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To Bead or not to Bead … un pensiero profondo per cominciare il nuovo anno !

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To bead or not to bead … that is the question, e ci perdonerà il grande Shakespeare per questa citazione un po’ a sproposito.

Con questa profondissima domanda il nostro blog inaugura l’anno nuovo. Abaco o non abaco? Il dilemma non nasce oggi, e senza togliere il sonno a troppe persone ha perlomeno la sua origine nella diatriba riguardo all’interpretazione da dare al titolo della celebre opera di Leonardo Pisano, meglio conosciuto come Fibonacci: il “Liber Abaci”, appunto.

C’è chi sostiene – a torto o a ragione – che si debba tradurre tale titolo con “Il libro dell’abaco”. C’è chi sostiene invece – altrettanto a torto o a ragione – che tale traduzione sarebbe fuorviante, in quanto le tecniche di calcolo introdotte da Fibonacci sono applicabili senza l’uso dell’abaco.

Dunque, se è lecito chiedere, chi ha torto e chi ha ragione?

Come spesso accade, in fin dei conti … entrambi. Almeno da un certo punto di vista.

Ma cominciamo con un po’ di storia. Ci aiuta Enrico Giusti, con un bellissimo articolo intitolato “Matematica e commercio nel Liber Abaci”, pubblicato sul prezioso sito “Il giardino di Archimede – un museo per la matematica” ( accessibile a questo link ). Vi leggiamo:

“Quando il Liber Abaci vide la luce, ottocento anni or sono, la matematica dell’Occidente cristiano era praticamente inesistente: se si eccettuano le traduzioni dall’arabo che alla fine del XII secolo un gruppo di studiosi stava conducendo nella Spagna musulmana, traduzioni che riguardavano soprattutto i grandi classici – Euclide in primo luogo – dell’antichità greca, ben poco circolava in Europa all’inizio del Duecento. Soprattutto ben poco di comparabile per mole e per profondità a quanto Leonardo Fibonacci avrebbe reso pubblico nel 1202.

Nè soccorrono meglio le opere arabe, certo testimoni di una cultura scientifica di tutt’altra consistenza e dalle quali Leonardo per sua stessa ammissione aveva attinto la maggior parte delle sue conoscenze. Ma anche rispetto ai suoi maestri, Fibonacci compie un’opera unica se non per originalità certo per mole: ben pochi trattati d’abaco arabi ci sono pervenuti che possano stare alla pari con quello scritto dal Pisano al termine delle sue peregrinazioni.

Siamo dunque di fronte a un’opera che non ha antecedenti in Europa, e che sfida le sue stesse fonti arabe; un’opera che non ha padri. Naturalmente, non mancano le filiazioni da opere precedenti, e anzi in alcuni tratti il Liber Abaci mostra evidenti le tracce di autori arabi, da al-Khwarizmi ad Abu Kamil; ma è altrettanto evidente che l’opera di Leonardo deriva non da un autore o da una scuola, ma semmai dalla matematica araba nel suo complesso, e che Fibonacci integra in essa tutte le conoscenze acquisite durante il suo apprendistato a Bugia prima, e poi nel corso dei suoi viaggi in tutto il mondo conosciuto”.

Ancora dallo stesso articolo, citiamo le rarefatte note biografiche che il Giusti raccoglie intorno al Fibonacci, tanto famoso quanto avvolto, in definitiva, dal mistero:

“Non c’è nessun documento che attesti la data di nascita di Leonardo. Sappiamo solo che in giovanissima età – “in pueritia mea” scrive nel Liber Abaci – aveva accompagnato a Bugia il padre Guglielmo, che nella dogana della città maghrebina svolgeva le funzioni di “publicus scriba pro Pisanis mercatoribus”, ossia di notaio che curava l’assistenza ai mercanti e forse aveva anche incarichi di rappresentanza. Qui il giovane Leonardo apprese la matematica dell’abaco, forse non più dei primi rudimenti se si deve prestar fede al suo proprio racconto, dove dice essere stato a scuola d’abaco “per aliquot dies”, alla lettera: “per alcuni giorni”. Ma una volta familiarizzatosi con le tecniche dei numeri arabi, non cesserà più di accumulare conoscenze, impadronendosi di quanto si sapeva nei luoghi in cui lo portava la sua attività, o forse più probabilmente il suo desiderio di viaggi e di conoscenze: in Egitto, in Siria, in Grecia, in Sicilia, in Provenza; in breve, in tutto il Mediterraneo.”

