Una parola al giorno – Tridimensionale

Secondo appuntamento con “una parola al giorno”: quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare senza frontiere persino la matematica!

La parola che ho scelto per oggi è tridimensionale: niente falsi amici qui, tutte e tre le lingue europee seguono l’impianto latino della parola, con una preferenza del francese per la perifrasi, più scorrevole e piacevole alla pronuncia.

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(C) 2018 ilripassinodimatematica.com

L’espressione araba, al di là dell’aggettivo thulati che si può tradurre “in tre” o “di tre”, vede il termine al-‘ab’ad, che traduce la parola “dimensioni”, la cui radice b-‘-d significa sostanzialmente “essere lontano”, “discostarsi”, “allontanarsi”: lo trovo interessante perchè dà molto il senso della dimensione matematica come “prolungamento indefinito” in una certa direzione. Tutto a posto quindi: a parte eventuali difficoltà di pronuncia, c’è pieno accordo culturale qui!

Che cosa aggiungere riguardo al termine Tridimensionale? Poco da spiegare a riguardo, ma forse vale la pena una considerazione didattica sull’importanza di fare i conti con la terza dimensione, anche per poter padroneggiare la geometria piana.

Ricordo a questo proposito un test Invalsi per le seconde superiori cui ebbi modo di fare da assistente (come docente della materia non avrei dovuto, ma ottennero una deroga per mancanza di colleghi idonei allo scopo, alcuni in gita scolastica, altri in malattia, altri chissà). Non era una mia classe, se non altro, quindi era la prima volta che vedevo quei ragazzi. Ma chi insegna sa fin troppo bene che non c’è miglior formula magica della frase “guardate che non vi posso aiutare”, per scatenare con furia divina una tempesta di domande, alle quali essere costretti a rispondere nel modo più sibillino ed enigmatico possibile, lasciando i poveretti con i loro dubbi moltiplicati per due – o se siete bravi in quest’arte, anche per quattro.

Uno dei quesiti presentava due figure speculari in simmetria assiale, con l’asse che separava lo spazio fra di esse ben tracciato (ecco, piccolo indizio: non ho scritto “lo spazio”?). La domanda a scelta multipla chiedeva di scegliere se l’isometria che portava la figura “A” a sovrapporsi alla figura “B” fosse una traslazione, una rotazione o una simmetria assiale… un ragazzo voleva che confermassi se era giusta la sua scelta: lui diceva “rotazione”.

Mi rilessi quattro volte il quesito, cercando tra le pieghe della carta riciclata su cui era stampato se da qualche parte fosse nascosto l’aggettivo “piana” dopo la parola “isometria”: ma no, non c’era. Questo ragazzo, che avrebbe detto “rotazione” immaginando giustamente di ruotare le pagine di un ipotetico foglio intorno all’asse di simmetria (o di rotazione), aveva una squisita immaginazione tridimensionale, che la burocrazia di un compilatore di quesiti non aveva minimamente previsto! Mi sono segnata questo esempio come un “case study”, sul come gli “standard di apprendimento”, pur non essendo un male in sé, possano a volte rivelarsi delle armi a doppio taglio.

come si sovrappongono le ali di una farfalla: per simmetria assiale o per rotazione?

come si sovrappongono le ali di una farfalla: per simmetria assiale o per rotazione? fotografia presa in prestito dal sito http://m.dagospia.com/dal-baco-alla-farfalla-le-piu-belle-trasformazioni-del-mondo-animale-87348

Non tutti hanno una immaginazione tridimensionale, ed essa non viene quindi richiesta come uno standard minimo di apprendimento, ma per chi ce l’ha, è un dispiacere che essa diventi un potenziale ostacolo alla corretta valutazione del livello di apprendimento.

Certamente, se questo “livello di apprendimento” fosse stato consapevole, il ragazzo in questione avrebbe forse colto anche la sfumatura della domanda, e trovando che due possibili risposte sembravano essere corrette avrebbe scelto quella più attinente al piano di studi dell’anno in corso. Ma di quella bella sensibilità per la terza dimensione che malgrado le intenzioni il quiz Invalsi aveva fatto emergere, che ne sarà mai?

Ai posteri l’ardua sentenza, dite la vostra nei commenti, se vi pare! Domani è un altro giorno, un’altra parola ci accompagnerà!

