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Búgia – camminando s’impara!

Búgia è un’espressione vernacolare piemontese che significa “muoviti!” – e per inciso, precisiamo, i piemontesi si auto definiscono “búgia nën”, ovvero riluttanti a muoversi, o a smuoversi, dai propri luoghi o dalle proprie posizioni.

Búgia però è anche il nome di una città dell’Algeria, quella dove visse il celebre Leonardo Fibonacci, il padre dell’aritmetica e dell’algebra moderne nella loro declinazione europea.

Ebbene, con questo articolo che parte da Búgia (in Algeria) e arriva al Canavese (in Piemonte) dove è nata chi scrive, intendo innanzitutto dimostrare che esiste almeno un contro esempio al sopracitato pregiudizio “piemontesi Búgia nën” – di cui mi candido ad essere soggetto.

Sì, perché secondo me ha ben ragione Sir Ken Robinson quando insiste che il modello di scuola con gli studenti ai banchi 24/7 è perdente, nel senso che fa perdere molte, troppe opportunità non solo agli studenti – aggiungo io – ma anche agli insegnanti.

Personalmente provengo da una scuola superiore (un liceo scientifico) dove il professore di lettere, enciclopedia ambulante rigorosamente “fuori dalle righe”, almeno un giorno alla settimana ci portava fuori dall’aula. Niente di eclatante, sempre nella nostra piccola città di provincia e di campagna che si attraversava tutta, a piedi, in non più di un quarto d’ora: la visita a un museo, un’intera ora di spiegazione davanti all’affresco nascosto in una chiesetta a 2 minuti dalla scuola…

Oppure biblioteca, biblioteca e ancora biblioteca. Lì scoprivamo libri, autori, argomenti inimmaginati, enciclopedie da favola. L’archivio era ancora a schedine di cartone, bisognava aver ben dimestichezza con l’alfabeto (sic!), e quale reverenziale timore quando si scopriva che il volume richiesto era custodito là dove solo il bibliotecario poteva entrare, quando il libro era così prezioso e unico che lo si poteva soltanto consultare in sala…

… Ma sto divagando, mi perdo nei ricordi… Torniamo a noi! Il nocciolo della questione è che si usciva, si usciva e si camminava, persino la ginnastica non era più fine a se stessa, così come la letteratura, la logica, la memoria…. Si respiravano l’arte, la storia, la topografia e gli algoritmi di ricerca sul pavé delle stradine laterali, sulle scale della biblioteca, sulle dita che scorrevano gli archivi.

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Lo storico tram di Milano atm 1503, fonte: Wikimedia Commons (Giorgio Stagni)

Altri tempi? E perché? Forse che i motori di ricerca sul web ci sono di ostacolo? Anzi, allargano gli orizzonti! Oggi possiamo in pochi secondi sognare di arrivare fino a Búgia, in Algerìa, … oppure arrivarci davvero dopo aver sognato, sulle orme di Fibonacci … Oppure no, perché i tempi storici sono ben difficili, il mondo non è più quello di una volta! Eppure … Oppure … Chi ci impedisce di uscire, camminare, sognare non sui banchi ma tra le vie di una città, non importa quale, ché anche lì un Fibonacci magari un’orma l’ha lasciata, un’impronta, un’eco da riscoprire tra il frastuono del traffico quotidiano…

Perché il fine della conoscenza, giustifica sicuramente i mezzi … specie quelli pubblici, per studiare respirando, in giro per le nostre belle città! 🚋🏛🚀

… perchè non siamo mica qui a calcolare radici quadrate !

Se il matematico creativo può eventualmente trovare topologicamente interessante anche pettinare le bambole, sicuramente non è vocazione di nessuno passare la vita a calcolare radici quadrate, con buona pace delle calcolatrici elettroniche!