Fermiamoci un attimo e cerchiamo di fare il punto nella tempesta d’informazioni che in questi pochi paragrafi ci ha bombardato la mente… raccogliamo alcune parole chiave tra quelle che ci hanno solleticato l’immaginazione e il pensiero …

… ad esempio: “matematica araba” …

… meglio ancora: “numeri arabi” …

… ed ecco un indizio importante: “la matematica dell’abaco” …

… e infine, la vera parola chiave per ricostruire la scena teatrale: “il mondo conosciuto” …

Il mondo conosciuto! Di che cosa stiamo parlando?

Stando alle note del Giusti, il “mondo conosciuto” di Leonardo Pisano comprende – oltre all’algerina Bugia, anche “l’Egitto, la Siria, la Grecia, la Sicilia, la Provenza”. Niente dunque di particolarmente esotico … ma non abbiamo forse saltato qualche passaggio di troppo, nei nostri calcoli?

Facciamo un passo indietro e ripeschiamo un’altra delle nostre parole-chiave: “numeri arabi”.

Numeri arabi! … voi che leggete questo articolo sapete di cosa stiamo parlando?

Probabilmente sì, almeno a grandi linee: tutti sanno che i cosiddetti “numeri arabi” sono in realtà i numeri indiani, adottati appunto dagli Arabi con qualche adattamento e da loro stessi portati anche nella cosiddetta “Europa cristiana” che anche il Giusti come tale menziona.

Tutti sanno anche che i numeri arabi – pardon, i numeri indiani – introducono come una novità nello stesso mondo arabo la notazione posizionale, e ancora più noto è il fatto che proprio grazie alla matematica indiana viene introdotto l’uso dello zero come “numero” – meglio sarebbe dire come cifra.

Ok, d’accordo. E cosa c’entra tutto questo  con l’abaco-o-non-abaco, da cui siamo partiti?…

… vedrete che c’entra, eccome!

Innanzitutto, i detrattori della tesi “abaco sì”, quando dicono “abaco” pensano esclusivamente all’abaco latino o antico-romano, unico retaggio di questo tipo di strumento nella sempre cosiddetta “Europa cristiana”. Certo. Questo ci riporta alla premessa prima di Enrico Giusti, vale a dire “quando il Liber Abaci vide la luce, ottocento anni or sono, la matematica dell’Occidente cristiano era praticamente inesistente”.

In effetti l’abaco romano – peraltro interessantissimo strumento – non era affatto uno strumento “posizionale”, così come non lo era il sistema di numerazione latino che ne rispecchiava nè più nè meno il funzionamento.

Quindi – abaco o non abaco – il “Liber Abaci” di cui Fibonacci, non si riferisce certo, nè direttamente nè indirettamente, allo strumento di calcolo della Città Eterna … ma allora?

allora torniamo alla domanda delle domande: “il mondo conosciuto”!

Urge un’addizione. Facciamola subito. Addizioniamo “Mondo conosciuto” con “Matematica araba”. Otteniamo, usando la proprietà dissociativa, commutativa e associativa dell’addizione: “Matematica” + “Mondo conosciuto dagli Arabi”… cambia qualcosa? … Eccome se cambia!

Il mondo conosciuto dagli Arabi, all’epoca di Fibonacci, in effetti andava un pochino al di là della pur ammirabile cultura del Pisano: di sicuro, abbiamo detto, avevano abbastanza approfondito la familiarità con il mondo indù da riportarne a casa – ed esportarne all’Europa – le conoscenze scientifico-matematiche e non solo. Ma già da diversi secoli erano arrivati fino in Cina, dove la moschea di X’ian, una delle più antiche al mondo, fu fondata da uno dei primi Califfi, nel primo secolo dell’Egira. E d’altra parte, un detto del Profeta Muhammad esorta a “cercare la conoscenza fino in Cina”!

