Certi pattern danno il mal di testa, altri il mal di mare… Come questo, che decora alcuni cortili della Alhambra: secondo me un racconto del mare attraversato e (o) un omaggio ai giochi d’acqua che impreziosiscono i giardini del palazzo più famoso dell’Andalusia.
Nel tempo libero, mi rilasso così 🙃
Buona domenica a tutti!
#mosaicando #stilealhambra #alhambra #buonadomenica
Continua l’elenco di cose che si possono cercare, trovare, calcolare, disegnare, azzeccare o ingarbugliare a partire dalla semplice conoscenza delle coordinate dei vertici di un triangolo nel piano cartesiano.
Le prime cinque (anzi, sei, e con varianti) le abbiamo elencate in questo articolo. Avendo cominciato la numerazione dallo zero, proseguo dunque la lista con la cosa-da-fare numero
… e verificare che il risultato è sempre lo stesso, e coincide con quello trovato applicando il punto 2 (formula di Erone): è un passatempo come un altro: buon divertimento!
Per calcolare la base, serve il punto 1.1 del precedente articolo. Per l’altezza relativa, i punti 4 e 5.
… e verificare che passano tutti e tre per uno stesso punto: il circocentro.
Non è scontato infatti notare che gli assiomi della geometria euclidea garantiscono l’incidenza in un punto di due qualsiasi rette non parallele, ma in nessun modo garantiscono l’incidenza di tre rette non parallele in uno stesso punto.
Per questo i punti notevoli del triangolo sono notevoli.
Se chiamiamo 
A partire dalle coordinate di
Otteniamo:
dove ricordo che 
Ma alla fine, per chi ha pazienza, il risultato sarà di trovare l’agognato circocentro, che con una scelta di nomi a caso chiameremo K.
A partire dal circocentro K trovato al punto 7. qui sopra, dopo aver verificato anche analiticamente (se siete pignoli!) che KA = KB = KC (per la qual cosa vi servirà rispolverare la distanza fra due punti di cui al precedente articolo, n.1) potete finalmente prendere un compasso vero o virtuale e puntando in K, con apertura KA (o KB o KC), tracciare la circonferenza circoscritta al triangolo.
Questa è tosta, non ne parla mai nessuno: verrà segnalata honoris causa, a tempo debito, nella pagina facebook “Dimostrazioni lasciate per esercizio al lettore“!
Per avventurarci a ricostruire la formula delle rette bisettrici di ciascun angolo, bisogna ricordare che il coefficiente angolare di una retta non è altro che la tangente trigonometrica dell’angolo formato da tale retta con l’asse x.
Riportando tali angoli con vertice in O, osserviamo che l’angolo della bisettrice risulta essere la media aritmetica degli angoli formati da ciascuno dei due lati in questione con l’asse x.
Non vi faccio il disegno. Scrivetemi se non è chiaro, lo aggiungerò.
Per fissare le idee, cerchiamo la bisettrice dell’angolo in C, opposto al lato AB.
Partiremo quindi dai coefficienti angolari 
Per avere il coefficiente angolare della bisettrice, dovremo cercare il coefficiente angolare della retta inclinata di 
Ci servirà quindi la tangente trigonometrica dell’angolo mezzo in funzione della tangente dell’angolo, e poi la formula per la tangente di una somma in funzione delle tangenti degli angoli addendi. Piccolo problema però: normalmente la tangente di alfa-mezzi viene espressa in funzione del coseno di alfa e non della tangente di alfa. Vediamo come aggirare questo problemino: ecco come ho fatto io, poi mi saprete dire se c’erano vie più brevi che nel mio primo cinquantennio di vita ho dimenticato:
Cambiamo punto di vista e scriviamo la formula di 
Ora per semplificarci un po’ la vita possiamo chiamare t la tangente di alfa-mezzi e T la tangente di alfa. Riscriviamo quindi la formula in questo modo:
Fatti salvi i casi che annullano il denominatore (alfa = 90° ovvero angolo retto che possiamo escludere per il momento), possiamo risolvere rispetto a t ottenendo l’equazione di secondo grado
ovvero
da cui
D’altra parte sappiamo anche che
ovvero, sostituendo i coefficienti 
Riprendendo la formula della tangente dell’angolo mezzo e applicandola alla tangente di alfa più beta, otteniamo l’espressione del coefficiente angolare della bisettrice dell’angolo i cui lati hanno coefficienti angolari
Saltando alcuni passaggi per non impazzire con latex, abbiate fiducia (oppure provate e verificate) che si arriva alla seguente espressione giustamente ancora simmetrica rispetto ai due coefficienti angolari:
Soltanto un folle vorrebbe usare questa formula per il calcolo del coefficiente angolare delle bisettrici, ma tant’è, questo mi ero ripromessa e questo ho trovato! Lasciate nei commenti qualunque espressione vi evochi questo lungo paragrafo (soprattutto, nel caso riteniate, correzioni o umilianti espressioni più semplici che io non conoscevo!!)
