Diario di bordo – Chi si ricorda la “Didattica breve”?

Immagine Pixabay

Si tratta di un campo di ricerca che mi ha da sempre affascinata. Cominciai ad occuparmene quando insegnavo a un corso serale ITI elettrotecnico, classe IV. Missione, insegnare a volenterosi trenta-quarantenni già esperti in vari campi di lavoro ma pressochè digiuni di matematica, un ingente programma di analisi, con approfondimenti su successioni e serie, numeri complessi ed equazioni differenziali, il tutto in tempo-classe ridotto ai minimi termini, spesso, per loro, dopo una già faticosa giornata di lavoro.

Lo stesso principio didattico, a grandi linee fondato su una seria e ragionata ricerca di “nuclei fondanti” e percorsi logici anche interdisciplinari – la cosiddetta “distillazione della materia”, si applica molto bene anche nel campo a me ancora più caro della didattica interculturale, che se ben spesa diventa un supporto extracurricolare al potenziamento e al rinforzo anche della matematica (un mio articolo a riguardo, dal titolo “Islam e matematica: aspetti per una didattica interculturale”, è recentemente apparso nel volume “L’Islam e i grandi educatori – le religioni come sistemi educativi”, ed. Belforte, Livorno, 2019).

L’ipotesi corrente di riaprire a settembre le classi con lezioni di 40 minuti, mi sembra che renda di nuovo estremamente attuale e necessaria una riflessione su questa modalità didattica, soprattutto nel campo della matematica dove in quei 40 minuti non si tratta soltanto di far ragionare, trasmettere nozioni o consigliare letture, ma bisogna arrivare a un preciso dunque di “saper fare” molto specifici e a volte molto complessi e “lenti” da costruire.

Il lavoro richiesto è molto, soprattutto a monte della lezione, ma la spendibilità è a lungo termine e il “risparmio” in termini di insuccessi didattici può essere davvero notevole.

Qui il link a una pagina che ben illustra gli aspetti di questo metodo di lavoro (link esterno):

http://www.roberto-crosio.net/db/db.htm

Buona lettura!

Diario di bordo – “A cosa serve, prof?”

Da buoni naviganti, bisogna avere un diario di bordo: io lo comincio oggi, giusto per trascorrere questo periodo di semi-reclusione necessaria per la salute fisica nostra e di tutti. Con l’occasione, per la serie “non è mai troppo tardi”, eccomi all’alba dei miei anta e più anni di vita intraprendere finalmente un serio studio di Wolfram, che non avevo mai avuto finora occasione di esplorare in profondità. Sono al terzo capitolo del manuale online e la mia anima logico-matematica è già oltremodo stimolata.

Per chi avesse interesse o curiosità di avventurarsi a imparare il linguaggio Wolfram, il free cloud richiede “soltanto” l’apertura di un account disvelando un proprio indirizzo email valido (non la password, mi raccomando!) con il settaggio di una password apposita (e diversa da quella della mail, mi raccomando!) per l’accesso al sito. Per completezza della trattazione, non sono sponsorizzata e questo non vuole essere un post pubblicitario nè di recensione, semplicemente ho usato il free cloud di Wolfram e mi è venuto in mente di ricavarne un argomento per quattro chiacchiere matematiche – se avete dei dubbi o obiezioni, scrivetemi!

Secondo capitolo, le liste

Dopo un primo capitoletto introduttivo sulle quattro operazioni di base, elevamento a potenza e funzioni di massimo e di randomizzazione, tutto sommato molto basilare, segue un secondo capitolo che introduce le liste (simile ai vettori o “array”, ma con altre funzionalità tutte particolari), con una interessante funzione Range[n] che permette di creare in automatico la lista ordinata e crescente dei numeri interi da 1 a n.

Il capitolo prosegue illustrando le altre funzioni di base che sono utili alla gestione delle liste, come ListPlot[] (per disegnare il grafico dei valori della lista), Reverse[] (per invertire l’ordine di lettura dei valori della lista), Join[] (per concatenare più liste tra di loro).

Ogni capitolo è corredato da una serie di esercizi, tutti molto utili e stimolanti, che permettono di verificare la comprensione della sintassi e di fare pratica con le varie funzioni apprese e con le gerarchie strutturali nell’uso combinato di più funzioni in uno stesso comando.