Ebbene, tra il Medioriente e la Cina, decisamente la cultura dell’abaco si trova ben più radicata che non sulle sponde del Mediterraneo. Tutto fa pensare che il mondo arabo, o almeno una parte di esso, avesse effettivamente adottato un abaco simile a quelli orientali piuttosto che non l’abaco latino. E la notazione posizionale – comprendente la cifra dello zero a segnare il posto per le posizioni dell’abaco dove “non succede nulla” – sembra un modo ben congegnato per “simulare” sulla carta le tecniche consolidate sull’abaco, senza aver bisogno di portare con sè il non sempre pratico strumento.

Solo una congettura? Ci sono indizi per dire di no, ma ne parleremo nei prossimi articoli.

I vostri commenti sono i benvenuti, li attendiamo con piacere.

Santa pazienza!

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grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Restiamo sul tema Curriculum Inspirations #2, (http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf) da predigerire con meticolosa attenzione nella separazione degli aspetti degni di interesse.

Il primo è certamente quello dell’equazione con valori assoluti in due variabili proposta dal quesito:
|x+y|+|x-y|=2, di cui nell’ultimo post “Una funzione… quadrata”, http://wp.me/p2liCw-3I) abbiamo anticipato il grafico.

Stanton chiede per prima cosa: “che sensazione vi procura la vista di questa equazione?”
Ma noi non ci lasciamo impressionare.

La nostra reazione istintiva è semplicemente un ritroso “noooooo….”, dovuto a cosa?
Analizziamo freddamente:
– al fatto che ci sono i valori assoluti
– al fatto che ci sono due variabili
– al fatto che c’è una stuzzicante simmetria nella struttura dell’equazione, che promette artifici di calcolo e altre bizzarìe alle quali non riusciremo ad esimerci di sottoporci.

I valori assoluti.
Niente di che, c’è una semplice procedura standard per affrontarli. E’ solo lunga e potenzialmente noiosa. Fine.

Le due variabili.
Qui un appunto si, lo dobbiamo fare: chi ci ha mai abituato a lavorare con una sola equazione in due variabili? Ci mancano i riferimenti culturali di base: com’è fatto l’insieme delle soluzioni? Come lo si gestisce?
Reazione istintiva: Aiuto!! Ho un’equazione in due variabili, e niente con cui metterla a sistema!!

La stuzzicante simmetria.
E’ crudelissima, perchè ci stimola a cercare di affrontare l’equazione, ce la rende attraente, impedendoci di fuggire senz’altro indugio il fatidico quesito.

E’ a questo punto che scatta l’ingrediente segreto di ogni buon compito di matematica: la santa pazienza!
Armiamoci di santa pazienza, e – come dice Stanton – cominciamo a fare qualcosa.
Cosa?
Quello che normalmente si fa con i valori assoluti.
Esplicitiamo i diversi casi dei valori assoluti: si tratta di un’operazione puramente algebrica, e forse navigando nella nebbia di questa arriveremo anche a darci la risposta rispetto all’insieme delle soluzioni. Questa prassi di fiducia nella “leggibilità geometrica” del calcolo algebrico, in effetti va trasmessa agli studenti, poichè non è affatto istintiva nè scontata.
La vera lezione, ripetiamo, è la santa pazienza:
Esplicitiamo dunque le 2×2=4 equazioni in cui si scompone il valore assoluto a seconda dei casi:

Caso x+y>=0 e x-y>=0: l’equazione diventa (x+y)+(x-y)=2, ovvero 2x=2, ovvero x=1 …. wow!

Caso x+y>=0 e x-y<0: l’equazione diventa (x+y)+(y-x)=2 ovvero y=1 …. wow wow!

Caso x-y>=0 e x+y <0 : l’equazione diventa -(x+y)+(x-y) =2 ovvero y=-1

Caso x-y < 0 e x+y < 0 : l’equazione diventa -(x+y)-(x-y)=2, ovvero x=-1

Fino a qui, tutto bene: abbiamo ottenuto espressioni semplici: siamo galvanizzati e fiduciosi… ma allora cos’è questo senso di disagio che ancora ci vàriega?

Ma certo: siamo a disagio rispetto agli insiemi di validità delle quattro espressioni.