#unaparolaalgiorno

 

 

 

 

🌼 Bentornata primavera! 🌼

Comincia, a partire da oggi, un ciclo di post dal titolo «Una parola al giorno», per rinfrescare o costruire il proprio lessico matematico, con la particolarità di abbinare brevi spiegazioni, aneddoti o considerazioni sui termini ad una serie di flashcard multilingue in Inglese, Francese, Spagnolo e Arabo.

Una parola al giorno

Ogni giorno dunque una piccola scheda da utilizzare come gioco di memoria, in attività di gruppo o individuali e personalizzate. La raccolta è in divenire ma potrete richiedere la collezione completa e futuri aggiornamenti in pdf scrivendomi tramite la pagina Contattaci e specificando la richiesta.

L’ordine di uscita delle parole segue un piano editoriale elastico, in modo da variare gli argomenti, non appesantire esaurendone uno in particolare prima di introdurne altri, dare poco per volta piccoli assaggi, sicuramente infinitesime gocce in mari vasti da colmare, per sopperire, per quanto si può, a piccole e grandi esigenze di comunicazione, curiosità intellettuale, studio e approfondimento a vari livelli.

Buona primavera quindi e che le allergie di stagione ci siano propizie!! 🌷🌹🌻🌼🌷🌹🌻

 

Una matematica in viaggio

Uzbekistan - foto Pixabay

La straordinaria architettura persiana nelle moschee dell’Uzbekistan

Sono passati un po’ di mesi dagli auguri di inizio anno, tante cose sono successe, come a tutti, molte belle, alcune meno, ma è la vita!
In questi mesi la matematica de Il Ripassino si è messa in viaggio: tanti sogni stanno uscendo pian piano dal loro comodo e confortevole cassetto, per diventare realtà!
Primo fra tutti, il successo che si ripete tra poche settimane per il terzo anno consecutivo di alcuni moduli di Matematica Interculturale per le scuole elementari, ma anche la presenza a un importante convegno patrocinato dal MIUR presso il centro culturale della Moschea di Roma dove ho presentato la relazione: “Islam e Matematica: aspetti per una didattica interculturale”. Non basta infatti giustapporre qualche arabesco e un paio di formule matematiche per fare un buon modulo didattico sul tema “matematica e Islam”: voi che ne dite? E poi creare buone attività laboratoriali, del livello giusto, non troppo semplici nè troppo complesse, è ancora un altro paio di maniche (oltre che di forbici, con carta e matita!). Scrivete qua sotto i vostri commenti e pensieri a riguardo, se ne avete: il prossimo semestre porterà ancora novità da parte mia ma per ora vi lascio la suspence!

Búgia – camminando s’impara!

Búgia è un’espressione vernacolare piemontese che significa “muoviti!” – e per inciso, precisiamo, i piemontesi si auto definiscono “búgia nën”, ovvero riluttanti a muoversi, o a smuoversi, dai propri luoghi o dalle proprie posizioni.

Búgia però è anche il nome di una città dell’Algeria, quella dove visse il celebre Leonardo Fibonacci, il padre dell’aritmetica e dell’algebra moderne nella loro declinazione europea.

Ebbene, con questo articolo che parte da Búgia (in Algeria) e arriva al Canavese (in Piemonte) dove è nata chi scrive, intendo innanzitutto dimostrare che esiste almeno un contro esempio al sopracitato pregiudizio “piemontesi Búgia nën” – di cui mi candido ad essere soggetto.

Sì, perché secondo me ha ben ragione Sir Ken Robinson quando insiste che il modello di scuola con gli studenti ai banchi 24/7 è perdente, nel senso che fa perdere molte, troppe opportunità non solo agli studenti – aggiungo io – ma anche agli insegnanti.

Personalmente provengo da una scuola superiore (un liceo scientifico) dove il professore di lettere, enciclopedia ambulante rigorosamente “fuori dalle righe”, almeno un giorno alla settimana ci portava fuori dall’aula. Niente di eclatante, sempre nella nostra piccola città di provincia e di campagna che si attraversava tutta, a piedi, in non più di un quarto d’ora: la visita a un museo, un’intera ora di spiegazione davanti all’affresco nascosto in una chiesetta a 2 minuti dalla scuola…

