Modulo x – e le potenze di 10

Recidiva ma non frettolosa, prima di arrivare al nocciolo della mia questione latente, estendo – come arte matematica vuole – la primitiva domanda Come si comportano le potenze di 10 modulo sette¬†e mi riprometto in queste righe, poche o tante che saranno, di passare in rassegna come si comportano le potenze di 10 anche nell’aritmetica modulo 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9.

Vediamo quindi

Le potenze di dieci

modulo 2

10 : 2 = 5 con resto 0

Quindi tutte le potenze strettamente positive di 10 sono 0 modulo 2, mentre 10^0 = 1 e ovviamente 1 resta.

Per quanto riguarda le potenze negative, in realtà vi è il problema che la divisione per 10 in modulo due è equivalente a una divisione per zero, quindi impossibile. Infatti il 10 (e tutte le sue potenze), essendo pari, è congruo a 0 modulo 2.

Modulo 3

10 : 3 = 3 con resto 1, quindi 10¬†‚Č° 1 mod 3

Di conseguenza tutte le potenze maggiori o uguali a 0 sono congrue a 1 modulo 3.

Vediamo le potenze negative:

1 : 10¬†‚Č° 10 : 10 mod 3 [ho aggiunto 9 al dividendo]¬†‚Č° 1 mod 3

Ho quindi verificato che anche tutte le potenze negative danno 1 nel quoziente modulo 3. Insomma… un mondo di uni.

Modulo 4

10 : 4¬†‚Č° 2 mod 4

10^2¬†‚Č° 2^2 mod 4¬†‚Č° 0 mod 4

Queste due informazioni mi dicono che tutte le potenze positive di esponente maggiore o uguale a 2 saranno congrue a 0, mentre la prima potenza di dieci è congrua a 2 e la potenza di esponente zero è come sempre congrua a 1.

Per quanto riguarda la divisione, essendo il 2 (rappresentante del 10) un divisore dello zero, ed essendo tutte le potenze di grado pi√Ļ alto congrue a 0, la divisione per 10 e per le sue potenze non √® possibile in aritmetica modulo 4.

Modulo 5

Potenze con esponenti strettamente maggiori di zero: come per il modulo 2, il risultato sarà sempre 0 modulo 2.

Come nel caso del 2, essendo il 10 nella classe dello 0, la divisione per 10 e per le sue potenze è impossibile in aritmetica modulo 5.

Modulo 6

10 : 6¬†= 4 mod 6 … finalmente succede qualcosa di non triviale!

10^2¬†‚Č°¬† 4^2 mod 6 ‚Č° 16 mod 6¬†‚Č°¬† 4 mod 6

… e indovina un po’, visto che 4^2 fa sempre 16 e quindi 4… tutte le potenze maggiori di zero saranno congrue a 4 nella divisione modulo 6.

Potenze negative:

Poichè il 4 è un divisore dello zero in aritmetica modulo 6, le potenze negative di 10 rappresentano una operazione impossibile in tale aritmetica.

Spoilerando - Essere o non essere divisori dello zero in aritmetica modulo 6 Immagine creata con Cmap tools - ilripassinodimatematica.com

Essere o non essere divisori dello zero in aritmetica modulo 6 – Immagine creata con Cmap tools da ilripassinodimatematica.com

 

Modulo 7

Ne abbiamo già parlato qui.

Modulo 8

Essendo otto il cubo di due, già mi immagino cosa succede.

Abbiamo 10¬†‚Č° 2 mod 8; 100¬†‚Č° 2^2 = 4 mod 8; 1000¬†‚Č° 2^3 = 0 mod 8.

Siamo quindi di nuovo ai divisori dello zero; tutte le potenze di dieci dalla terza in poi saranno congrue a 0, e le potenze negative di dieci non si potranno esprimere in quanto il 10 appartiene alla classe di un divisore dello zero, ovvero la divisione per 10 è impossibile in aritmetica modulo 8.