Allora, riprendiamo dalla cassetta degli attrezzi la santa pazienza e cominciamo ad analizzare il primo:

x+y>=0 e x-y>=0

anche qui le reazioni istintive ci tempestano immediatamente:
domanda 1: ma è possibile che siano vere contemporaneamente queste due espressioni? (Risposta: “lo scopriremo solo vivendo…”, ovvero, portando i calcoli fino in fondo)
domanda 2: ma come si gestisce una disequazione in due variabili? (Risposta lunga: se un’equazione in due variabili ha come insieme delle soluzioni una funzione con un grafico, la disequazione in due variabili avrà come insieme delle soluzioni la parte di piano soprastante o sottostante quel grafico. Risposta breve: la si risolve graficamente)

Quindi evviva, risolviamo graficamente!
… Come si fa?
Riprendiamo la risposta lunga alla domanda 2 e trasformiamola in procedura operativa:
1) Trovare le equazioni associate.
In questo caso sono x+y=0 (ovvero y=-x, bisettrice del II e IV quadrante) e x-y=0 (ovvero y=x, bisettrice del I e III quadrante).
2) Intersecare le parti del piano soprastanti i grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione “>=0” o sottostanti ai grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione <0.

Ma attenzione: quando consideriamo la disequazione, dobbiamo verificare che la sua forma corrisponda a quella dell’equazione associata, altrimenti rischiamo di sbagliare. Ad esempio, nel nostro primo caso la seconda disequazione è x-y >= 0 mentre la nostra equazione in forma esplicita è y=x : i segni delle y non corrispondono. Per poter valutare correttamente il semipiano da considerare nella risoluzione grafica, converrà portare la disequazione nella stessa forma esplicita dell’equazione associata, e visto che y era negativa, il verso della disequazione deve cambiare. Otterremo: y <= x, quindi il semipiano da considerare sarà quello sottostante e non soprastante il grafico dell’equazione.

E ci voleva tanto?

No, solo un po’ di tempo, calma e concentrazione per dedicarsi a questo in modo esclusivo.

Quindi, nel primo caso, intersechiamo il semipiano soprastante la bisettrice del II-IV quadrante con il semipiano sottostante (mi raccomando!!) la bisettrice del I-III quadrante. Otteniamo l’angolo retto compreso tra le due bisettrici contenente il semiasse x positivo.
L’insieme di validità della seconda equazione sarà invece l’angolo tra le due bisettrici contenente il semiasse y positivo. E così via fino a ricomporre tutti e quattro gli spicchi del quadrato.

Passarci un po’ di tempo, vale davvero la pena!

Curriculum Inspirations #2 – si alza il tiro!

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Rompe un po’ la continuità rispetto alla prima delle proposte di problem solving basati su quesiti dell’American Mathematical Competition, a cura di James Stanton e pubblicate dalla Mathematical Association of America, il secondo quesito risolto della collezione.

Se il primo dei problemi proposti, sul quale abbiamo proposto alcune fugaci riflessioni nel mese di Ottobre con l’articolo “Ispirazioni per la didattica” http://wp.me/P2liCw-28 era un esercizio di geometria piana adattabile per riflessioni molto stimolanti a pressochè ogni ordine di scuola, il secondo numero della raccolta propone un quesito decisamente di altro livello, che richiede di tuffarsi subito in “acque alte”.
Mettiamo un attimo da parte l’interesse per il problema, oggettivamente stimolante e carino [per un matematico], e il sempre accattivante stile letterario in cui viene proposta l’attività didattica. Lasciamo stare anche per un momento l’accento che Stanton pone sullo spirito e sul metodo con cui proporre in classe non una “risoluzione” ma una “discussione aperta” sull’argomento.
E’ necessario, mettere per un momento da parte tutto questo, alla luce dei gridi di allarme e delle riflessioni di ben altro ordine che invece in questi giorni attraversano gli Stati Uniti proprio riguardo ai “core standard”, a cui il lavoro di Stanton si propone di attenersi con zelante diligenza.
Viene allora il sospetto che la finalità ultima non sia [soltanto] quella di insegnare modi nuovi e molto più convincenti di affrontare la didattica della matematica. Questo c’è e nessuno lo mette in dubbio, il lavoro resta notevole e degno di approfondimento. Viene però il sospetto che in qualche misura questa proposta di schede didattiche voglia servire da “foglia di fico” per coprire l’inadeguata burocratizzazione che si è voluto imporre alla didattica.
Non vorrei entrare nel merito della discussione visto che la cosa non ci riguarda direttamente, ma credo sia utile riflettere sulla linea di confine tra la sistematizzazione efficace degli obiettivi di apprendimento e una burocratizzazione che invece di essere di supporto allo studente ne diventi l’incubo e lo scoglio insormontabile.
Detto questo, il secondo problema di Stanton merita un articolo a sè. E’ un problema di geometria in due variabili, adatto al massimo al triennio dei licei scientifici e degli istituti tecnici, con risvolti anche di programmazione lineare che per la verità da noi si studia veramente in pochissimi ambienti. Come livello di difficoltà, è forse addirittura più adatto agli studenti universitari. Ma c’è della magia, perchè in poche righe riesce a far vedere come un’antipatica equazione descriva in realtà il contorno di un quadrato.
A presto una presentazione e sarò curiosa di sapere come proponete di utilizzarlo in classe!