Dopo aver familiarizzato con le liste e con i Range (che abbiamo detto sono delle sequenze ordinate di numeri interi da 1 al valore indicato nell’argomento della funzione), si passa al

Terzo capitolo: i tipi di grafico

dalla lettura del quale, partì l’idea di questo post.

Grafico a torta della funzione Range[10]. A cosa serve? Bella domanda!

Un po’ perchè è soltanto il terzo capitolo, un po’ per ripassare le funzioni introdotte nel secondo, i diversi tipi di grafico con le loro [fantastiche!] funzioni di comando vengono illustrati anche utilizzando la funzione Range[]. Qui sopra nell’immagine ho prodotto il grafico a torta della lista Range[10]. Dopo di che mi sono chiesta che utilità può avere trasformare in grafico a torta una semplice progressione aritmetica di passo 1.

Quindi, a cosa serve?

Bella domanda! Potenzialmente a niente, se non a illustrare il funzionamento della funzione.

Ma noi non siamo così banali, vero? Un modo per rendere utile questo bellissimo grafico a torta lo possiamo sicuramente trovare. Ad esempio, ci potremmo chiedere quanto vale l’angolo in arancione chiaro, il più piccolo sulla sinistra, ovvero quello che viene poi moltiplicato per 2, per 3 … e così via fino a 10x, in modo tale da riempire esattamente l’angolo giro.

Calcolare gli angoli della partizione. Sembra facile?

In effetti, difficile in questo caso è una parola grossa, almeno se ci si ricorda quella che io chiamo la formuletta di Gauss-Khayyam (sul perchè di questo nome e/o su chi è Omar Khayyam, vedere questo precedente articolo).

Sto parlando della famosa formula che dice che la somma dei primi N numeri interi si calcola come N*(N+1)/2.

Se diamo questa formuletta come dato di fatto, o la dimostriamo facilmente a parte, si può proporre l’esercizio sul calcolo dell’angolo base anche in una scuola media. Basterà infatti un momento di ricerca guidata, ragionando sulla figura e sui dati, per “affettare” ogni porzione del grafico in parti uguali all’angolo base, e convenire che esse saranno esattamente in numero pari alla somma dei primi dieci numeri interi, ovvero, utilizzando la formula di Gauss/Khayyam: 10*11/2, vale a dire 55.

Andiamo allora a calcolare l’angolo cercato: dovremo eseguire in sessagesimale la divisione 360°/55 , che semplificando un po’ diventa 72°/11.

Se non ho sbagliato nulla, il risultato finale dovrebbe essere 6° 32′ 43” e 635 millesimi di secondo (approssimazione per difetto a meno di 2 millesimi).

Una nota di storia della matematica per finire

Può essere interessante ricordare che il sistema sessagesimale era ampiamente in uso nell’area babilonese e fu adottato anche dai matematici e astronomi centro-asiatici e persiani nell’epoca islamica. La sostituzione con il sistema decimale avvenne ad opera dei matematici musulmani e fu graduale, con contributi significativi di Al-Kindi, Al-Khwarizmi, Al-Buzjani, Khayyam e più avanti nei secoli al-Kashi e molti altri.

#iorestoacasa #afardiconto #giochimatematici #culturamatematica

L’astroide che voleva farsi trovare

spoilerando, come di consueto, il finale…

Se siete in cerca di figure geometriche nuove, loghi intriganti o anche solo scacciapensieri geometrici, andate su Geogebra, disegnate un oggetto a caso, dategli un’espressione parametrica, attivate lo strumento “Mostra traccia”, avviate uno slider per il parametro e state a vedere cosa succede… (alzi la mano chi non usa Geogebra e non sa di cosa sto parlando!).