Non per niente il buon Pitagora “inventò” le famose terne che portano il suo nome. In altre epoche e culture, sappiamo che il parimenti buon Abu-l-Wafa al-Buzjani, nel X secolo del nostro calendario, utilizzava la terna 3-4-5 per verificare la perpendicolarità – e non di cateti di triangoli inventati ad hoc per fare esercizi, ma di muri ed angoli di pavimenti, stante che era un geometra e architetto tra i più sapienti della sua epoca, per inciso padre -tra le molte cose – della moderna trigonometria.

Il (un) fascino delle terne pitagoriche sta nel fatto che permettono di creare senza fatica infiniti triangoli rettangoli apparentemente diversi fra di loro: lo studente diligente e accorto si rende facilmente conto, dopo i pochi primi esercizi proposti dal libro, che i numeri in ballo sono sempre gli stessi, o perlomeno risultano fortemente imparentati fra di loro. Se ha avuto anche un insegnante accorto ( = che gli ha spiegato le terne pitagoriche evitando di considerarle una perdita di tempo), si sarà a quel punto accorto (e scusate le ripetizioni) che gran parte degli esercizi si risolvono facilmente con l’uso delle terne: niente di più difficile di un 3-4-5 o più rare volte un 5-12-13 per non dire qualche sporadico 7-24-25.

I problemi che presentano come dati di partenza le proporzioni tra i lati, poi, sono il più delle volte fatti per lasciar trasparire la terna sottostante, cosa che permette di risolvere il triangolo con pochi semplicissimi calcoli in aritmetica di base. Ricordo perfettamente quanto insistette su questo punto il mio insegnante di quinta elementare! Peccato invece trovare talvolta oggi, persino nel biennio superiore, chi delle terme pitagoriche non sospetta neppure l’esistenza, e instrada gli studenti a un diligentissimo uso della calcolatrice per ottenere risultati approssimati, il più delle volte senza nemmeno introdurre la minima consapevolezza sul fatto che le macchine – più degli esseri umani – sono soggette all’errore.

Alla domanda allora “a cosa serve” che gli studenti si tramandano speranzosi di una risposta di generazione in generazione, il rischio è che si debba rispondere un serio e sincero “solo a farti prendere dimestichezza con il concetto”. Perché a parte forse il Flatiron building di New York, il famoso “ferro da stiro”, tanti triangoli rettangoli con cui avere a che fare “nella vita di tutti i giorni” non è che se ne trovino: non tutti gli angoli di strada sono quello tra la Fifth Avenue e Broadway!

flatiron_crop

E non tutti gli architetti si chiamano Abu-l-Wafa, che misurava l’angolo retto con una “squadra” di lati 3-4-5! E in ogni caso da noi le “squadre” sono costruite sulla misura degli angoli (triangolo rettangolo isoscele con gli angoli acuti di 45° e metà del triangolo equilatero con gli angoli acuti di 30° e 60°) e non sulle proporzioni dei lati. Paradossalmente forse proprio per l’eredità di quel che Abu-l-Wafa ci ha genialmente tramandato: scherzi del destino e della storia!

E tant’è … pare tra l’altro che le nostre “pitagoriche” amiche venissero in realtà dalla Cina, ma questa, forse potrà essere un’altra pagina futura di questo blog.

 

Myriam Mirkhazani, la Fields Medal e il tempo che passa

Il tempo vola … i mesi e gli anni passano in un soffio! E se quest’anno la donna più celebrata (a parte la studiosa di storia Miss Italia) è stata Samantha Cristoforetti, la prima astronauta italiana in orbita sopra la Terra, non mettiamo nel dimenticatoio troppo presto la vincitrice della Fields Medal 2014, Myriam Mirkhazani, giovane iraniana che ha fatto ribadire al mondo che “anche le donne possono farcela”. Personalmente io non l’ho mai messo in dubbio, a prescindere dalle prove empiriche … semplicemente molte volte le donne possono avere altro e persino di meglio da fare … ma comunque!

Al di là di questi piccoli dettagli di poco conto, ripropongo un articolo di Wired che ha ben presentato la studiosa e campionessa, alla quale facciamo mille auguri di un felice proseguimento della carriera.