Modulo 9

Come nel caso del 3 e ancora pi√Ļ facile: abbiamo

10¬†‚Č° 1 mod 9, quindi tutte le potenze di dieci, positive, negative o nulle, saranno congrue a 1 modulo 9.

Ecco qua, la completezza della trattazione anche stavolta è salvaguardata.

A presto per un approfondimento sugli strampalati criteri di divisibilità per sette.

#staytuned #ditelavostra #aritmeticamodulare

 

 

 

Quindici – un numero al giorno

Numero dopo numero, eccoci al quindici!

Come per il quattordici, e per il quattro, il cinque e il sei, doppia scrittura che evidenzia le differenze (tra parentesi) delle consuetudini in uso nell’area persiana.

180520Un numero al giorno - 015

Ricordando che abbiamo scritto il nome in forma femminile (quindi con l’unit√† al maschile e la decina al femminile – vedi spiegazioni estese nella scheda relativa al numero tredici), la forma maschile del numero sar√† khamsat ‘ashar: si cambia il genere sia nelle decine (concordanti con il numerato) sia nelle unit√† (di genere opposto rispetto al numerato).

Ripeto ancora perch√© repetita juvant: l’oggetto numerato va sempre al singolare.

Per fare finalmente un esempio dopo tanto parlare, diremo khamsat ‘ashar yawmin (¬ęquindici giorni¬Ľ).

Per oggi è tutto riguardo ai numeri; nei prossimi giorni concluderemo la seconda decina.

#unacinquinaalgiorno #nonpropriotuttiigiorni #staytuned

Quattordici – un numero al giorno

Eccoci al quattordici.

Come gi√† detto nelle altre schede, ho scelto di scrivere i numeri nella forma femminile sulla scheda, con la particolarit√†, come ho spiegato nella scheda del numero tredici, che l’unit√† concorda con il genere opposto (quindi in parole povere ¬ędiscorda¬Ľ), mentre la decina rispetta il genere dell’oggetto numerato.

Abbiamo anche detto che l’oggetto numerato sar√† sempre al singolare.

180520Un numero al giorno - 014

Come gi√† visto per il numero quattro, la scrittura tra parentesi indica la forma in uso nell’area persiana.

Non perdetevi tutti i numeri fino al 15 in uscita oggi!

#unacinquinaalgiorno #nonpropriotuttiigiorni #staytuned

Tredici – un numero al giorno

Eccoci al numero tredici.

Come gi√† detto nelle schede dell’undici e del dodici, per il numero arabo scriviamo la forma femminile. Dal tredici in poi notate in modo evidente una particolarit√†: mentre la decina concorda con il genere, l’unit√† concorda con il genere opposto. Per questo non vedete la finale -ah che indica la t√Ę’ marb√Ľtah tipica del femminile, la quale compare invece nella decina.

180520Un numero al giorno - 013

La forma maschile invece sar√† thal√Ęthah ‘ashar.

Un’altra particolarit√† da sapere √® che il nome che segue (l’oggetto numerato) sar√† sempre al singolare.

Che dire… contare non √® mai stato cos√¨ complicato!! Ma s√¨, d√†i, ce la possiamo fare!!

#unnumeroalgiorno #unacomplicazionealgiorno #permeèarabo

 

Dodici – un numero al giorno

Veniamo al numero dodici: qui vediamo bene la differenza fra decine ed unità.

180520Un numero al giorno - 012

Con consuetudine gi√† avviata con il precedente numero undici, indico anche la forma maschile del numero arabo, che in tal caso si legge ithn√Ę ‘ashar¬†(come sempre la th √® un suono unico, simile all’inglese di thing, cos√¨ come la sh √® quella dell’inglese she).

A seguire nei prossimi post tutti i numeri fino al 20.

#unnumeroalgiorno #anchepi√Ļdiuno #staytuned

Undici – un numero al giorno

Proseguiamo con i numeri: oggi tocca al numero undici.

Ricordate che in arabo le cifre vanno dalla pi√Ļ bassa alla pi√Ļ alta da destra a sinistra, proprio come in italiano e nelle lingue europee!