Ad esempio, dopo che in questo recente articolo mi ero occupata dell’equazione parametrica dell’ellisse di dato centro e assi, affascinata dal vedere come si muovono le coordinate S_1 e S_2 del punto S scorrevole sull’ellisse, mi è venuto in mente di attivare lo strumento “Mostra traccia” (cliccare sull’oggetto per selezionarlo – poi pulsante destro del mouse – poi selezionare “Mostra traccia” nel menù che appare; salvo manutenzioni del programma, di solito funziona e molto bene). Naturalmente ho immortalato il risultato nel solito minivideo che qui presento

l’Astroide come curva inviluppo usando la funzione “mostra traccia” su Geogebra

La figura che vien fuori dalla sovrapposizione delle tracce è ben nota e si chiama Astroide, è un tipico esempio di curva di inviluppo ovvero di curva formata – come in questo caso – da una famiglia di rette (non parallele tra di loro e non passanti tutte per uno stesso punto, ma in qualche altro modo legate da una relazione parametrica) che ne rappresentano le tangenti. In altre parole, la curva Astroide è tale che in ogni suo punto, la retta tangente alla curva contiene un segmento S_{1}S_{2} di quelli generati dal punto S variabile sull’ellisse, e viceversa ognuno dei segmenti S_{1}S_{2} appartiene a una qualche retta tangente all’Astroide.

Per ottenere l’equazione parametrica dell’astroide in funzione del parametro s, è quindi sufficiente applicare la regola generale che permette di calcolare l’equazione della curva inviluppo conoscendo la famiglia delle rette tangenti, in funzione di un dato parametro.

Senza dare qui la dimostrazione, ricordiamo che tale regola prevede di mettere a sistema le due equazioni:

F(x,y,s)=0

F_s(x,y,s)=0

dove la prima equazione è l’espressione della famiglia di rette in funzione di x, y e s, scritta in forma implicita, mentre la seconda equazione rappresenta la derivata parziale rispetto al parametro s uguagliata a 0.

Nel nostro caso, ricordando l’espressione di x(S) e y(S) che abbiamo illustrato in questo articolo, chiamando a e b i semiassi maggiore e minore e considerando che il centro è nell’origine, abbiamo:

S_1 = (a\cos(s),0)

S_2 = (0,b\sin(s))

Per trovare l’equazione parametrica della generica retta tangente, osservo innanzitutto che il segmento S_{1}S_{2} è sempre inclinato rispetto all’asse x di un angolo supplementare rispetto all’angolo s (e incidentalmente, anche se questo dato non ci servirà, notiamo che la lunghezza di S_{1}S_{2}, in corrispondenza di ogni punto S è pari al raggio variabile OS dell’ellisse), come si può verificare facilmente con l’aiuto della figura:

In ogni punto S dell’ellisse, il segmento S_{2}S_{2} è la seconda diagonale del rettangolo di diagonale OS

Questo significa che il coefficiente angolare di S_{1}S_{2} sarà in ogni punto pari a -\frac{b}{a} \tan{s}

La generica retta della famiglia con parametro s, contenente il segmento S_{1}S_{2} avrà quindi equazione:

\displaystyle{ y = -\frac{b}{a} \tan{s}\left( x - a \cdot \cos{s} \right) }

(Ho usato la formula della retta passante per un punto, con punto base S_1 e coefficicente angolare -\frac{b}{a}\tan{s} ).

Abbiamo quindi

\displaystyle{ F \left( x,y,s \right) =  y + \frac{b}{a} \tan{s} \left( x - a \cdot \cos{s} \right)}

ovvero

\displaystyle{  F \left( x,y,s \right) =  y + \frac{b}{a} \tan{s} \cdot x - b \cdot \sin{s}}

mentre la derivata parziale rispetto a s prende l’espressione

\displaystyle{ F_s \left( x,y,s \right) =  \frac{b}{a \cos{s}^2}\cdot x - b \cdot \cos{s}}

Per trovare l’equazione della nostra curva astroide dovremo quindi mettere a sistema le due equazioni:

\displaystyle{    y + \frac{b}{a}  \tan{s} \cdot x - b \cdot \sin{s}=0}

e

\displaystyle{\frac{b}{a \cos{s}^2}\cdot x - b \cdot \cos{s}=0 }

Svolgendo i calcoli

Dalla seconda equazione otteniamo un’espressione per l’ascissa:

x = a \cdot \cos^3{s}

e sostituendo nella prima otteniamo

y = b\cdot \sin{s} \cdot \left( 1 - \cos^2{s}\right )

ovvero

y = b \cdot \sin^3{s}

In definitiva il punto R del nostro astroide, al variare di s avrà coordinate:

R = \left( a \cdot \cos^3{s}, b \cdot \sin^3{s} \right)

E incrociando le dita…

Per verificare se i nostri calcoli sono corretti, creiamo un punto R su Geogebra con tali coordinate e vediamo come si comporta rispetto all’Astroide:

Ehi, a quanto pare funziona!