Buona lettura 🙂

È iraniana, studia geometria iperbolica e ha appena vinto la medaglia Fields. Ecco la sua storia

Sorgente: Maryam Mirzakhani, la prima donna a vincere il

Matematica interculturale

Navigando sul web è possibile scoprire quello che fino a pochi anni fa potevamo soltanto immaginare… ad esempio: com’è la matematica in altre parti del mondo, in altre culture?
Sarà scritta in modo diverso, o insegnata in modo più “esotico”, o più pittoresca, o …

Fortunatamente, la matematica è un linguaggio a sé stante, spesso non ha bisogno di molte traduzioni per farsi capire da un capo all’altro del mondo. E girando il mondo (almeno in quel tour virtuale che i social media ci propongono), scopriamo che là, dove la lingua è per noi astrusa, piena di caratteri che non sapremmo nemmeno come pronunciare, la matematica è “come la nostra”: si imparano le stesse cose, si usano gli stessi teoremi, si arriva agli stessi risultati …
Un po’ delusi come quei turisti che non trovano quello che si immaginano di dover trovare, ci chiediamo, allora, se la “matematica interculturale” in realtà sia una finzione, qualcosa di inesistente che ci siamo inventati per passare il tempo.

Si e no, potremmo rispondere: da una parte si può prendere lo spunto della matematica per fare dell’educazione interculturale, “colorando” la materia con spunti interdisciplinari di approfondimento storico, o di costume.
Ma dall’altra, più ampliamo la nostra visione del mondo, più ci possiamo rendere conto che una differenza, in realtà, c’è, e anche importante: soltanto, abbiamo cercato dalla parte sbagliata!

Si imparano le stesse cose, certamente. Quello che cambia è molte volte il modo in cui si insegnano.

Ci sono (vaste) regioni della Terra dove le dita cominciano a contare prima della lingua: anche il modo di pensare la matematica sarà diverso. Anzi, forse la matematica sarà molto meno “pensata” di quanto siamo soliti dare per scontato!

Ci sono culture in cui l’evidenza della figura è facilmente assunta a dimostrazione: molto distante dal rigore assiomatico di cui l’Italia sembra rappresentare quasi un’eccellente eccezione. Ebbene si: possiamo considerarci una “particolarità culturale” anche noi, se spostiamo il baricentro del sistema in un altro punto qualunque che non sia il nostro.

Meglio o peggio? Sicuramente la tradizione di rigore formale che ci distingue aiuta a tramandare integra la visione della materia. Il rovescio della medaglia è che il complesso apparato logico necessario per avvicinarsi con questo approccio alla matematica rende tradizionalmente molto “elitaria” la disciplina: le facoltà di matematica si possono accontentare di aule relativamente piccole!
Altri approcci forse perdono di rigore formale, rischiano di perdere in precisione, ma permettono un uso rapido delle applicazioni dei concetti.
Alla nostra didattica della matematica, manca ancora la visione d’insieme tra teorico e applicato: la matematica “numerica”, quella “applicativa” o “applicata”, viene sommessamente insegnata come un sovrappiù nelle aule degli indirizzi tecnici della scuola superiore. Le tanto detestate prove invalsi, che le si ami o le si odi sicuramente dimostrano che manca molto, nella didattica corrente, la traduzione nel reale, il contatto con la realtà.

Può essere utile a questo scopo andare a cercare cosa si insegna dall’altra parte del mare? Magari no, magari sì. Ognuno risponda come meglio ritiene a questa domanda. Senza che sia necessariamente una risposta, qui di seguito propongo un assaggio di aritmetica “in lingua turca” che meritatamente sta spopolando sul web:

… quando si dice: “contare con le dita”!

Maryam Mirzakhani, la prima donna a vincere la medaglia Fields

donna e musulmana, per superare gli stereotipi

Maryam Mirzakhani, la prima donna a vincere la medaglia Fields.

x come cosa ?

Ci siamo mai chiesti da cosa deriva la fantomatica x che usiamo come incognita dall’algebra di base all’analisi superiore?