180520Un numero al giorno - 011

Ancora una nota per l’arabo: dal momento che vi sono differenze tra il maschile e il femminile, ho optato per scrivere la forma femminile di ciascun numero.

Per il numero undici la forma maschile corrispondente √® aHad ‘ashar.¬†Approfittiamone per notare che la lettura coinvolge prima le unit√† e poi le decine: da destra a sinistra quindi, tutto torna!

#unnumeroalgiorno #secondadecina #staytuned

Fidarsi √® bene ma… l’artimetica modulare √® meglio

In un¬†¬ęattacco d’arte matematica¬Ľ, proprio ieri ho scritto un po’ di getto l’articolo ¬ęModulo sette – come si comportano le potenze di dieci¬Ľ che, vi confesso, al momento √® uno dei miei preferiti di tutto il blog (anche per il fatto che in quanto a lunghezza, √® uno dei rari post a meritare di essere chiamato¬†¬ęarticolo¬Ľ).

Oggi, con questo nuovo post, mi accingo a rimediare a quell’orribile¬†¬ęfidatevi¬Ľ, buttato l√¨ fra un’affermazione indimostrata e l’altra, che autogiustifico soltanto con la necessit√† di non finire infrattata in un frattale di pensieri divergenti, precisazioni necessarie e chi pi√Ļ ne ha pi√Ļ ne metta (e noi ben sappiamo che la mente fine ne pu√≤ sempre trovare di nuovi: la catena non avr√† mai soltanto un numero finito di passi).

Riprendo quindi le propriet√† delle quattro operazioni aritmetiche rispetto al quoziente modulo un numero, e questa volta finisco quello che ho cominciato. Riprendo con l’addizione, mi perdonerete i copia-incolla e le ripetizioni dall’articolo di ieri.

L’aritmetica modulare: un’esperienza di tutti i giorni

C’√® chi la chiama l’¬ęaritmetica dell’orologio¬Ľ, ma √® anche l’¬ęaritmetica della settimana¬Ľ, quella dell’anno, quella del goniometro… a parte la retta euclidea, c’√® qualche cosa che non sia ciclico, nell’universo?

Di che cosa si tratti, l’abbiamo definito ieri in questo articolo. Vediamo ora come si comporta l’aritmetica modulare rispetto alle quattro operazioni aritmetiche ordinarie.

Addizione

Abbiamo gi√† visto nell’articolo pluricitato che il resto modulo n della somma a + b √® dato dalla somma dei resti degli addendi a e b (salvo ulteriore passaggio al quoziente modulo n).

Sottrazione

Partiamo dalla teoria: chiamiamo a il minuendo e b il sottraendo della nostra operazione. Potremo scrivere:

a = c ‚čÖ n + r(a)

b = d ‚čÖ n + r(b)

ora, ammesso che possiamo operare la sottrazione a – b (e la risposta naturalmente varia, a seconda dell’ambiente numerico utilizzato), avremo:

a – b =¬†c ‚čÖ n + r(a) – (d ‚čÖ n¬†+¬†r(b))¬†=¬†c ‚čÖ n¬†+¬†r(a)¬†–¬†d ‚čÖ n ¬†–¬†r(b) = c ‚čÖ n ¬†–¬†d ‚čÖ n +¬†r(a) –¬†r(b) =¬†

= (c – d)¬†‚čÖ n +¬†r(a) –¬†r(b)

In definitiva, anche per quanto riguarda la sottrazione, il modulo della differenza è uguale alla differenza dei moduli.

Con qualche piccola complicazione, però.

Consideriamo ad esempio l’apparentemente banale sottrazione 18 – 6 e passiamo ai resti modulo 7.

Avremo r(18) = 4 e r(6) = 6. Che dire di r(18 – 6)?

Se operiamo la sottrazione prima di calcolare il resto modulo 7, otteniamo facilmente la risposta: r (12) = 5.

… quindi devo dedurne che, nell’aritmetica modulo sette, 4 – 6 = 5? Ebbene s√¨!

