiamo un mondo dove l’insegnante del biennio proponga il “teorema di Pitagora generalizzato”, consigliando agli studenti di annotarlo negli appunti di teoria in coda al teorema di Pitagora “standard edition”. E che poi al quarto anno, quando finalmente si osa parlare di seno, coseno e tangente, dica a un certo punto agli studenti: “vi ricordate il teorema di Pitagora generalizzato?” … e – udite udite! – magari riesca anche a intavolare una mezz’ora di discussione su quale sia il legame tra le due versioni, geometrica e trigonometrica! Sarà un parere mio, da sognatori professionisti, ma sono quelle mezz’ore tutt’altro che perse, nelle quali agli studenti può improvvisamente aprirsi un mondo, una visione più profonda e più allargata della materia, non più da percepire come “quelle cose da studiare per domani, punto e basta” o “quelle formule che servono a risolvere i triangoli (ma rigorosamente solo quelli degli esercizi sul libro di testo)”.

E quindi a noi, ecco uno dei due esercizi (prossimamente pubblicati anche sul sito openprof.com):

TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO AI TRIANGOLI OTTUSANGOLI

In un triangolo ottusangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo ottuso è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati più il doppio del rettangolo che ha per dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell’altro su di esso.

Detto così, è terribile! Sono di aiuto una figura e un’enunciazione in formule:

disegno pitagora ottusi

L’enunciato dice che il quadrato costruito sul lato maggiore BC (quello opposto all’angolo ottuso) è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, più due volte il rettangolo che ha per dimensioni uno dei lati minori (ad esempio AC) e la proiezione su quest’ultimo del terzo lato (ovvero in questo caso il segmento AH, esterno ed adiacente ad AC).

Quindi in formule:

pitagora generalizz ottusi formula

L’esercizio consiste appunto nel dimostrare questa relazione.

Lo si ottiene facilmente applicando successivamente il teorema di Pitagora. Quindi lo lascio come esercizio. Fatemi sapere se serve aiuto, ma francamente non è per niente difficile.

Ebbene, riusciamo a riconoscere in questa formula il teorema di Carnot? Anche questo non è difficile affatto.

Arrivo a una rapida conclusione, ma prometto che ritorneremo sull’argomento. Solo una riflessione (ma correggetemi se sbaglio) su quanto poco viene ancora curata la corrispondenza pratica di concetti come le funzioni trigonometriche: l’applicazione ai triangoli è forse l’ultima cosa che si studia, dopo aver visto il grafico cartesiano e tutte le formule di trasformazione, fini a se stesse.

Non è consolante trovare un problema del biennio che già imposta una formula avanzata come quella di Carnot? Possiamo fare qualcosa per togliere a noi insegnanti l’imbarazzo di non saper rispondere alla sacrosanta domanda “a cosa serve”?

Con questo e in attesa dei vostri graditi commenti, un augurio di buon weekend

🙂

 

 

Santa pazienza!

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Restiamo sul tema Curriculum Inspirations #2, (http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf) da predigerire con meticolosa attenzione nella separazione degli aspetti degni di interesse.

Il primo è certamente quello dell’equazione con valori assoluti in due variabili proposta dal quesito:
|x+y|+|x-y|=2, di cui nell’ultimo post “Una funzione… quadrata”, http://wp.me/p2liCw-3I) abbiamo anticipato il grafico.

Stanton chiede per prima cosa: “che sensazione vi procura la vista di questa equazione?”
Ma noi non ci lasciamo impressionare.

La nostra reazione istintiva è semplicemente un ritroso “noooooo….”, dovuto a cosa?
Analizziamo freddamente:
– al fatto che ci sono i valori assoluti
– al fatto che ci sono due variabili
– al fatto che c’è una stuzzicante simmetria nella struttura dell’equazione, che promette artifici di calcolo e altre bizzarìe alle quali non riusciremo ad esimerci di sottoporci.

I valori assoluti.
Niente di che, c’è una semplice procedura standard per affrontarli. E’ solo lunga e potenzialmente noiosa. Fine.

Le due variabili.
Qui un appunto si, lo dobbiamo fare: chi ci ha mai abituato a lavorare con una sola equazione in due variabili? Ci mancano i riferimenti culturali di base: com’è fatto l’insieme delle soluzioni? Come lo si gestisce?
Reazione istintiva: Aiuto!! Ho un’equazione in due variabili, e niente con cui metterla a sistema!!