Oppure biblioteca, biblioteca e ancora biblioteca. Lì scoprivamo libri, autori, argomenti inimmaginati, enciclopedie da favola. L’archivio era ancora a schedine di cartone, bisognava aver ben dimestichezza con l’alfabeto (sic!), e quale reverenziale timore quando si scopriva che il volume richiesto era custodito là dove solo il bibliotecario poteva entrare, quando il libro era così prezioso e unico che lo si poteva soltanto consultare in sala…

… Ma sto divagando, mi perdo nei ricordi… Torniamo a noi! Il nocciolo della questione è che si usciva, si usciva e si camminava, persino la ginnastica non era più fine a se stessa, così come la letteratura, la logica, la memoria…. Si respiravano l’arte, la storia, la topografia e gli algoritmi di ricerca sul pavé delle stradine laterali, sulle scale della biblioteca, sulle dita che scorrevano gli archivi.

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Lo storico tram di Milano atm 1503, fonte: Wikimedia Commons (Giorgio Stagni)

Altri tempi? E perché? Forse che i motori di ricerca sul web ci sono di ostacolo? Anzi, allargano gli orizzonti! Oggi possiamo in pochi secondi sognare di arrivare fino a Búgia, in Algerìa, … oppure arrivarci davvero dopo aver sognato, sulle orme di Fibonacci … Oppure no, perché i tempi storici sono ben difficili, il mondo non è più quello di una volta! Eppure … Oppure … Chi ci impedisce di uscire, camminare, sognare non sui banchi ma tra le vie di una città, non importa quale, ché anche lì un Fibonacci magari un’orma l’ha lasciata, un’impronta, un’eco da riscoprire tra il frastuono del traffico quotidiano…

Perché il fine della conoscenza, giustifica sicuramente i mezzi … specie quelli pubblici, per studiare respirando, in giro per le nostre belle città! 🚋🏛🚀

… perchè non siamo mica qui a calcolare radici quadrate !

Se il matematico creativo può eventualmente trovare topologicamente interessante anche pettinare le bambole, sicuramente non è vocazione di nessuno passare la vita a calcolare radici quadrate, con buona pace delle calcolatrici elettroniche!

Non per niente il buon Pitagora “inventò” le famose terne che portano il suo nome. In altre epoche e culture, sappiamo che il parimenti buon Abu-l-Wafa al-Buzjani, nel X secolo del nostro calendario, utilizzava la terna 3-4-5 per verificare la perpendicolarità – e non di cateti di triangoli inventati ad hoc per fare esercizi, ma di muri ed angoli di pavimenti, stante che era un geometra e architetto tra i più sapienti della sua epoca, per inciso padre -tra le molte cose – della moderna trigonometria.

Il (un) fascino delle terne pitagoriche sta nel fatto che permettono di creare senza fatica infiniti triangoli rettangoli apparentemente diversi fra di loro: lo studente diligente e accorto si rende facilmente conto, dopo i pochi primi esercizi proposti dal libro, che i numeri in ballo sono sempre gli stessi, o perlomeno risultano fortemente imparentati fra di loro. Se ha avuto anche un insegnante accorto ( = che gli ha spiegato le terne pitagoriche evitando di considerarle una perdita di tempo), si sarà a quel punto accorto (e scusate le ripetizioni) che gran parte degli esercizi si risolvono facilmente con l’uso delle terne: niente di più difficile di un 3-4-5 o più rare volte un 5-12-13 per non dire qualche sporadico 7-24-25.

I problemi che presentano come dati di partenza le proporzioni tra i lati, poi, sono il più delle volte fatti per lasciar trasparire la terna sottostante, cosa che permette di risolvere il triangolo con pochi semplicissimi calcoli in aritmetica di base. Ricordo perfettamente quanto insistette su questo punto il mio insegnante di quinta elementare! Peccato invece trovare talvolta oggi, persino nel biennio superiore, chi delle terme pitagoriche non sospetta neppure l’esistenza, e instrada gli studenti a un diligentissimo uso della calcolatrice per ottenere risultati approssimati, il più delle volte senza nemmeno introdurre la minima consapevolezza sul fatto che le macchine – più degli esseri umani – sono soggette all’errore.