Proprio grazie alle propriet√† dell’aritmetica modulare, dove ci√≤ che conta sono i resti e non i multipli interi del modulo, ogni qual volta abbiamo una sottrazione¬†¬ęimpossibile¬Ľ, ovvero con il sottraendo maggiore del minuendo, possiamo aumentare il minuendo di una quantit√† pari al modulo o a un multiplo del modulo sufficientemente grande da permetterci di contenere il sottraendo.

In questo caso è sufficiente aggiungere 7 al primo termine della sottrazione. Otteniamo

11 – 6 = 5

e questa volta il risultato ha ben poco di aleatorio!

Moltiplicazione

Come spesso ci dimentichiamo (perlomeno da quando ci hanno addomesticato al concetto di campo numerico, dove addizione e moltiplicazione sono due mondi paralleli), in realt√† la moltiplicazione non √® che una scrittura abbreviata dell’addizione, nel caso particolare in cui tutti gli addendi siano uguali fra di loro.

Quindi in definitiva la moltiplicazione non √® che un caso particolare di addizione. Ci aspettiamo quindi che le stesse propriet√† che valgono per l’addizione continuino a valere per questa nuova operazione. Verifichiamolo con tanto di dito nella piaga degli esempi numerici!

Partiamo da un esempio: voglio calcolare il resto modulo 7 (tanto per cambiare) del numero 27 che considero come prodotto 9¬†‚čÖ 3.

Avrò

27¬†‚Č° 6 (mod 7)

D’altra parte so che 9¬†‚Č° 2 (mod 7) e 3¬†‚Č° 3 (mod 7). Quindi la mia propriet√† in questo caso √® verificata: il resto del prodotto corrisponde al prodotto dei resti.

Vediamo cosa succede a livello strutturale:

Come sempre scrivo

a = c ‚čÖ n + r(a)

b = d ‚čÖ n + r(b)

Passiamo al prodotto. Ottengo

a¬†‚čÖ b = (c¬†‚čÖ n + r(a))(d ‚čÖ n + r(b)) =¬†c¬†‚čÖ n ‚čÖ d ‚čÖ n + r(a)‚čÖ d ‚čÖ n + r(b)‚čÖ c ‚čÖ n +¬†r(a)‚čÖ r(b) =

= (c¬†‚čÖ n ‚čÖ d + r(a)‚čÖ d + r(b)‚čÖ c) ‚čÖ n +¬†r(a)‚čÖ r(b)

Abbiamo quindi verificato algebricamente che il resto del prodotto è uguale al prodotto dei resti.

Divisione

Anche nel caso della divisione potremmo appellarci alla sua stretta parentela con la sottrazione (basti pensare a quante sottrazioni successive comporti una divisione in colonna).

Vediamo comunque l’esempio della divisione intera con resto. Partiamo da un case study con numeri veri.

Butto lì due numeri a caso (utilizzando, tanto per non essere monotematica, il modulo 7):

1172 : 348 = 3 con resto 128 (provate con le sottrazioni successive!).

Passiamo alle classi di resto modulo 7. Avremo:

1172¬†‚Č° 3 (mod 7)

348¬†‚Č° 5 (mod 7)

128¬†‚Č° 2 (mod 7)

Scrivendo la nostra divisione nella forma

1172 = 3¬†‚čÖ 348 + 128

quello che possiamo verificare √® che passando ai resti modulo 7 vale ancora l’espressione corrispondente:

3¬†‚Č° 3¬†‚čÖ 5 + 2 (il tutto modulo 7)

infatti¬†3¬†‚čÖ 5 + 2 = 17 ha resto 3 nella divisione per 7.

In formule, vediamo perchè funziona tutto ciò.

Se stiamo dividendo a : b, potremo scrivere

a = k¬†‚čÖ b + R

e come di consueto avremo

a = c ‚čÖ n + r(a)

b = d ‚čÖ n + r(b)

ma anche

R =¬†Z ‚čÖ n + r(R)¬† ¬†[il resto del resto, pittoresco!!]