#astroide #inviluppo #ellisse #bellafigura

Ellisse e moti oscillatori: che bella combinazione!

spoilerando subito il finale…

Unire diverse materie in una visione interdisciplinare non fa mai troppo male. Eccoci quindi a intersecare coniche, equazioni parametriche, funzioni trigonometriche e moto oscillatorio per parlare dell’ellisse (o dei moti oscillatori) da una prospettiva un po’ diversa dal solito.

In questo precedente articolo abbiamo visto che forma prende l’equazione parametrica di un cerchio. Oggi scopriamo l’equazione parametrica dell’ellisse, che è molto simile salvo il diverso ruolo dei due semiassi maggiore e minore nella formazione delle coordinate x e y del punto generico S.

In particolare, si trova che per una ellisse di centro O, asse maggiore BD e asse minore AC come quella nella figura a inizio articolo, l’equazione parametrica del punto generico S il cui raggio OS forma un angolo s con l’asse x, ha equazione (in linguaggio Geogebra):

S = (x(O)+0.5 Distanza(B,D) cos(s), y(O) + 0.5 Distanza(A,C) sin(s))

dove 0.5 Distanza(B,D) rappresenta la misura del semiasse maggiore, e analogamente 0.5 Distanza(A,C) rappresenta la misura del semiasse minore.

Si può facilmente notare che l’unica differenza strutturale tra l’equazione parametrica dell’ellisse e quella del cerchio sta nel fatto che l’ascissa oscilla in un range di valori dipendenti dalla misura dell’asse maggiore BD mentre l’ordinata oscilla in un range di valori dipendenti dalla misura dell’asse minore AC, mentre nel caso del cerchio entrambe le coordinate oscillano in un range di valori dipendenti dal “semiasse” unico e uguale per le due coordinate, rappresentato dal raggio del cerchio.

Interessante visualizzare separatamente il comportamento delle due coordinate del punto S al variare dell’angolo s tra - \pi e \pi. Aiutiamoci con due “riprese” da Geogebra:

moto oscillatorio della ascissa del punto S al variare di s tra - \pi e \pi
moto oscillatorio dell’ordinata del punto S al variare di s tra - \pi e \pi

Io trovo tutto questo molto interessante: la traiettoria ellittica è una combinazione di due moti oscillatori perpendicolari di ampiezza diversa e ovviamente di pari periodo. Il risultato della “combinazione” in questo terzo e ultimo mini-video

oscillazione delle coordinate x e y lungo l’ampiezza dei due semiassi, al variare di s tra - \pi e \pi

Come si suol dire in questi casi: “Semplice coincidenza? Io non credo!”. A voi recuperare la fonte di questa perla di saggezza testé citata.

#buonadomenica #oggileconiche #oscillatorio #ellisse #parametri

Equazione parametrica del cerchio

In questo piccolo blog formato minimal, portiamo al microscopio piccoli frammenti delle strutture matematiche, possibilmente una alla volta, tipo “pezzi di ricambio” per chi si fosse perso per strada qualche cosa.

Ad esempio, a proposito di equazioni parametriche mi è venuto in mente che forse può interessare un flash-post sull’equazione parametrica di un cerchio di centro A (x(A),y(A)) – sto usando il linguaggio Geogebra – e raggio pari alla distanza tra il punto A e il punto B che in Geogebra si scrive Distanza(A,B).

Con i potenti mezzi tecnici a mia disposizione, ho creato una piccola animazione (perchè “video” è una parolona in questo caso!) per illustrare come funziona la formula parametrica per le coordinate del generico punto T sulla circonferenza, la quale, sempre in linguaggio Geogebra, è data da:

T= (x(A)+Distanza(A,B)cos(s), y(A)+Distanza(A,B)sin(s))

essendo s l’angolo formato dal raggio AT con l’asse delle x.

Nella animazione qui di seguito, si può vedere la traiettoria del punto T che disegna la circonferenza, al variare di s tra - \pi e \pi.

geogebrando...

#animazioni #achilletartaruga #geogebrando #parametri #graziedellattenzione

Equazione parametrica dei punti di un triangolo ABC (conoscendo i vertici)

Uscendo dalla retorica dell’enumerazione (eravamo arrivati a “11 cose” in questo precedente articolo), mi resta però nella penna, anzi tra le dita e la tastiera un’ultima cosa che si può fare conoscendo i vertici A, B e C di un triangolo, ovvero, scrivere l’equazione parametrica di un qualunque punto interno al triangolo o appartenente al bordo della figura.