Dopo la fatica del punto precedente, proprio ci vuole: si dimostra (ma da secoli la dimostrazione viene lasciata per esercizio al lettore…) che le coordinate del baricentro altro non sono se non la media aritmetica delle coordinate dei tre vertici, ovvero, chiamato come al solito G – come – gravità il punto notevole:
Il link all’articolo verrà indicato esattamente qui!
Se avete osservazioni, obiezioni, consigli o errori da segnalare, o anche un semplice pensiero da esprimere, non esitate a lasciare i vostri commenti!
Alla prossima conclusione di questo non breve elenco di tutte le cose che possiamo fare conoscendo i tre vertici di un triangolo!
#graziedellalettura #artedienumerare #stililetterari #buonanno #buonannonuovo #buon2019
Quando in una struttura si riscontra la ricorrenza di forme simili su scale diverse, si parla di autosomiglianza.
È ciò che accade ad esempio nel caso dei frattali, ma ne abbiamo anche esempi magari meno perfetti ma molto evocativi in natura: si pensi alla disposizione “aurea” dei semi di girasole o allo sviluppo dei rami e delle foglie in un albero, ma anche, non deve certo sorprendere, alla conformazione delle linee costiere.
Uno dei modelli più semplici da descrivere, e che troviamo quindi in ogni buon libro di analisi matematica, è la cosiddetta curva di Koch, che si può descrivere come limite di una successione di curve chiuse: a partire da un triangolo equilatero, ad ogni passo si “raffina” (o si complica!) ogni lato in questo modo:
Disegniamo i primi passi per “costruire” (sarebbe meglio dire “indicare”) la curva di Koch. I primi due sono figure note: un triangolo equilatero e poi la classica “stella a sei punte”, dopo di che le cose si complicano un pochino, sempre di più…
Ecco il mio fatto a mano, soltanto i primi tre step (senza compasso e un po’ raffazzonati, mi scuserete?). Provate anche voi: più che un esercizio di geometria sembra uno studio di “codice Morse”: divertente!
Qui come in quasi tutti i casi, l’autosomiglianza si applica soltanto localmente (per piccoli tratti) e non sull’intera figura: un buon esempio per familiarizzare con questo arzigogolato concetto.
#parolenuove #paroleinsolite #arcaneeemisteriose #buonanno #buonannonuovo #buon2019
C’è una città in provincia di Catania che pare costruita per attirare gli amanti della geometria: una piazza perfettamente esagonale, delle linee segnate all’interno della piazza che sembrano il teorema di Talete… insomma, bisognava proprio che ne parlassimo!
Stando alle fonti disponibili sul web, le linee in mezzo alla piazza sono in parte (i rettangoli concatenati) funzionali a segnare l’accesso alla Cattedrale; altre (le “rette parallele” dell’ipotetico teorema di Talete) puramente decorative con una funzione prospettica; infine la “trasversale” (sempre di un ipotetico teorema di Talete), ricollegandosi alla statua centrale che funge da gnomone di una gigantesca meridiana, potrebbe essere parte integrante di quest’ultima.
Insomma, ci sono tutti gli ingredienti per stuzzicare l’immaginario matematico.
Il suggestivo esagono della città risale al XVII secolo, quando un terremoto distrusse la zona e un nobile locale si prodigò per la ricostruzione, ideando espressamente il disegno della città che si snodava così verso cinque lati della piazza principale a partire dal proprio palazzo che ne occupa il sesto.
L’attuale aspetto della piazza, ad accesso soltanto pedonale, risale al 2008.
Per gli amanti della filatelia,nel 2018 la graziosa cittadina è stata commemorata in un francobollo speciale.
fonte: ilsolidale.it
Onorate le notizie storiche e le curiosità, non ci resta che approfittarne per ripassare la tabellina del 6: scegliete il lato della piazza che preferite e cominciamo:
Sei – Dodici – Diciotto – Ventiquattro – Trenta – Trentasei – Quarantadue – Quarantotto – Cinquantaquattro – Sessanta
6 – 12 – 18 – 24 – 30 – 36 – 42 – 48 – 54 – 60
6 x 1 = 6 6 x 2 = 12 6 x 3 = 18
6 x 4 = 24
6 x 5 = 30
6 x 6 = 36
6 x 7 = 42
6 x 8 = 48
6 x 9 = 54
6 x 10 = 60
Essendo 6 il doppio di 3, il criterio di divisibilità prevede due condizioni:
#tabelline #geometria #imparareviaggiando #geografiaematematica #numerando
Passeggiando con l’ombrello sotto la pioggia, a volte mi rimbalzano i pensieri e così mi ritrovo a farmi domande senza senso come ad esempio: “come si misura la distanza fra due numeri interi, se invece della successione di Peano adotto una successione definita a pezzi, del tipo:
s(1) = avanti di 4
s(2) = indietro di 2
s(3) = avanti di 7
s(4) = indietro di 1
⁉️”
Ovvero, beninteso, diamo per assodato che stiamo parlando della sequenza degli interi, così come li abbiamo enumerati e nominati da millenni, certo. Ma come nel caso della notazione, che può variare da decimale a binaria a quel che vogliamo, possiamo “riordinare” la sequenza dei numeri con una nuova regola di successione, come quella che ho scritto sopra?