Mettendo insieme tutti gli ingredienti e mescolando bene, otteniamo

c ‚čÖ n + r(a) =¬†k¬†‚čÖ¬†(d ‚čÖ n + r(b)) +¬†Z ‚čÖ n + r(R)

e buttando via tutti i termini multipli di n, restiamo con la formula

r(a) =¬†k¬†‚čÖ r(b) + r(R)¬†

Ecco quindi verificato che la relazione tra dividendo, divisore e resto rimane invariata passando ai moduli. Rettificando una versione precedente di questo stesso articolo, ci tengo a precisare che anche il fattore k in rosso nella formula, se pure abbia il suo significato di ¬ęinvariante¬Ľ nei passaggi fin qui illustrati, naturalmente pu√≤ essere sostituito dal suo valore modulo n, se pure in un passaggio successivo, riapplicando i resti modulo n all’ultima uguaglianza scritta qui sopra.

Poich√® r(a), r(b) e r(R) sono gi√† resti modulo n, non subiranno pi√Ļ altre variazioni e otterremo quindi la semplificazione finale

r(a) = r(k) ‚čÖ r(b) + r(R)¬†

#equimifermo #aritmeticamodulare #moduloèbello

 

 

 

 

 

Modulo sette – come si comportano le potenze di 10

immagine by ilripassinodimatematica.com

Modulo 7: spoilerando il finale dell’articolo, immagine by ilripassinodimatematica.com

Quando non sai come passare il tempo libero e allora ti interroghi su qualcosa che sicuramente è già stato ampiamente studiato, ma tu non lo sai. Ad esempio, sul come si comportano le potenze di 10 nella divisione modulo 7.

La domanda per me ha una relazione con il fatto che secondo Luca Pacioli, la¬†¬ęprova del 7¬Ľ nelle operazioni aritmetiche √® molto pi√Ļ affidabile che non la¬†¬ęprova del 9¬Ľ, ma non viene utilizzata per il fatto che il criterio di divisibilit√† per 7 √® praticamente inesistente. Ma allora – si chiese la nostra redattrice – se si riuscisse a trovare non una vera e propria regola ma almeno una¬†¬ęregolarit√†¬Ľ, non sarebbe possibile comunque applicare la pacioliana pi√Ļ precisa prova? (4 p di seguito,¬†¬ępago da bere¬Ľ – solo soft drinks, naturalmente).

Ed eccomi qui a tentare una risposta. Ripeto: sono sicura che qualcun altro l’ha gi√† data prima di me, non ho modo di andare a documentarmi se non in tempi asintotici, faccio prima a scrivere ex-novo, abbiate pazienza e se ne sapete pi√Ļ di me sono benvenuti i vostri commenti e suggerimenti bibliografici!

La ¬ęprova¬Ľ delle operazioni aritmetiche

Prima dell’era delle calcolatrici e degli smartphone, le operazioni si facevano a mano per iscritto, il che era gi√† un passo avanti rispetto all’abilit√† necessaria per il volatilissimo calcolo sull’abaco; anzi, potremmo pensare che forse i vari Al-Kindi, Al-Khwarizmi, Fibonacci – e un po’ prima di loro in India Brahmagupta e altri – abbiano pensato di inventare una scrittura dei numeri per non essere in bal√¨a dell’aleatoriet√† dei calcoli sull’abaco, destinati a svanire passo dopo passo senza lasciare traccia delle¬†¬ęcondizioni di partenza¬Ľ.

D’altra parte Leonardo Fibonacci era figlio di un mercante (vedi¬†¬ęIl metodo della falsa posizione e le origini dell’algebra moderna¬Ľ per approfondimenti a riguardo), e nella decadenza delle generazioni, forse ha ritenuto che non fosse pi√Ļ l’epoca per affidare a qualcosa di tanto¬†¬ęvolatile¬Ľ i calcoli relativi alle complicatissime transazioni commerciali (a quel tempo complicatissime per la grande variet√† di valute, unit√† di misura, lingue e modi di pensare, che allora molto pi√Ļ di oggi movimentavano la vita del Mediterraneo e di quel vasto mondo oggi chiamato le¬†¬ęVie della Seta¬Ľ).