(to be continued)

7 e dintorni

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Ogni numero ha il suo fascino.
E il numero 7 è un numero di importanza simbolica fondamentale per chi è sensibile alla scienza tradizionale: è il numero dei giorni della Creazione, e quindi il numero dei giorni della settimana, in tutte le Tradizioni abramiche. E’ il numero delle Virtù, cardinali e teologali, della dottrina cristiana. E’ il primo dei numeri primi a non essere contenuto nelle dita di una mano. Ricorre anche nella Tradizione Indù, dove si menzionano i sette Rishi, i sette saggi immortali dei primordi dell’Umanità.
Per chi ama la geometria, il fascino del numero sette va ancora oltre: si scopre infatti che l’ettagono è uno dei poligoni che si possono costruire con riga e compasso.
E la costruzione è semplice: risulta infatti che il lato dell’ettagono regolare inscritto in un cerchio equivale con ottima approssimazione alla metà del lato del triangolo equilatero inscritto. Per creare uno slogan d’effetto, potremmo dire che nel mondo dei poligoni inscritti, 3×2=7 !
Dall’enciclopedia islamica, eccoci riportata una “ricetta” per la costruzione dell’ettagono attribuita al grande architetto iraniano del X secolo Abou-l-Wafa al-Mohandes (Abou-l-Wafa l’Architetto).
Nella sua opera “sulla matematica che serve agli artigiani”, Abou-l-Wafa ben distingue tra indagine filosofica della matematica e applicazioni pratiche. La sua costruzione dell’ettagono regolare, sebbene dia soltanto una soluzione approssimata, oggi diremmo che ha un eccellente rapporto facilità di esecuzione / accuratezza dell’approssimazione. Proprio quello che serve a chi la matematica la deve trasformare in oggetti da vedere e da toccare!

