Geometria euclidea

Una parola al giorno – Semiretta

/ ilripassinodimatematica / 1 Commento

«Una parola al giorno», quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare senza frontiere persino la matematica!

Oggi mi avventuro sul terreno impervio della semiretta, dove sicuramente andrò a rovinare, e non solo dal punto di vista linguistico.

Devo infatti innanzitutto rimarcare che retta, khaTT, in arabo ha due T enfatiche e non una sola. Da correggere quindi due flashcard con una svista sola. Lo aggiungo alla todolist sempre più corposa. Per lo spagnolo per ora mi fido dei dizionari a mia disposizione ma mi riprometto di indagare meglio e approfonditamente.

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Ma trappole linguistiche a parte, che altro dire della semiretta? Non è già in sé un concetto fatto per intrappolare? Se ne sta lì, a metà strada tra una retta e un segmento, né finita né (completamente) infinita. Però infinita. Ma con un punto in più della retta intera. Insomma, c’è chi è finito in manicomio a forza di pensare a questi paradossi dell’infinito: non vorrei fare la stessa fine!

E poi la direzione e il verso: se la retta introduce il concetto di direzione, la semiretta introduce il verso. Il quale, nell’italiano corrente, chiameremo più volentieri «direzione»!

Aiuto!! Ci mancava solo il falso amico: non ne avevamo ancora trovati finora.

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perla di saggezza sui falsi amici da quotespicky.com

Vi lascio con questa perla di saggezza sull’argomento: riguardo ai problemi di decisione, ne parleremo in un altro post!

#thatsapromise #staytuned #unaparolaalgiorno

Una parola al giorno – Semipiano

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«Una parola al giorno», quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare piacevolmente persino la matematica!

Oggi e domani tagliamo a metà, per quel che si può, i concetti primitivi della geometria euclidea: eccetto il punto, che non ha misura. Cominciamo oggi con il semipiano.

Si tratta, come si evince dal nome, della metà di un piano. Per divagazioni sulle etimologie, vi rimando quindi al suo intero, al link che trovate attivo sulla parola.

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Geometricamente, individuata una retta r appartenente al piano π, possiamo definire il semipiano come il sottoinsieme di tutti e soli i punti di quel piano che «stanno dalla stessa parte» rispetto alla retta r. 

Ora non ci resta che definire cosa intendiamo per «stare dalla stessa parte», e ci siamo!

Generalmente si usa questa definizione: due punti A e B del piano π «stanno dalla stessa parte» rispetto a una retta r appartenente a quel piano, se e solo se l’intersezione tra il segmento AB che li unisce e la retta r è l’insieme vuoto.

Quindi ci siamo: il semipiano è il sottoinsieme di un piano, individuato da una retta r e da un punto P di quel piano e formato da tutti e soli i punti che stanno dalla stessa parte di P rispetto alla retta r.

A me sembra facile… spero che anche voi, rispetto a questo, siate dalla mia parte!

#unaparolaalgiorno #staidallamiaparte #stessosemipiano #sullostessopiano

 

Una parola al giorno – Bidimensionale

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«Una parola al giorno», quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare piacevolmente persino la matematica!

La parola di oggi è bidimensionale, «per completezza della trattazione» come si suol dire, dopo aver già presentato il termine corrispettivo per le tre dimensioni.

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Dal punto di vista linguistico quindi nessuna novità, soltanto prefissi e termini che si riferiscono al due anziché al tre. 

Spendiamo questa volta due parole sull’etimologia dell’italiano dimensione, dal latino dimensus che influenza anche le altre tre lingue europee della nostra raccolta. Il termine tardo-latino (XIV secolo) si rifà all’idea di misura, ma aggiungerei io, al dispiegarsi della misura, cosa che lo avvicinerebbe all’idea evocata dall’arabo ab’âd, di cui abbiamo già parlato illustrando il vocabolo tridimensionale.

Accostando le parole bidimensionale e tridimensionale, come non ripensare al bellissimo racconto Flatlandia, di Edwin A. Abbot?

La traduzione italiana è stata pubblicata in diverse edizioni da Adelphi, attualmente disponibile anche in eBook.

Flatlandia

Val la pena leggerlo: allo stesso tempo racconto di matematica e metafora della vita.

#recensioni #buonalettura #multidimensionale #unaparolaalgiorno

Una parola al giorno – Punto medio

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«Una parola al giorno»: quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare piacevolmente persino la matematica!