Viene naturalmente alla memoria la celebre battuta di Indiana Jones, il quale diceva ai suoi studenti che “la x non rappresenta MAI il posto in cui scavare”. Salvo poi, in piena avventura, esclamare alla collega : “la X, la X sul pavimento, è quello il posto in cui scavare!!”.

Così quando i nostri studenti, all’ennesimo passaggio intricato di sistemi ed equazioni da risolvere, ci dicono “per me è arabo!”, vorremmo prenderlo come un modo di dire.

Certo, algebra deriva da al-jabr, d’accordo. Dall’opera di al-Khwarizmi da cui il termine algoritmo, va bene. Ma poi basta, non è vero? La x, la y e tutto il resto l’abbiamo inventata noi, qui in Europa …

… e infatti sì, per la precisione nell’Andalusia Felix, dove più proficuamente sedimentarono – come va di moda dire oggi – i frutti del fermento di scambi interculturali e interreligiosi nati dalla presenza e dal reciproco riconoscimento di sapienti ebrei, cristiani e musulmani sotto la sempre cosiddetta “dominazione araba”.

In effetti i matematici musulmani che diedero impulso allo sviluppo dell’algebra moderna, non fecero mai uso nelle loro opere di abbreviazioni formali come la x o altre lettere. Quando parlavano dell’incognita, parlavano della “cosa”, e le relazioni tra incognite e quantità erano sempre descritte a parole.

Ora, “cosa” in arabo si dice ” sha’i ”  e la sh nello spagnolo antico, come oggi ancora in alcuni dialetti del Mediterraneo anche in Italia, si traslittera proprio x . E’ stato quindi ben a ragione ipotizzato che la lettera x destinata a diventare l’incognita per eccellenza, altro non sia che la traslitterazione nella lingua corrente dell’Andalusia medievale proprio della parola araba “sha’i”: “cosa” !

Morale della favola: d’ora in poi, quando i vostri studenti vi diranno sconsolati “per me è arabo!”, potrete tranquillamente rassicurarli che su una cosa almeno ci hanno azzeccato! Può essere un inizio… 😉

 

 

Il teorema di Pitagora generalizzato – seconda parte

Riprendo l’ultimo post pubblicando per esteso la dimostrazione della formula per i triangoli ottusangoli. A seguire l’analogo teorema per i triangoli acutangoli e qualche considerazione finale sul collegamento con la trigonometria.

 

Immagine

pitagora ottusi formula

Dimostriamo la formula.

Consideriamo il triangolo rettangolo BCH formato dai vertici del lato maggiore BC e dall’altezza BH relativa al lato AC.

Si ha naturalmente, per il Teorema di Pitagora:

ottusi passaggio1

 

Ma per costruzione si ha

ottusi passaggio2

 

da cui, sostituendo nella formula precedente:

ottusi passaggio3

ottusi passaggio4

Ma il Teorema di Pitagora ci dice ancora che

ottusi passaggio5

e sostituendo quest’ultima relazione nell’ultimo passaggio, otteniamo infine la formula cercata:

pitagora ottusi formula

c.d.d.


To Bead or not to Bead … un pensiero profondo per cominciare il nuovo anno !

To bead or not to bead … that is the question, e ci perdonerà il grande Shakespeare per questa citazione un po’ a sproposito.

Con questa profondissima domanda il nostro blog inaugura l’anno nuovo. Abaco o non abaco? Il dilemma non nasce oggi, e senza togliere il sonno a troppe persone ha perlomeno la sua origine nella diatriba riguardo all’interpretazione da dare al titolo della celebre opera di Leonardo Pisano, meglio conosciuto come Fibonacci: il “Liber Abaci”, appunto.

C’è chi sostiene – a torto o a ragione – che si debba tradurre tale titolo con “Il libro dell’abaco”. C’è chi sostiene invece – altrettanto a torto o a ragione – che tale traduzione sarebbe fuorviante, in quanto le tecniche di calcolo introdotte da Fibonacci sono applicabili senza l’uso dell’abaco.

Dunque, se è lecito chiedere, chi ha torto e chi ha ragione?

