Geometria analitica

C’è gru e gru… ma quanti movimenti fa una gru?

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immagini Pixabay

Parlo ovviamente delle gru da cantiere, come quelle illustrate nella metà superiore dell’immagine qui sopra. Alla gru delle risaie vercellesi e alle sue cugine asiatiche lasciamo la libertà di fare tutti i movimenti che desiderano… tra l’altro hanno ispirato fior di tecniche delle arti marziali, un altro mondo rispetto all’arida (non è vero!) matematica.

“Quanti movimenti fa una gru?” è la domanda che ponevano i professori delle materie tecniche di un istituto professionale a indirizzo elettrotecnico, qualche annetto fa, durante le giornate di orientamento. Poiché, in una di queste occasioni, nessuno dei ragazzi sembrava voler osare una risposta, a un certo punto si levò la fievole voce della prof di matematica (leggi: me che scrivo), la quale azzardò un timido “tre”, memore delle festose visite infantili al cantiere di papà.

Ci avevo quasi azzeccato, infatti la risposta era sei. Pare che la gru sia uno dei più semplici sistemi radiocomandabili, perchè richiede soltanto sei comandi: due per la rotazione del braccio (in senso orario / antiorario); due per la posizione del bozzello di sollevamento (avanti / indietro lungo il braccio rotante); due per la lunghezza della fune di sollevamento (avvolgere /svolgere intorno al bozzello) e di conseguenza per l’effettiva posizione finale del gancio di sollevamento nello spazio circostante la gru.

Si tratta in definitiva di un sistema di coordinate cilindriche, per questo mi sembrava interessante da introdurre. Quanti bambini magari hanno una gru giocattolo tra i loro giochi preferiti? Magari, il giorno in cui cominceranno a trovarlo un gioco troppo “da bambini”, potete svelargli quanta geometria dello spazio conteneva quel semplice gioco.

Mi fermo qui, in attesa che magari questa stessa immagine che accompagna il post, insieme al titolo, venga ammessa agli ambìti onori di un gruppo social di matematica dove al momento sembra non aver passato il vaglio della giuria… forse non era abbastanza chiaro quale fosse l’intento matematico del discorso? Può darsi. Per fortuna c’è il mio esclusivissimo blog di circa cinquanta abitanti, perlopiù poeti e gente di passaggio, sempre pronto a ospitare ogni pensiero mi sembri utile e piacevole per un’estemporanea conversazione matematica.

#cantieri #vecchiettidacantiere #umarell #nonpubblicato

L’astroide che voleva farsi trovare

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spoilerando, come di consueto, il finale…

Se siete in cerca di figure geometriche nuove, loghi intriganti o anche solo scacciapensieri geometrici, andate su Geogebra, disegnate un oggetto a caso, dategli un’espressione parametrica, attivate lo strumento “Mostra traccia”, avviate uno slider per il parametro e state a vedere cosa succede… (alzi la mano chi non usa Geogebra e non sa di cosa sto parlando!).

Ad esempio, dopo che in questo recente articolo mi ero occupata dell’equazione parametrica dell’ellisse di dato centro e assi, affascinata dal vedere come si muovono le coordinate S_1 e S_2 del punto S scorrevole sull’ellisse, mi è venuto in mente di attivare lo strumento “Mostra traccia” (cliccare sull’oggetto per selezionarlo – poi pulsante destro del mouse – poi selezionare “Mostra traccia” nel menù che appare; salvo manutenzioni del programma, di solito funziona e molto bene). Naturalmente ho immortalato il risultato nel solito minivideo che qui presento

l’Astroide come curva inviluppo usando la funzione “mostra traccia” su Geogebra

La figura che vien fuori dalla sovrapposizione delle tracce è ben nota e si chiama Astroide, è un tipico esempio di curva di inviluppo ovvero di curva formata – come in questo caso – da una famiglia di rette (non parallele tra di loro e non passanti tutte per uno stesso punto, ma in qualche altro modo legate da una relazione parametrica) che ne rappresentano le tangenti. In altre parole, la curva Astroide è tale che in ogni suo punto, la retta tangente alla curva contiene un segmento S_{1}S_{2} di quelli generati dal punto S variabile sull’ellisse, e viceversa ognuno dei segmenti S_{1}S_{2} appartiene a una qualche retta tangente all’Astroide.