Cominciamo ad addentrarci negli oggetti utili della geometria, dal mondo delle idee a quello delle applicazioni. Per quanto è concesso a noi matematici. Oggi parliamo infatti di punto medio: non è quindi più un punto qualunque, un che di puramente astratto che vive nelle alte sfere dei concetti primitivi; il punto medio comunica qualcosa di molto concreto riguardo a se stesso.

Prima di tutto, appartiene a una figura – più precisamente a un segmento. Ma c’è di più: non si tratta di un punto qualunque del segmento; è anzi un punto molto speciale. Quello che divide il segmento in due parti tra di loro congruenti, ovvero della stessa misura. La costruzione con riga e compasso del punto medio di un segmento è capacità di base da non smettere di insegnare con scrupolo e pazienza: è una delle piccole cose belle della vita, un assaggio di perfezione alla portata di bambini e ragazzi. Mi raccomando, fatevi aiutare dal prof di educazione tecnica ma non la trascurate!

E veniamo alle nostre quattro lingue euro-mediterranee: oggi niente etimologie, gustiamocele così come sono.

Glossario-Punto medio

Mi piace il senso pratico dell’inglese che impacchetta tutto in un’unica parola; la finezza del francese che giustappone milieu come l’arabo utilizzerebbe lo stato costrutto, lo spagnolo, sulla carta indistinguibile dall’italiano, l’arabo senza eccezioni interne: wasTa è della stessa radice di wasaT che significa centro in tutte le accezioni più o meno letterali (per intenderci, anche il centro della città). Il tutto determinato dall’articolo al– poichè il punto medio è uno e univocamente determinabile con certezza, una volta definito il segmento per il quale ha tale funzione.

Ma per non lasciarvi, come si suol dire, con il niente incartato, ecco un breve promemoria, catturato da geogebra, sulla costruzione del punto medio di un segmento AB. Il video è un po’ artigianale, ma rende l’idea.

Lasciate i vostri commenti se ne avete.

#ditelavostra #unaparolaalgiorno

Una parola al giorno – Retta

/ ilripassinodimatematica / 17 commenti

«Una parola al giorno»: quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare senza frontiere persino la matematica!

Oggi sotto i riflettori è la retta, secondo di tre concetti primitivi della geometria euclidea insieme al punto e al piano.

Nelle traduzioni, per la maggiore chiarezza possibile ho optato per le perifrasi in tutte e quattro le lingue; ho quindi tradotto in realtà «linea retta» e non semplicemente «retta».

Glossario-Retta

Nell’arabo, l’aggettivo mustaqim è un termine importante anche per altri aspetti: aS-Sirat al-mustaqim è la «Via diritta» o la «via della rettitudine», ma d’altra parte non si dice anche in italiano «la retta via»? E non dimentichiamo il dantesco «che la diritta via era smarrita». Tutto al proprio posto, quindi: il ragionamento fila dritto e il retto pensiero ci sostiene!

Per tornare con i piedi per terra (almeno in partenza), pensare alla retta mi porta sempre a meravigliarmi del paradosso della geometria euclidea, tanto naturale per la nostra cultura acquisita quanto innaturale per la realtà del mondo fisico. Come esempio dei paradossi della «nostra» geometria, si consideri il seguente problema, da considerare strettamente alla lettera, con un piccolo esercizio – come si conviene in presenza di un concetto primitivo – di astrazione dalla solida realtà:

Un uomo u comincia a camminare a partire dal punto P sulla superficie terrestre (per semplicità diciamo sull’equatore), e procede per tremila passi in linea retta, nella direzione perpendicolare al meridiano passante per P. Se i passi di u misurano ciascuno 70 cm, di quanto risulterà sollevato dal suolo il signor u al termine della sua lunghissima camminata?

Sul come farà a camminare in linea retta (restando quindi sollevato dal suolo), il libro degli esercizi non deve subire molestie e domande superflue: mi par di ricordare che ciò venisse lasciato all’immaginazione del lettore.

#avoiicalcoli #linearetta #unaparolaalgiorno

 

Una parola al giorno – Teorema

/ ilripassinodimatematica / 3 commenti

«Una parola al giorno»: quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare senza frontiere persino la matematica!

Oggi la parola sotto i riflettori è teorema. Il vocabolo è tardo latino (XVI secolo), l’etimologia greca: da gr. ϑεώρημα, «ricerca» o «meditazione», derivante da ϑεωρέω «esaminare» o «osservare». Attenzione agli accenti del francese, lo spagnolo come spesso accade varia dall’italiano soltanto per l’enfasi nella pronuncia.