fonte: islamicencyclopedia.org

fonte: islamicencyclopedia.org

La taumatropioaritmetica

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Non per cambiare discorso rispetto alla bellissima lezione della prof.ssa Lucangeli, argomento in evidenza la scorsa settimana, ma anzi, per approfondirne la conclusione … in effetti sorge spontanea una domanda: ma quando le circolari ministeriali parlano di “strumenti compensativi e dispensativi”, davvero questo complesso apparato espressivo si traduce univocamente con “calcolatrice”? Se la risposta fosse positiva, allora la domanda di riserva: perchè tanti sotterfugi? Dite “calcolatrice”, non è una parolaccia, nè pubblicità occulta. E’ un nome comune della lingua italiana, comprensibile a tutti…
Ma se invece la risposta non fosse positiva? Se per “strumenti compensativi e dispensativi” si intendesse esattamente questo – degli strumenti compensativi (in grado di compensare il deficit permanente o temporaneo di capacità a gestire il calcolo) e dispensativi (in grado di prevenire l’eccessivo carico di attività legate al calcolo, permettendo una migliore concentrazione su altre abilità utili alla risoluzione del problema e pertanto allo sviluppo a lungo termine di capacità matematiche)?
Riusciamo a immaginare “strumenti compensativi e dispensativi” che non siano la calcolatrice? Secondo me si può. Serve un po’ di inventiva, saranno molto diversi a seconda del grado di scuola e dell’argomento specifico di cui si tratta, ma alcune caratteristiche comuni a mio avviso dovrebbero averle. Ad esempio:
– essere costruiti dallo studente.
Ho lavorato diversi anni negli Istituti Professionali, dove la matematica non è precisamente la vocazione di vita degli studenti nè il loro appassionato amore, e mi ero data una piccola regola per i compiti in classe: no alla calcolatrice, ma sì a qualunque strumento di aiuto al calcolo che lo/la studente avessero amorevolmente costruito da soli come aggiuntina ai compiti a casa. Allora ad esempio:
– una banalissima tavola pitagorica (vi assicuro che non è mai di troppo, se non altro per sapere qual è il giusto posto nell’universo per il malcapitato 49 …)
– un formulario di geometria
Addirittura con grande successo a un corso moda ho proposto, fatto costruire e visto proficuamente utilizzare una sorta di “regolo delle equivalenze”.
Costruendo lo strumento, intanto lo studente è costretto a passare un po’ di tempo a fissare poche basilari nozioni, a riordinarle in una mappa strutturata (ad es. la tabellina), a “giocarci” manualmente, colorandole come vuole, o pasticciandoci sopra tutto quello che pensa sulla materia (abbiamo visto che l’intelligenza emotiva aiuta…). In secondo luogo, sarà protagonista della sua “compensazione”, e la “dispensa” che ottiene sarà soltanto in definitiva un migliore e più umano utilizzo del tempo necessario al suo apprendimento, una dilatazione delle ore di lavoro sull’argomento e una diversificazione dei metodi con cui tale apprendimento viene raggiunto.

Ma veniamo alla taumatropioaritmetica. E’ un esempio, e va bene per i bambini delle elementari. Un’idea per far studiare le tabelline, che richiede per la verità un po’ di lavoro, causerà un gran trambusto e quindi piacerà…

Che cos’è il taumatropio? E’ un piccolo e molto rudimentale strumento per creare l’illusione ottica della sovrapposizione di due immagini, che in realtà sono distinte. E’ uno dei tanti progenitori del moderno cinema di animazione. Si tratta di produrre due parti complementari di una stessa immagine, cioè due parti che compongano un insieme ma che non abbiano sovrapposizioni l’una con l’altra, e di disegnarle su due diversi cartoncini, non troppo grandi nè troppo piccoli, di eguale misura. Le si incollerà poi una dietro all’altra, e “a testa in giù” l’una rispetto all’altra. Dopo aver incollato i due cartoncini nel modo giusto, si praticano due fori agli angoli e si inseriscono due elastici. Arrotolando gli elastici intorno alle dita delle due mani in modo da “caricare” un movimento rotatorio del cartoncino, si produrrà l’illusione ottica della giustapposizione delle due parti complementari, e quindi dell’immagine completa.