Per ottenere l’equazione parametrica dell’astroide in funzione del parametro s, è quindi sufficiente applicare la regola generale che permette di calcolare l’equazione della curva inviluppo conoscendo la famiglia delle rette tangenti, in funzione di un dato parametro.

Senza dare qui la dimostrazione, ricordiamo che tale regola prevede di mettere a sistema le due equazioni:

F(x,y,s)=0

F_s(x,y,s)=0

dove la prima equazione è l’espressione della famiglia di rette in funzione di x, y e s, scritta in forma implicita, mentre la seconda equazione rappresenta la derivata parziale rispetto al parametro s uguagliata a 0.

Nel nostro caso, ricordando l’espressione di x(S) e y(S) che abbiamo illustrato in questo articolo, chiamando a e b i semiassi maggiore e minore e considerando che il centro è nell’origine, abbiamo:

S_1 = (a\cos(s),0)

S_2 = (0,b\sin(s))

Per trovare l’equazione parametrica della generica retta tangente, osservo innanzitutto che il segmento S_{1}S_{2} è sempre inclinato rispetto all’asse x di un angolo supplementare rispetto all’angolo s (e incidentalmente, anche se questo dato non ci servirà, notiamo che la lunghezza di S_{1}S_{2}, in corrispondenza di ogni punto S è pari al raggio variabile OS dell’ellisse), come si può verificare facilmente con l’aiuto della figura:

In ogni punto S dell’ellisse, il segmento S_{2}S_{2} è la seconda diagonale del rettangolo di diagonale OS

Questo significa che il coefficiente angolare di S_{1}S_{2} sarà in ogni punto pari a -\frac{b}{a} \tan{s}

La generica retta della famiglia con parametro s, contenente il segmento S_{1}S_{2} avrà quindi equazione:

\displaystyle{ y = -\frac{b}{a} \tan{s}\left( x - a \cdot \cos{s} \right) }

(Ho usato la formula della retta passante per un punto, con punto base S_1 e coefficicente angolare -\frac{b}{a}\tan{s} ).

Abbiamo quindi

\displaystyle{ F \left( x,y,s \right) = y + \frac{b}{a} \tan{s} \left( x - a \cdot \cos{s} \right)}

ovvero

\displaystyle{ F \left( x,y,s \right) = y + \frac{b}{a} \tan{s} \cdot x - b \cdot \sin{s}}

mentre la derivata parziale rispetto a s prende l’espressione

\displaystyle{ F_s \left( x,y,s \right) = \frac{b}{a \cos{s}^2}\cdot x - b \cdot \cos{s}}

Per trovare l’equazione della nostra curva astroide dovremo quindi mettere a sistema le due equazioni:

\displaystyle{ y + \frac{b}{a} \tan{s} \cdot x - b \cdot \sin{s}=0}

e

\displaystyle{\frac{b}{a \cos{s}^2}\cdot x - b \cdot \cos{s}=0 }

Svolgendo i calcoli

Dalla seconda equazione otteniamo un’espressione per l’ascissa:

x = a \cdot \cos^3{s}

e sostituendo nella prima otteniamo

y = b\cdot \sin{s} \cdot \left( 1 - \cos^2{s}\right )

ovvero

y = b \cdot \sin^3{s}

In definitiva il punto R del nostro astroide, al variare di s avrà coordinate:

R = \left( a \cdot \cos^3{s}, b \cdot \sin^3{s} \right)

E incrociando le dita…

Per verificare se i nostri calcoli sono corretti, creiamo un punto R su Geogebra con tali coordinate e vediamo come si comporta rispetto all’Astroide:

Ehi, a quanto pare funziona!

#astroide #inviluppo #ellisse #bellafigura

Ellisse e moti oscillatori: che bella combinazione!

/ ilripassinodimatematica / 1 Commento
spoilerando subito il finale…

Unire diverse materie in una visione interdisciplinare non fa mai troppo male. Eccoci quindi a intersecare coniche, equazioni parametriche, funzioni trigonometriche e moto oscillatorio per parlare dell’ellisse (o dei moti oscillatori) da una prospettiva un po’ diversa dal solito.