Glossario-Teorema

La radice n-Z-r nell’arabo occupa diverse colonne del vocabolario: è molto prolifica di usi e significati. Come senso generale troviamo tra gli altri «aspettarsi», «attendersi», «prevedere» ma anche «vedere», «scrutare» anche nel senso di «osservare mentalmente». C’è quindi una discreta corrispondenza fra l’etimologia greca e quella araba.

Una curiosità riguardo all’arabo è nel fatto che, sotto la stessa radice naZara, la seconda forma verbale esplicita i significati di «fare un paragone», «tracciare un parallelo tra una cosa ed un’altra». «confrontare due cose» – tutte modalità operative nella scatola degli attrezzi di chi ricerca e dimosta teoremi.

La terza forma ci fornisce altri strumenti di lavoro: «essere equivalente», «essere paragonabile», oltre ai verbi «discutere», «argomentare», «dibattere» che forniscono un chiaroscuro caravaggesco del lavoro quotidiano di una équipe di ricercatori.

Ma la stessa forma verbale entra anche in modo più indiscreto nella psicologia del matematico ambizioso con significati come «competere», «gareggiare», «rivaleggiare»… chi dei “bravi in matematica” non lo ha fatto coi compagni di classe, quando c’era da rispondere alle domande flash? E per restare nella psicologia dello studente (e dell’insegnante costretto a interrogarlo – non facciamoci mancare nulla questa volta!) nella quarta forma verbale sotto questa radice troviamo anche il verbo tanZara che significa «concedere una dilazione»; altre forme più in giù nel lungo elenco ci dicono «aspettare il momento opportuno», «avere pazienza» […], «squadrare da capo a piedi», […] «chiedere a qualcuno un rinvio, una dilazione» … mi viene un dubbio: non è che qualcuno oggi non si è preparato?

Dei grandi teoremi della geometria euclidea parleremo prossimamente, in altri post! Per oggi, che dire, abbiate pazienza: vi chiedo una dilazione!

#unaparolaalgiorno #santapazienza

Una parola al giorno – Appartenente

/ ilripassinodimatematica / 7 commenti

«Una parola al giorno»: quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare senza frontiere persino la matematica!

La parola di oggi è appartenente. Il verbo che articola il primo gruppo di assiomi della geometria euclidea.

Gli assiomi di appartenenza servono ad articolare la relazione fra i concetti primitivi: punto, retta e piano.

In questo caso le tre lingue europee presentano differenze etimologiche e di forma più o meno marcate: unico accordo quasi perfetto è quello tra l’italiano e il francese. Variazione sul tema per lo spagnolo mentre l’inglese «balla da solo».

Il verbo inglese Belong ha interessanti significati a monte dell’espressione to belong to che significa più specificamente «appartenere». Troviamo infatti che il significato più intrinseco è di «essere al proprio posto / nel posto adatto» (ad esempio: «the table belongs in the kitchen»,  che significa «il posto adatto per la tavola è in cucina», oppure «sentirsi parte», soprattutto riferito a un gruppo. Due sfumature di significato entrambe interessanti se trasportate alla matematica, perchè danno il senso di appartenenza come «essere al proprio posto» in un insieme «di cui potersi sentire parte», ovvero definito secondo un criterio che accomuna tutti i suoi elementi. Siamo sulla soglia del concetto stesso di luogo geometrico.

Glossario-Appartenente

Per quanto riguarda l’arabo, la radice del termine in questo caso è n-m-a (alif maqsura), dal significato generale di «crescere», «svilupparsi», «progredire», «accrescere / aumentare / moltiplicarsi». La parola yantami deriva dall’ottava forma verbale intamà che ha il significato di “far risalire la propria origine da», «dipendere da», «essere collegato / connesso / associato a», «essere membro di», «appartenere a». Regge la preposizione ilà.

Lasciate qui in basso i vostri commenti a riguardo.

#unaparolaalgiorno #ditelavostra

 

Buona domenica!

/ ilripassinodimatematica / 1 Commento

Pensieri liberi del dì di festa: oggi una fotografia geometricamente ispirante, a me ricorda il fascio proprio di rette, ma c’è anche qualcosa che assomiglia a un’omotetia, per non parlare delle simmetrie assiali… voi che dite?