Come spesso accade, in fin dei conti … entrambi. Almeno da un certo punto di vista.

Ma cominciamo con un po’ di storia. Ci aiuta Enrico Giusti, con un bellissimo articolo intitolato “Matematica e commercio nel Liber Abaci”, pubblicato sul prezioso sito “Il giardino di Archimede – un museo per la matematica” ( accessibile a questo link ). Vi leggiamo:

“Quando il Liber Abaci vide la luce, ottocento anni or sono, la matematica dell’Occidente cristiano era praticamente inesistente: se si eccettuano le traduzioni dall’arabo che alla fine del XII secolo un gruppo di studiosi stava conducendo nella Spagna musulmana, traduzioni che riguardavano soprattutto i grandi classici – Euclide in primo luogo – dell’antichità greca, ben poco circolava in Europa all’inizio del Duecento. Soprattutto ben poco di comparabile per mole e per profondità a quanto Leonardo Fibonacci avrebbe reso pubblico nel 1202.

Nè soccorrono meglio le opere arabe, certo testimoni di una cultura scientifica di tutt’altra consistenza e dalle quali Leonardo per sua stessa ammissione aveva attinto la maggior parte delle sue conoscenze. Ma anche rispetto ai suoi maestri, Fibonacci compie un’opera unica se non per originalità certo per mole: ben pochi trattati d’abaco arabi ci sono pervenuti che possano stare alla pari con quello scritto dal Pisano al termine delle sue peregrinazioni.

Siamo dunque di fronte a un’opera che non ha antecedenti in Europa, e che sfida le sue stesse fonti arabe; un’opera che non ha padri. Naturalmente, non mancano le filiazioni da opere precedenti, e anzi in alcuni tratti il Liber Abaci mostra evidenti le tracce di autori arabi, da al-Khwarizmi ad Abu Kamil; ma è altrettanto evidente che l’opera di Leonardo deriva non da un autore o da una scuola, ma semmai dalla matematica araba nel suo complesso, e che Fibonacci integra in essa tutte le conoscenze acquisite durante il suo apprendistato a Bugia prima, e poi nel corso dei suoi viaggi in tutto il mondo conosciuto”.

Ancora dallo stesso articolo, citiamo le rarefatte note biografiche che il Giusti raccoglie intorno al Fibonacci, tanto famoso quanto avvolto, in definitiva, dal mistero:

“Non c’è nessun documento che attesti la data di nascita di Leonardo. Sappiamo solo che in giovanissima età – “in pueritia mea” scrive nel Liber Abaci – aveva accompagnato a Bugia il padre Guglielmo, che nella dogana della città maghrebina svolgeva le funzioni di “publicus scriba pro Pisanis mercatoribus”, ossia di notaio che curava l’assistenza ai mercanti e forse aveva anche incarichi di rappresentanza. Qui il giovane Leonardo apprese la matematica dell’abaco, forse non più dei primi rudimenti se si deve prestar fede al suo proprio racconto, dove dice essere stato a scuola d’abaco “per aliquot dies”, alla lettera: “per alcuni giorni”. Ma una volta familiarizzatosi con le tecniche dei numeri arabi, non cesserà più di accumulare conoscenze, impadronendosi di quanto si sapeva nei luoghi in cui lo portava la sua attività, o forse più probabilmente il suo desiderio di viaggi e di conoscenze: in Egitto, in Siria, in Grecia, in Sicilia, in Provenza; in breve, in tutto il Mediterraneo.”

Fermiamoci un attimo e cerchiamo di fare il punto nella tempesta d’informazioni che in questi pochi paragrafi ci ha bombardato la mente… raccogliamo alcune parole chiave tra quelle che ci hanno solleticato l’immaginazione e il pensiero …

… ad esempio: “matematica araba” …

… meglio ancora: “numeri arabi” …

… ed ecco un indizio importante: “la matematica dell’abaco” …

… e infine, la vera parola chiave per ricostruire la scena teatrale: “il mondo conosciuto” …

Il mondo conosciuto! Di che cosa stiamo parlando?