Era quindi molto pi√Ļ urgente di oggi avere uno strumento per verificare la correttezza dei calcoli fatti. E anzi, lo era a maggior ragione quando i calcoli erano effettuati sull’abaco piuttosto che per iscritto.

Cos√¨ abbiamo traccia che gi√† nel III secolo il vescovo Ippolito parlasse di abjectio novenaria¬†(fonte: soltanto Wikipedia, per il momento, e non me ne vanto!):¬†¬ętogliendo i nove¬Ľ dai termini dell’operazione, ed operando sui resti rimasti (ovvero, diremmo oggi, in aritmetica ¬ęmodulo 9¬Ľ), il risultato che ottengo dev’essere il resto modulo 9 del risultato dell’operazione originaria.

Celebre a questo proposito l’esempio di Luca Pacioli, che considerando l’operazione

37 x 37 = 1369

osserva come sia possibile scomporla in

36 x 37 + 1 x 37

e ancora in

36 x 37 + 1 x 36 + 1

dopodichè i primi due termini, essendo multipli di 36 e quindi di 9, si possono eliminare nel processo di abjectio novenaria, e il risultato modulo 9 ottenuto nella moltiplicazione è pertanto 1.

Ora, il passaggio all’aritmetica modulare √® una¬†¬ęprova¬Ľ in senso lato, ovvero la concordanza tra il risultato dell’operazione e il risultato dell’analoga operazione sui resti √® condizione necessaria ma non sufficiente per affermare che l’operazione di partenza sia corretta. Ovvero: se l’operazione sui resti non corrisponde, allora l’operazione originaria √® sbagliata (oppure ho sbagliato a calcolare i resti!). Se invece l’operazione sui resti corrisponde, potrebbe comunque esserci una compensazione di errori nell’operazione originaria, tale da mascherarli nel passaggio all’aritmetica modulare.

Oggi che non ne abbiamo pi√Ļ bisogno per verificare i calcoli, le¬†¬ęprove del¬Ľ diventano un argomento molto stimolante per introdurre l’artimetica modulare gi√† a livello delle scuole elementari. Che ne dite?

L’artimetica modulare e le sue propriet√†

La chiamano anche¬†¬ęaritmetica dei resti¬Ľ o ¬ęaritmetica dell’orologio¬Ľ… s√¨, perch√® quando usiamo un orologio a lancette, e sono le 10.00, e ci dicono¬†¬ęci vediamo fra tre ore¬Ľ, anche se possiamo sempre affermare che l’appuntamento √® per le 13.00, sul nostro orologio a lancette dovremo ben attendere che la lancetta delle ore punti sul numero 1.

1 √® infatti il resto di 13 nella divisione per 12, il numero di ore o di¬†¬ęspicchi¬Ľ disponibili sul mio orologio.

Si verifica facilmente che l’aritmetica modulo un numero rispetta tutte le propriet√† dell’aritmetica ordinaria: ovvero, se in una espressione aritmetica riduco tutti i termini modulo uno stesso numero, il risultato che ottengo √® pari al risultato originario dell’espressione modulo quel numero.

Faccio piccoli esempi, approfittando con l’occasione per ripassare in rassegna le diverse propriet√† delle operazioni aritmetiche:

Addizione

Ho l’addizione 39 + 51 = 90 e voglio ridurla modulo 6

Dovrò allora fare due divisioni intere con resto:

39 : 6 = 6 con resto 3 → Tengo da parte il 3

51 : 6 = 8 con resto 3 → Tengo da parte ancora il 3

Se ora addiziono i resti, ottengo 3 + 3 = 6, che modulo 6 dà resto 0.