Shangai ponte

InMarc Riboud – China, Shanghai, 1993 – Yangpu Bridge, da design-dautore.com

Una parola al giorno – Piano

/ ilripassinodimatematica / 3 commenti

180324Glossario-Piano“Una parola al giorno”: quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare senza frontiere persino la matematica!

La parola che ci fa compagnia oggi è piano. Nella moderna sistematizzazione della geometria euclidea, si tratta di un concetto primitivo insieme al punto e alla retta.

Tutte e tre le lingue europee tradiscono l’etimologia latina da planus. Attenzione all’inglese e al francese: si scrivono allo stesso modo ma la pronuncia è diversa!

Indugiamo un po’ sul termine latino planus: esso ha anche i significati di “chiaro, evidente”, ma anche “semplice, comprensibile”: sembra quindi essere il concetto primitivo per eccellenza! Anche nell’accezione metaforica ci dà l’idea di qualcosa senza alcun punto critico: insomma, per stare sulle definizioni semplici, una superficie a curvatura nulla!

È il bello dei concetti primitivi: più ne parli e più t’ingarbugliano il discorso!

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Riguardo all’arabo, faccio mea culpa e correggo il tiro: il termine corretto per la geometria è saTH (T enfatica senza vocale e H gutturale), mentre il termine khuTTah precedentemente indicato, pur essendo nella stessa radice del termine che indica la retta, non ha riferimenti al piano nel senso del concetto primitivo euclideo: il termine ha l’accezione di “programma di lavoro”, o al massimo può indicare un “fazzoletto di terra”.

Vi avevo promesso che avrei indagato!

Esempio di utilizzo: “Il punto appartenente al piano” si dice an-nuqTah ‘llati tantami ila-l-saTH. Ma del verbo appartenere parleremo ancora in un’altra scheda.

Una parola al giorno – Concetto primitivo

/ ilripassinodimatematica / 6 commenti

«Una parola al giorno»: quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per imparare a comunicare persino la matematica!

La parola che ho scelto per oggi è concetto primitivo. Ci servirà a chiarire anche qualche cosa di relativo al punto.

Per le lingue europee, come al solito etimologia ed analisi linguistica senza eccessive emozioni; attenzione all’inglese che vuole l’aggettivo obbligatoriamente prima del nome. Quindi Primitive concept, che ci aiuta anche a distinguerlo meglio dal francese Concept primitif.

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Ed eccoci all’arabo. Mafhum deriva dalla radice fahima, che significa esattamente capire, intendere, conoscere. Essendo un participio passato, traduce abbastanza letteralmente la parola “concetto”. Sul “primitivo”, interessante la proposta bida’i che mi dà il vocabolario; essa infatti si riferisce a un concetto di “innovazione”.

Legati alla radice bada’a ci sono concetti come il “venire alla luce”, “mostrarsi”, “essere evidente”, ma anche aggettivi come “capriccioso”. Poco a che fare con l’accezione italiana di “primitivo” come sinonimo di “originario”, “non contaminato” o “non modificato”.

Effettivamente il “concetto primitivo” nella matematica attuale non è legato necessariamente al fatto di essere un “dato oggettivo” o “naturalmente riscontrabile” o “intuitivamente inconfutabile”; al contrario, ha assunto proprio questo carattere un po’ “capriccioso” di un dato di partenza scelto a piacere e dato per scontato o evidente, persino se non dovesse esserlo alla mentalità comune, come ben osservato dagli autori dell’enciclopedia Treccani anche a proposito del termine assioma.

Interessante a tal proposito anche la riflessione sulla definizione di concetto primitivo attribuita a Bernard Bolzano (citato nel saggio di Jan Sebestik, “Logique et mathématique chéz Bernard Bolzano”, Paris, Librerie Philosophique J. Vrin, 1992), che qui riporto tradotta in italiano:

Quando un matematico vuole comunicare un concetto primitivo, “si aiuta enunciando diverse definizioni in cui figuri sotto diverse combinazioni il concetto che si vuole comprendere e che vogliamo sia associato a un certo termine.

Confrontando tali proposizioni lo stesso lettore sarà in grado di astrarre il concetto designato da questa nuova parola. Così per esempio chiunque può cogliere quale concetto sia descritto dal termine punto a partire dalle seguenti proposizioni: il punto è l’oggetto semplice nello spazio, è il limite della linea senza esser parte della linea stessa, non è esteso né in lunghezza, né in larghezza né in profondità, ecc.

Come sappiamo, è in questo modo che ciascuno dà significato alle parole della sua lingua materna.”

#unaparolaalgiorno #concetti #primitivi