Stando alle note del Giusti, il “mondo conosciuto” di Leonardo Pisano comprende – oltre all’algerina Bugia, anche “l’Egitto, la Siria, la Grecia, la Sicilia, la Provenza”. Niente dunque di particolarmente esotico … ma non abbiamo forse saltato qualche passaggio di troppo, nei nostri calcoli?

Facciamo un passo indietro e ripeschiamo un’altra delle nostre parole-chiave: “numeri arabi”.

Numeri arabi! … voi che leggete questo articolo sapete di cosa stiamo parlando?

Probabilmente sì, almeno a grandi linee: tutti sanno che i cosiddetti “numeri arabi” sono in realtà i numeri indiani, adottati appunto dagli Arabi con qualche adattamento e da loro stessi portati anche nella cosiddetta “Europa cristiana” che anche il Giusti come tale menziona.

Tutti sanno anche che i numeri arabi – pardon, i numeri indiani – introducono come una novità nello stesso mondo arabo la notazione posizionale, e ancora più noto è il fatto che proprio grazie alla matematica indiana viene introdotto l’uso dello zero come “numero” – meglio sarebbe dire come cifra.

Ok, d’accordo. E cosa c’entra tutto questo  con l’abaco-o-non-abaco, da cui siamo partiti?…

… vedrete che c’entra, eccome!

Innanzitutto, i detrattori della tesi “abaco sì”, quando dicono “abaco” pensano esclusivamente all’abaco latino o antico-romano, unico retaggio di questo tipo di strumento nella sempre cosiddetta “Europa cristiana”. Certo. Questo ci riporta alla premessa prima di Enrico Giusti, vale a dire “quando il Liber Abaci vide la luce, ottocento anni or sono, la matematica dell’Occidente cristiano era praticamente inesistente”.

In effetti l’abaco romano – peraltro interessantissimo strumento – non era affatto uno strumento “posizionale”, così come non lo era il sistema di numerazione latino che ne rispecchiava nè più nè meno il funzionamento.

Quindi – abaco o non abaco – il “Liber Abaci” di cui Fibonacci, non si riferisce certo, nè direttamente nè indirettamente, allo strumento di calcolo della Città Eterna … ma allora?

allora torniamo alla domanda delle domande: “il mondo conosciuto”!

Urge un’addizione. Facciamola subito. Addizioniamo “Mondo conosciuto” con “Matematica araba”. Otteniamo, usando la proprietà dissociativa, commutativa e associativa dell’addizione: “Matematica” + “Mondo conosciuto dagli Arabi”… cambia qualcosa? … Eccome se cambia!

Il mondo conosciuto dagli Arabi, all’epoca di Fibonacci, in effetti andava un pochino al di là della pur ammirabile cultura del Pisano: di sicuro, abbiamo detto, avevano abbastanza approfondito la familiarità con il mondo indù da riportarne a casa – ed esportarne all’Europa – le conoscenze scientifico-matematiche e non solo. Ma già da diversi secoli erano arrivati fino in Cina, dove la moschea di X’ian, una delle più antiche al mondo, fu fondata da uno dei primi Califfi, nel primo secolo dell’Egira. E d’altra parte, un detto del Profeta Muhammad esorta a “cercare la conoscenza fino in Cina”!

Ebbene, tra il Medioriente e la Cina, decisamente la cultura dell’abaco si trova ben più radicata che non sulle sponde del Mediterraneo. Tutto fa pensare che il mondo arabo, o almeno una parte di esso, avesse effettivamente adottato un abaco simile a quelli orientali piuttosto che non l’abaco latino. E la notazione posizionale – comprendente la cifra dello zero a segnare il posto per le posizioni dell’abaco dove “non succede nulla” – sembra un modo ben congegnato per “simulare” sulla carta le tecniche consolidate sull’abaco, senza aver bisogno di portare con sè il non sempre pratico strumento.

Solo una congettura? Ci sono indizi per dire di no, ma ne parleremo nei prossimi articoli.

I vostri commenti sono i benvenuti, li attendiamo con piacere.

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