Riprendiamo la collezione di puzzle per ripassare le parole del glossario.
Oggi ripeschiamo, dal cappello delle ormai quasi duecento parole pubblicate, il fondamento dei fondamenti filosofici: il concetto primitivo.
Ogni insegnante naturalmente introduce riflessioni a riguardo secondo la propria sensibilità; qui abbiamo detto qualcosa di nostro ma è anche ricostruendo un foglio strappato che si medita sui concetti: persino su quelli “primitivi”!Troverete il puzzle di questa flashcard al link che compare qui nel seguito.
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https://www.jigsawplanet.com/?rc=play&pid=2e303aea9093
Buon divertimento e ancora buon inizio di anno scolastico!
#passatempi #didatticaludica #giocandosiimpara #buonannoscolastico
Con l’occasione di augurare a tutti, studenti e docenti, uno ✨🤸♂️👩🏾💻 ✨👩🏽🏫 🔬✨ Sfavillante inizio di anno scolastico✨ 🔬👨🏽🏫✨👩🏾💻 🤸♂️✨, vi propongo una piccola chicca per riempire i tempi morti delle lezioni di inizio anno, che finiscono sempre un bel pochino prima del suono della campanella.
L’argomento, si capisce dal titolo, è il mio preferito: la divisibilità per 7.
Dopo aver scoperto che criteri ci sono, ma non omogenei, mi sono messa all’opera (ok, a giocare) su Excel e ho trovato molte cose interessanti, di cui ho già parlato in parte in questo articolo. In particolare ho scoperto che ogni potenza di 10 ha il suo “peso” modulo 7, e quanto fosse importante questo dettaglio ce lo ha fatto scoprire Luca Pacioli quando ha trattato della prova del nove nelle operazioni aritmetiche.
Il nove infatti è quel numero in cui le potenze di 10 modulo tale numero valgono sempre 1. Per questo si può sommare le cifre di ciascun termine dell’operazione e verificare se per i totali ottenuti vale ancora l’operazione svolta, in aritmetica modulo 9.
Per il 7 è diverso, in quanto ogni potenza di 10 ha il suo valore modulo 7 (vedi articolo Modulo 7 – come si comportano le potenze di 10) e quindi non solo posso costruire multipli di sette usando il “peso” delle potenze (vedi il sopracitato articolo Modulo sette – Usare le potenze di dieci per costruire multipli di 7) ma posso costruirli in modo che siano formati soltanto da 0 e da 1. Come? Basta “accendere” con un 1 soltanto quelle posizioni decimali i cui pesi sommati mi daranno 7 o un suo multiplo. Ad esempio – provate in questa manciata di minuti che rimangono – 1001.
1001 è divisibile per 7 (fatelo fare a mente ai vostri pulcini prima di scrivere!), il risultato della divisione è 243 ma questo è un dato secondario, che ora non ci serve.
Per sapere se un numero molto grande è divisibile per 7 possiamo “rosicchiare” dei 1001 alle sue cifre, a partire da qualunque posizione decimale.
Esempio? Facciamolo. Prendiamo il numero 73484701 e riduciamolo “rosicchiando via” dei 1001 in modo da trovare un numero più basso e della stessa classe di resto modulo 7.
Comincio dalla cifra più alta, il 7, e tolgo 7 volte 1001, ovvero sottraggo 7007 alle 4 posizioni decimali più alte. Ottengo: 03414701, ovvero 3414701.
Proseguo in modo simile togliendo 3003 alla quartina di cifre più a sinistra, in modo da azzerare la posizione decimale più alta. Ottengo 0411701, o 411701.
Andiamo avanti trovando 11301 e questa volta poichè non conviene sottrarre l’1 dallo 0, togliamo però un 1001 dalla prima e quarta cifra: otteniamo 10300, che in quanto a divisibilità per 7 è equivalente a 103.
La risposta è quindi no, 73484701 non è divisibile per 7.
Io lo trovo un passatempo carino, adatto a tutte le età. E voi? Fatemi sapere!!
#buonannoscolastico #modulo7 #modulosette #passatempi #ditelavostra #fatemisapere
Modulo 7: come si comportano le potenze di 10 – a cura di ilripassinodimatematica.com
Una parola al giorno, abbiamo superato da qualche giorno le cinquanta schede: possiamo festeggiare?
Lo faccio con il consueto puzzle (dal sito Jigsaw Planet: attenzione al link esterno!) per riprendere le prime schede pubblicate.
Ricordo che i post come questo, contenenti i puzzle sulle schede, sono accessibili cliccando sull’emoji stile «gamepad» (🎮) accanto a ciascun termine nell’elenco alla pagina dedicata.
Screenshot della pagina del gioco su jigsawplanet.com : notate la nuova richiesta di approvazione dell’utilizzo dei cookies in quanto il link è esterno
Potete accedere al puzzle 👉cliccando qui. Buon divertimento!
#unaparolaalgiorno #giochi #puzzle #happy50
il ripassino di matematica 