Vediamo qual era il resto modulo 6 della somma originaria:

90 : 6 = 15 con resto 0¬†‚Üí L’invarianza √® verificata

Ma noi non ci accontentiamo di un esempio, vero? Vorremo un ragionamento generale, che non dipenda dalla scelta dei numeri. Vediamo un po’:

Scriviamo in lettere la nostra addizione:

a + b = c 

Chiamiamo n l’argomento del modulo.

Avremo:

a = c‚čÖn + r(a)¬†per qualche c‚Č•0

e

b = d‚čÖn + r(b)¬†per qualche d‚Č•0

Se ora passiamo all’addizione, avremo:

a + b =¬†c‚čÖn + r(a) +¬†d‚čÖn + r(b) =¬†c‚čÖn + d‚čÖn +¬†r(a) +¬†r(b) = (c+d)‚čÖn+¬†r(a) +¬†r(b)

In questa formula leggiamo quindi che il resto modulo n della somma a + b è pari alla somma dei resti modulo n dei due addendi a e b.

Idem per la differenza, con le dovute accortezze, e visto che la moltiplicazione √® un caso particolare di addizione, saltiamo a pi√® pari il discorso e – fidatevi – tutto funziona anche per la moltiplicazione. Per la divisione – che si riconduce alla differenza – bisogna soltanto avere l’accortezza di considerare la divisione intera con resto, dopodich√® tutto procede con la stessa filosofia.

Le potenze di 10 modulo sette

Non chiedetemi perch√® me ne occupo, ne parleremo magari in un altro post, ma l’argomento di questo articolo, di per s√©, era molto semplice: come si comportano le potenze di 10 nell’aritmetica modulo 7. L’ho preso un po’ alla lontana, ma finalmente ci arriviamo.

Elenchiamone quindi qualcuna:

10^0 = 1¬†‚Č° 1 (mod 7)

10^1 = 10¬†¬†‚Č° 3 (mod 7)

 

… un momento: abbiamo detto che il resto di un prodotto √® uguale al prodotto dei resti, non √® vero? Quindi invece delle potenze di 10 posso utilizzare le potenze di 3:

10^2¬†‚Č° 3^2 (mod 7)¬†‚Č° 9 (mod 7)¬†‚Č° 2 (mod 7)

10^3 ‚Č° 3^3 (mod 7)¬†‚Č° 27 (mod 7)¬†‚Č° 6¬†(mod 7)

10^4 ‚Č° 3^4 (mod 7)¬†‚Č° 81 (mod 7)¬†‚Č° 4¬†(mod 7)

10^5 ‚Č° 3^5 (mod 7)¬†‚Č° 243 (mod 7)¬†‚Č° 5¬†(mod 7)

10^6 ‚Č° 3^5¬†‚čÖ 3 (mod 7)¬†‚Č° 5¬†‚čÖ 3 (mod 7)¬†‚Č° 15 (mod 7)¬† ‚Č° 1¬†(mod 7)

… e indovinate un po’? Dalla sesta potenza in poi si ripete il ciclo 1 3 2 6 4 5

Per le potenze negative, consideriamo la divisione per 10 invece della moltiplicazione:

10^(-1) = 1 : 10¬†¬†‚Č° 1¬†: 3 (mod 7)¬†‚Č° 36 : 3 (mod 7)¬† ‚Č° 5¬†(mod 7) [aggiungo multipli di 7 all’1 finch√® trovo un numero divisibile per 3]

10^(-2) = (10^(-1))^2 ‚Č° 5^2 (mod 7)¬†‚Č° 25 (mod 7)¬† ‚Č° 4¬†(mod 7)

10^(-3) = (10^(-1))^3 ‚Č° 5^3 (mod 7)¬†‚Č° 125 (mod 7)¬† ‚Č° 6¬†(mod 7)

10^(-4) = (10^(-2))^2 ‚Č° 4^2 (mod 7)¬†‚Č° 16 (mod 7)¬† ‚Č° 2¬†(mod 7)

10^(-5) = 10^(-2)¬†‚čÖ 10^(-3) ¬†‚Č° 4¬†‚čÖ 6 (mod 7)¬†‚Č° 24 (mod 7)¬† ‚Č° 3¬†(mod 7)