La stuzzicante simmetria.
E’ crudelissima, perchè ci stimola a cercare di affrontare l’equazione, ce la rende attraente, impedendoci di fuggire senz’altro indugio il fatidico quesito.

E’ a questo punto che scatta l’ingrediente segreto di ogni buon compito di matematica: la santa pazienza!
Armiamoci di santa pazienza, e – come dice Stanton – cominciamo a fare qualcosa.
Cosa?
Quello che normalmente si fa con i valori assoluti.
Esplicitiamo i diversi casi dei valori assoluti: si tratta di un’operazione puramente algebrica, e forse navigando nella nebbia di questa arriveremo anche a darci la risposta rispetto all’insieme delle soluzioni. Questa prassi di fiducia nella “leggibilità geometrica” del calcolo algebrico, in effetti va trasmessa agli studenti, poichè non è affatto istintiva nè scontata.
La vera lezione, ripetiamo, è la santa pazienza:
Esplicitiamo dunque le 2×2=4 equazioni in cui si scompone il valore assoluto a seconda dei casi:

Caso x+y>=0 e x-y>=0: l’equazione diventa (x+y)+(x-y)=2, ovvero 2x=2, ovvero x=1 …. wow!

Caso x+y>=0 e x-y<0: l’equazione diventa (x+y)+(y-x)=2 ovvero y=1 …. wow wow!

Caso x-y>=0 e x+y <0 : l’equazione diventa -(x+y)+(x-y) =2 ovvero y=-1

Caso x-y < 0 e x+y < 0 : l’equazione diventa -(x+y)-(x-y)=2, ovvero x=-1

Fino a qui, tutto bene: abbiamo ottenuto espressioni semplici: siamo galvanizzati e fiduciosi… ma allora cos’è questo senso di disagio che ancora ci vàriega?

Ma certo: siamo a disagio rispetto agli insiemi di validità delle quattro espressioni.

Allora, riprendiamo dalla cassetta degli attrezzi la santa pazienza e cominciamo ad analizzare il primo:

x+y>=0 e x-y>=0

anche qui le reazioni istintive ci tempestano immediatamente:
domanda 1: ma è possibile che siano vere contemporaneamente queste due espressioni? (Risposta: “lo scopriremo solo vivendo…”, ovvero, portando i calcoli fino in fondo)
domanda 2: ma come si gestisce una disequazione in due variabili? (Risposta lunga: se un’equazione in due variabili ha come insieme delle soluzioni una funzione con un grafico, la disequazione in due variabili avrà come insieme delle soluzioni la parte di piano soprastante o sottostante quel grafico. Risposta breve: la si risolve graficamente)

Quindi evviva, risolviamo graficamente!
… Come si fa?
Riprendiamo la risposta lunga alla domanda 2 e trasformiamola in procedura operativa:
1) Trovare le equazioni associate.
In questo caso sono x+y=0 (ovvero y=-x, bisettrice del II e IV quadrante) e x-y=0 (ovvero y=x, bisettrice del I e III quadrante).
2) Intersecare le parti del piano soprastanti i grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione “>=0” o sottostanti ai grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione <0.

Ma attenzione: quando consideriamo la disequazione, dobbiamo verificare che la sua forma corrisponda a quella dell’equazione associata, altrimenti rischiamo di sbagliare. Ad esempio, nel nostro primo caso la seconda disequazione è x-y >= 0 mentre la nostra equazione in forma esplicita è y=x : i segni delle y non corrispondono. Per poter valutare correttamente il semipiano da considerare nella risoluzione grafica, converrà portare la disequazione nella stessa forma esplicita dell’equazione associata, e visto che y era negativa, il verso della disequazione deve cambiare. Otterremo: y <= x, quindi il semipiano da considerare sarà quello sottostante e non soprastante il grafico dell’equazione.

E ci voleva tanto?

No, solo un po’ di tempo, calma e concentrazione per dedicarsi a questo in modo esclusivo.

Quindi, nel primo caso, intersechiamo il semipiano soprastante la bisettrice del II-IV quadrante con il semipiano sottostante (mi raccomando!!) la bisettrice del I-III quadrante. Otteniamo l’angolo retto compreso tra le due bisettrici contenente il semiasse x positivo.
L’insieme di validità della seconda equazione sarà invece l’angolo tra le due bisettrici contenente il semiasse y positivo. E così via fino a ricomporre tutti e quattro gli spicchi del quadrato.

Passarci un po’ di tempo, vale davvero la pena!

~ gabriella giudici

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