–> Qui ci starebbe bene un video esplicativo. Prometto che arriverà presto! <–

Ora: cosa c’entra il taumatropio con l’aritmetica?
Immaginate un modo diverso di fare l’interrogazione sulle tabelline (o su qualunque altro capitolo “lampo” che richieda risposta diretta a domanda diretta – ad esempio le formule di geometria elementare):
-Preparate (o fate preparare a casa ai ragazzi) i cartoncini per la costruzione di diversi taumatropi: ne serviranno un certo numero per ogni studente. Va da sè che saranno in numero pari. (Meglio pianificare di avere tutto il campionario esaustivo dell’argomento che con questa attività si vuole testare).
– Su tutti i cartoncini, segnate una leggera traccia della linea orizzontale di mezzo. Servirà come guida per inserire i contenuti.
– Dividete i cartoncini in due insiemi di uguale cardinalità (ehm… sì, in due mucchi uguali).
– Su una metà dei cartoncini, tenendo come riferimento la traccia orizzontale, scrivere in caratteri ben leggibili, e possibilmente con colori vivaci, la domanda alla quale volete che lo studente risponda (ad es. “3 x 7 =”). Facendo questo lavoro, abbiate sempre l’accortezza di lasciare vuota la parte destra del cartoncino.
– Sull’altra metà dei cartoncini, sempre all’altezza della traccia orizzontale, segnate un riquadro adatto a contenere la risposta alla domanda che avete previsto (ad es., nel caso delle tabelline, sarà sufficiente un riquadro adatto a contenere un numero di 3 cifre al massimo, di grandezza simile a quella dei caratteri da voi usati per comporre le domande nel primo gruppo di cartoncini.
– Ogni studente riceverà quindi un certo numero di cartoncini-domanda; un uguale numero di cartoncini-risposta da compilare; avrà inoltre a disposizione colla, bucatrice ed elastici per costruire i suoi taumatropi.
Va da se che oltre alle competenze aritmetiche bisognerà anche avere capacità manuali e intuito nella disposizione spaziale (visto che incollando male i cartoncini, il taumatropio potrebbe non comporre la giusta immagine).
Quindi la valutazione potrà prendere in considerazione separatamente la correttezza della risposta matematica prodotta, ma anche le capacità manuali ecc.
Vi assicuro che è molto divertente, una volta costruito il taumatropio con la domanda (es. 3×7= ) su un lato e la risposta (es. 21) sull’altro (quindi non visibili contemporaneamente), farlo girare e veder comparire l’insieme (es. “3×7= 21”). Provate per credere che anche i vostri studenti cominceranno a lasciarsi incantare dalla matematica!

Un’interessante lezione sulla didattica della matematica

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“L’intelligenza emotiva esiste, quindi non andate a scuola accartocciati, altrimenti neanche quella numerica cresce”.

La densità di informazioni e consigli utili che si trovano in questo video, merita un invito ad andare oltre l’apprezzamento per lo stile e la studiata simpatia con cui la prof.ssa Lucangeli espone le sue riflessioni, tanto utili e necessarie. Andare oltre per ascoltare e riascoltare più volte i singoli passaggi, ma non solo ascoltare: cercare di trarne delle conseguenze pratiche.
Gli errori più frequenti nella didattica vengono sapientemente evidenziati. E non è difficile quindi tenersene lontani, a patto di averli ben compresi e assimilati tutti. E sono diversi.
Ma poi vi è la pars construens: bisognerà pure costruire una didattica che sia più rispondente a quella corrispondenza tra bisogni cognitivi e strategie di insegnamento-apprendimento che l’intervento auspica.
Su questo, il lavoro da fare è molto, e serve sinergia e comunicazione tra diversi ambiti di competenza e d’intervento, in un’ottica interdisciplinare.
Grazie a La Ludomatica (http://www.facebook.com/pages/La-Ludomatica) per la condivisione.

Incontro con Norman McLaren

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Quanta matematica e quanta arte ci sono in un cortometraggio di animazione?
Norman McLaren è un artista scozzese divenuto famoso tra il primo e il secondo dopoguerra, diventando autore di spicco del National Film Board of Canada.
Grazie al sostegno economico e produttivo dell’ NFB, sviluppa la propria sperimentazione approfondendo tecniche diverse come il disegno animato, la pixillation (l’inserimento di attori veri in sequenze animate), l’ animazione ottenuta con la carta ritagliata, la stop-motion, l’elaborazione dei suoni mediante intervento diretto sulla banda sonora. Si tratta di lavori dal grande impatto tecnico, che hanno segnato l’eccellenza della sperimentazione ma senza mai rinunciare all’intrattenimento (fonte: Wikipedia).

Mobius building

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Mobius building
Il nastro di Mobius è una figura di transizione tra le due e le tre dimensioni, che dà luogo a una superficie infinita. L’idea del nastro di Mobius è già stata affrontata in passato in architettura, ma nessun progetto è mai stato tanto ambizioso quanto il “Nido di rondine”, proposto da Vincent Callebaut come centro di arti e letteratura per la città taiwanese di Taichung.
Formato da una serie di triangoli isosceli che ruotano gradualmente intorno ad un’ellisse, la costruzione crea una drammatica divisione fra dentro e fuori, permettendo un’integrazione dello spazio pubblico nel centro della costruzione, attraverso il “Patio Infinito”.
http://www.architizer.com/blog/mobius-strip-building-brings-loops-and-bling-to-taiwan/
(LE)