Alla domanda allora “a cosa serve” che gli studenti si tramandano speranzosi di una risposta di generazione in generazione, il rischio è che si debba rispondere un serio e sincero “solo a farti prendere dimestichezza con il concetto”. Perché a parte forse il Flatiron building di New York, il famoso “ferro da stiro”, tanti triangoli rettangoli con cui avere a che fare “nella vita di tutti i giorni” non è che se ne trovino: non tutti gli angoli di strada sono quello tra la Fifth Avenue e Broadway!

flatiron_crop

E non tutti gli architetti si chiamano Abu-l-Wafa, che misurava l’angolo retto con una “squadra” di lati 3-4-5! E in ogni caso da noi le “squadre” sono costruite sulla misura degli angoli (triangolo rettangolo isoscele con gli angoli acuti di 45° e metà del triangolo equilatero con gli angoli acuti di 30° e 60°) e non sulle proporzioni dei lati. Paradossalmente forse proprio per l’eredità di quel che Abu-l-Wafa ci ha genialmente tramandato: scherzi del destino e della storia!

E tant’è … pare tra l’altro che le nostre “pitagoriche” amiche venissero in realtà dalla Cina, ma questa, forse potrà essere un’altra pagina futura di questo blog.

 

Myriam Mirkhazani, la Fields Medal e il tempo che passa

Il tempo vola … i mesi e gli anni passano in un soffio! E se quest’anno la donna più celebrata (a parte la studiosa di storia Miss Italia) è stata Samantha Cristoforetti, la prima astronauta italiana in orbita sopra la Terra, non mettiamo nel dimenticatoio troppo presto la vincitrice della Fields Medal 2014, Myriam Mirkhazani, giovane iraniana che ha fatto ribadire al mondo che “anche le donne possono farcela”. Personalmente io non l’ho mai messo in dubbio, a prescindere dalle prove empiriche … semplicemente molte volte le donne possono avere altro e persino di meglio da fare … ma comunque!

Al di là di questi piccoli dettagli di poco conto, ripropongo un articolo di Wired che ha ben presentato la studiosa e campionessa, alla quale facciamo mille auguri di un felice proseguimento della carriera.

Buona lettura 🙂

È iraniana, studia geometria iperbolica e ha appena vinto la medaglia Fields. Ecco la sua storia

Sorgente: Maryam Mirzakhani, la prima donna a vincere il

Matematica interculturale

Navigando sul web è possibile scoprire quello che fino a pochi anni fa potevamo soltanto immaginare… ad esempio: com’è la matematica in altre parti del mondo, in altre culture?
Sarà scritta in modo diverso, o insegnata in modo più “esotico”, o più pittoresca, o …

Fortunatamente, la matematica è un linguaggio a sé stante, spesso non ha bisogno di molte traduzioni per farsi capire da un capo all’altro del mondo. E girando il mondo (almeno in quel tour virtuale che i social media ci propongono), scopriamo che là, dove la lingua è per noi astrusa, piena di caratteri che non sapremmo nemmeno come pronunciare, la matematica è “come la nostra”: si imparano le stesse cose, si usano gli stessi teoremi, si arriva agli stessi risultati …
Un po’ delusi come quei turisti che non trovano quello che si immaginano di dover trovare, ci chiediamo, allora, se la “matematica interculturale” in realtà sia una finzione, qualcosa di inesistente che ci siamo inventati per passare il tempo.

Si e no, potremmo rispondere: da una parte si può prendere lo spunto della matematica per fare dell’educazione interculturale, “colorando” la materia con spunti interdisciplinari di approfondimento storico, o di costume.
Ma dall’altra, più ampliamo la nostra visione del mondo, più ci possiamo rendere conto che una differenza, in realtà, c’è, e anche importante: soltanto, abbiamo cercato dalla parte sbagliata!

Si imparano le stesse cose, certamente. Quello che cambia è molte volte il modo in cui si insegnano.

Ci sono (vaste) regioni della Terra dove le dita cominciano a contare prima della lingua: anche il modo di pensare la matematica sarà diverso. Anzi, forse la matematica sarà molto meno “pensata” di quanto siamo soliti dare per scontato!

Ci sono culture in cui l’evidenza della figura è facilmente assunta a dimostrazione: molto distante dal rigore assiomatico di cui l’Italia sembra rappresentare quasi un’eccellente eccezione. Ebbene si: possiamo considerarci una “particolarità culturale” anche noi, se spostiamo il baricentro del sistema in un altro punto qualunque che non sia il nostro.