10^(-6) = (10^(-3))^2 ‚Č° 6^2 (mod 7)¬†‚Č° 36 (mod 7)¬† ‚Č° 1¬†(mod 7)

Vediamo quindi che le potenze negativo seguono lo stesso ciclo in senso inverso, il che vuol dire che nell’ordine delle potenze di 10 positive o negative, dalle potenze di esponente maggiore a quelle di esponente minore, avremo sempre la sequenza di resti ¬†5¬†46231¬†–¬†5¬†4 623 1¬†–¬†con un resto 1 corrispondente alla potenza 0, ovvero all’unit√†.

Vi convince il discorso fino a qui?

Spero di s√¨ e per il momento non vi dico dove andiamo a parare, perch√® il discorso si fa lunghino. Lo lascio a prossimi post, se l’ispirazione non mi va in vacanza!

#aritmeticadellorologio #modulosette #staytuned

 

 

 

Dieci – un numero al giorno

Un numero dopo l’altro, abbiamo esaurito le cifre singole e veniamo adesso al numero 10.

Tutte le indicazioni etimologiche reperibili, abilmente tacciono intorno alla differenza sostanziale tra l’inglese Ten (di derivazione germanica) e le altre lingue europee dove il termine ha una chiara derivazione latina (che facilmente, tramite il greco, arriva poi al sanscrito daŇ°a). Un piccolo mistero dunque che rimane, per la mia modesta opinione, irrisolto, riguarda il come si arrivi allo stesso¬†daŇ°a¬†sanscrito dal proto-germanico tehun. Ma non sono un’esperta del settore, quindi in definitiva mi fido.

 

180520Un numero al giorno - 010

Parliamo dell’arabo: l’apostrofo iniziale indica la solita ‘ayn che calca la a successiva; la scrittura sh indica un suono unico paragonabile al suono sh inglese.

Qualche appunto intorno alla scrittura in cifre – introdotta anche in Europa proprio tramite la cultura arabo-persiana della cosiddetta ¬ęepoca d’oro dell’Islam¬Ľ grazie a matematici come Al-Khwarizmi, al-Kindi e altri (vedi articolo Il metodo della falsa posizione e le origini dell‚Äôalgebra moderna, ma prometto ulteriori approfondimenti prossimamente): come potete notare confrontando con la scrittura dell’uno e dello zero, contrariamente alle parole, i numeri in cifre arabe si scrivono nello stesso ordine come nelle lingue europee: le cifre di rango pi√Ļ basso a destra e quelle di rango pi√Ļ alto via via a sinistra. Strano, non √® vero?

Continuate a seguire la rubrica Numerando (prossimamente con pagina dedicata) e non dimenticate di proporre i vostri commenti: sono sempre i benvenuti!

#numerando #numeriarabi #staytuned

 

Nove – un numero al giorno

Proseguendo la rassegna dei numeri, vediamo l’ultima delle cifre nel sistema decimale: il numero nove.

In quanto ultima cifra prima dello ¬ęscatto¬Ľ alle decine, il nove ha i suoi noti privilegi: ricordiamo ad esempio le divertenti propriet√† della sua tabellina.

180520Un numero al giorno - 009

La lettura in arabo ha la solita piccola difficolt√† della¬†‘ayn, rappresentata dall’apostrofo di apertura in mezzo alla parola: si legge forzando leggermente nella gola (senza strozzarsi!) la vocale a successiva. La h finale come spesso accade √® soltanto ortografica e indica in realt√† la¬†ta’ marb√Ľtah¬†, ovvero √® in realt√† un suono t che per√≤ viene fuori – un po’ come in francese – soltanto nel caso di una liaison a una vocale successiva (di declinazione grammaticale del termine o di inizio di una parola seguente).

Il segno in cifre è molto simile al nostro 9: siamo fortunati questa volta.

E sì, lo so cosa state pensando: prometto che della prova del 9 nella divisione parlerò in un futuro post.

#èunapromessa #ognipromessaèdebito #staytuned