Riprendiamo quindi il nostro triangolo ABC di vertici (x_A;y_A), (x_B;y_B), (x_C;y_C) come in figura (quella lassù). Per cominciare…

Inseriamo un primo parametro t.

Per descrivere tutti i punti del triangolo ABC a partire dalle coordinate dei vertici, ci serviranno due parametri lineari, che chiameremo t ed s e che faremo variare fra 0 e 1.

Il primo parametro t servirà a individuare un punto T appartenente al lato BC del triangolo, tramite la ben nota formula:

T((1-t)x_B+tx_C;(1-t)y_B+y_C) \ \ t\in\left[ 0,1 \right]

Tramite il parametro T siamo quindi in grado di descrivere tutti i possibili punti del segmento BC, compresi gli estremi B (corrispondente a t=0) e C (corrispondente a t=1).

Ampliare gli orizzonti

Una volta individuato il punto T, è individuato anche il segmento AT che congiunge T al primo vertice del triangolo.

Al variare di T (ovvero al variare del parametro t fra 0 e 1), il segmento AT copre tutti i punti del triangolo ABC.

Introduciamo il secondo parametro s

Se tutti i possibili segmenti AT esauriscono i punti del triangolo (sia interni sia appartenenti al bordo), sarà sufficiente parametrizzare ciascun segmento AT con l’aiuto di un secondo parametro s, sempre variabile fra 0 e 1 (estremi compresi). Avremo:

S_T((1-s)x_A+sx_T;(1-s)y_A+sy_T)\ \ s\in\left[ 0,1 \right]

Al variare di t tra 0 e 1, il segmento AT varierà in questo modo:

https://youtu.be/1h83LVDZQUc

mentre al variare di s la dinamica sarà la seguente:

https://youtu.be/KuU2Dh8JbkQ

Quindi ci siamo!

Con i due parametri indipendenti t ed s, e le coordinate dei punti A, B e C, siamo in grado di descrivere tutti e soli i punti del triangolo ABC.

#continua #tobecontinued #lasciailtuocommento #grazie

Equazioni allo specchio – il metodo numerico delle frazioni continue (prologo)

Analisi numerica, questa affascinante materia che credevo essere nata con Newton nel diciassettesimo secolo, ma che invece scopro aver radici molto più antiche: di sicuro ne troviamo traccia nei matematici e astronomi persiani dell’ XI secolo, ma confido che si possano trovare segni anche più antichi della pratica di questa disciplina.

immagine Pixabay, auth: geralt

L’uso moderno dei computer ha permesso di rivalutare l’utilità delle tavole numeriche (da far memorizzare al macchinario, programmando un software d’interpolazione per i valori intermedi) o dei metodi ricorsivi (ad esempio il metodo delle tangenti di Newton per la ricerca degli zeri di un’equazione non lineare); tuttavia, alcune di queste prassi erano già ben consolidate nell’antichità.

Già il nome inganna, perchè fa pensare che i metodi numerici si applichino soltanto all’analisi matematica.

Pensare invece che si possono utilizzare semplici metodi numerici per la risoluzione di alcuni tipi di equazione di secondo grado!

Partiamo da un esempio che funziona

Voglio trovare una radice dell’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

Poichè nell’animo sono un po’ Khayyamiana / Khwarizmiana, la riscrivo così

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

A questo punto dobbiamo fare un piccolo volo pindarico: un ideale passo indietro nella storia della matematica, a prima del Kitab di Al-Khwarizmi, a prima del trattato indiano di Brahmagupta. Come possiamo fare per trovare non tutte – ma almeno una delle soluzioni di questa equazione?

A qualcuno, un giorno nella storia dell’umanità, venne in mente di fare così:

Poichè zero non è certamente una soluzione, posso dividere tutto per x.

Ottengo

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

E qui comincia la nostra storia…

(to be continued)

(c) ilripassinodimatematica.com – tutti i materiali originali in questo blog sono depositati e soggetti a copyright. Per utilizzi anche non commerciali si prega di utilizzare i contatti e le modalità indicati nella pagina Contatti.