Meglio o peggio? Sicuramente la tradizione di rigore formale che ci distingue aiuta a tramandare integra la visione della materia. Il rovescio della medaglia è che il complesso apparato logico necessario per avvicinarsi con questo approccio alla matematica rende tradizionalmente molto “elitaria” la disciplina: le facoltà di matematica si possono accontentare di aule relativamente piccole!
Altri approcci forse perdono di rigore formale, rischiano di perdere in precisione, ma permettono un uso rapido delle applicazioni dei concetti.
Alla nostra didattica della matematica, manca ancora la visione d’insieme tra teorico e applicato: la matematica “numerica”, quella “applicativa” o “applicata”, viene sommessamente insegnata come un sovrappiù nelle aule degli indirizzi tecnici della scuola superiore. Le tanto detestate prove invalsi, che le si ami o le si odi sicuramente dimostrano che manca molto, nella didattica corrente, la traduzione nel reale, il contatto con la realtà.

Può essere utile a questo scopo andare a cercare cosa si insegna dall’altra parte del mare? Magari no, magari sì. Ognuno risponda come meglio ritiene a questa domanda. Senza che sia necessariamente una risposta, qui di seguito propongo un assaggio di aritmetica “in lingua turca” che meritatamente sta spopolando sul web:

… quando si dice: “contare con le dita”!

x come cosa ?

Ci siamo mai chiesti da cosa deriva la fantomatica x che usiamo come incognita dall’algebra di base all’analisi superiore?

Viene naturalmente alla memoria la celebre battuta di Indiana Jones, il quale diceva ai suoi studenti che “la x non rappresenta MAI il posto in cui scavare”. Salvo poi, in piena avventura, esclamare alla collega : “la X, la X sul pavimento, è quello il posto in cui scavare!!”.

Così quando i nostri studenti, all’ennesimo passaggio intricato di sistemi ed equazioni da risolvere, ci dicono “per me è arabo!”, vorremmo prenderlo come un modo di dire.

Certo, algebra deriva da al-jabr, d’accordo. Dall’opera di al-Khwarizmi da cui il termine algoritmo, va bene. Ma poi basta, non è vero? La x, la y e tutto il resto l’abbiamo inventata noi, qui in Europa …

… e infatti sì, per la precisione nell’Andalusia Felix, dove più proficuamente sedimentarono – come va di moda dire oggi – i frutti del fermento di scambi interculturali e interreligiosi nati dalla presenza e dal reciproco riconoscimento di sapienti ebrei, cristiani e musulmani sotto la sempre cosiddetta “dominazione araba”.

In effetti i matematici musulmani che diedero impulso allo sviluppo dell’algebra moderna, non fecero mai uso nelle loro opere di abbreviazioni formali come la x o altre lettere. Quando parlavano dell’incognita, parlavano della “cosa”, e le relazioni tra incognite e quantità erano sempre descritte a parole.

Ora, “cosa” in arabo si dice ” sha’i ”  e la sh nello spagnolo antico, come oggi ancora in alcuni dialetti del Mediterraneo anche in Italia, si traslittera proprio x . E’ stato quindi ben a ragione ipotizzato che la lettera x destinata a diventare l’incognita per eccellenza, altro non sia che la traslitterazione nella lingua corrente dell’Andalusia medievale proprio della parola araba “sha’i”: “cosa” !

Morale della favola: d’ora in poi, quando i vostri studenti vi diranno sconsolati “per me è arabo!”, potrete tranquillamente rassicurarli che su una cosa almeno ci hanno azzeccato! Può essere un inizio… 😉

 

 

Il teorema di Pitagora generalizzato – seconda parte

Riprendo l’ultimo post pubblicando per esteso la dimostrazione della formula per i triangoli ottusangoli. A seguire l’analogo teorema per i triangoli acutangoli e qualche considerazione finale sul collegamento con la trigonometria.

 

Immagine

pitagora ottusi formula

Dimostriamo la formula.

Consideriamo il triangolo rettangolo BCH formato dai vertici del lato maggiore BC e dall’altezza BH relativa al lato AC.

Si ha naturalmente, per il Teorema di Pitagora:

ottusi passaggio1

 

Ma per costruzione si ha

ottusi passaggio2

 

da cui, sostituendo nella formula precedente:

ottusi passaggio3

ottusi passaggio4

Ma il Teorema di Pitagora ci dice ancora che

ottusi passaggio5

e sostituendo quest’ultima relazione nell’ultimo passaggio, otteniamo infine la formula cercata:

pitagora ottusi formula

c.d.d.