In questo precedente articolo abbiamo visto che forma prende l’equazione parametrica di un cerchio. Oggi scopriamo l’equazione parametrica dell’ellisse, che è molto simile salvo il diverso ruolo dei due semiassi maggiore e minore nella formazione delle coordinate x e y del punto generico S.

In particolare, si trova che per una ellisse di centro O, asse maggiore BD e asse minore AC come quella nella figura a inizio articolo, l’equazione parametrica del punto generico S il cui raggio OS forma un angolo s con l’asse x, ha equazione (in linguaggio Geogebra):

S = (x(O)+0.5 Distanza(B,D) cos(s), y(O) + 0.5 Distanza(A,C) sin(s))

dove 0.5 Distanza(B,D) rappresenta la misura del semiasse maggiore, e analogamente 0.5 Distanza(A,C) rappresenta la misura del semiasse minore.

Si può facilmente notare che l’unica differenza strutturale tra l’equazione parametrica dell’ellisse e quella del cerchio sta nel fatto che l’ascissa oscilla in un range di valori dipendenti dalla misura dell’asse maggiore BD mentre l’ordinata oscilla in un range di valori dipendenti dalla misura dell’asse minore AC, mentre nel caso del cerchio entrambe le coordinate oscillano in un range di valori dipendenti dal “semiasse” unico e uguale per le due coordinate, rappresentato dal raggio del cerchio.

Interessante visualizzare separatamente il comportamento delle due coordinate del punto S al variare dell’angolo s tra - \pi e \pi. Aiutiamoci con due “riprese” da Geogebra:

moto oscillatorio della ascissa del punto S al variare di s tra - \pi e \pi
moto oscillatorio dell’ordinata del punto S al variare di s tra - \pi e \pi

Io trovo tutto questo molto interessante: la traiettoria ellittica è una combinazione di due moti oscillatori perpendicolari di ampiezza diversa e ovviamente di pari periodo. Il risultato della “combinazione” in questo terzo e ultimo mini-video

oscillazione delle coordinate x e y lungo l’ampiezza dei due semiassi, al variare di s tra - \pi e \pi

Come si suol dire in questi casi: “Semplice coincidenza? Io non credo!”. A voi recuperare la fonte di questa perla di saggezza testé citata.

#buonadomenica #oggileconiche #oscillatorio #ellisse #parametri

Equazione parametrica del cerchio

/ ilripassinodimatematica / 1 Commento

In questo piccolo blog formato minimal, portiamo al microscopio piccoli frammenti delle strutture matematiche, possibilmente una alla volta, tipo “pezzi di ricambio” per chi si fosse perso per strada qualche cosa.

Ad esempio, a proposito di equazioni parametriche mi è venuto in mente che forse può interessare un flash-post sull’equazione parametrica di un cerchio di centro A (x(A),y(A)) – sto usando il linguaggio Geogebra – e raggio pari alla distanza tra il punto A e il punto B che in Geogebra si scrive Distanza(A,B).

Con i potenti mezzi tecnici a mia disposizione, ho creato una piccola animazione (perchè “video” è una parolona in questo caso!) per illustrare come funziona la formula parametrica per le coordinate del generico punto T sulla circonferenza, la quale, sempre in linguaggio Geogebra, è data da:

T= (x(A)+Distanza(A,B)cos(s), y(A)+Distanza(A,B)sin(s))

essendo s l’angolo formato dal raggio AT con l’asse delle x.

Nella animazione qui di seguito, si può vedere la traiettoria del punto T che disegna la circonferenza, al variare di s tra - \pi e \pi.

geogebrando...

#animazioni #achilletartaruga #geogebrando #parametri #graziedellattenzione

Equazione parametrica dei punti di un triangolo – approfondimenti e verifiche

/ ilripassinodimatematica / Lascia un commento

In questo articolo di ieri abbiamo introdotto l’equazione parametrica dei punti di un triangolo in funzione dei vertici noti A, B e C, con l’aiuto di due parametri s e t variabili entrambi fra 0 e 1, estremi compresi.

Per completare l’esposizione, cerchiamo di dare una forma più semplice e ordinata all’espressione finale che abbiamo trovato, ovvero:

S_T((1-s)x_A+sx_T;(1-s)y_A+sy_T)\ \ s\in\left[ 0,1 \right], t \in\left[ 0,1 \right]

Ricordando le espressioni di x_T e di y_T, ovvero

  • x_T = (1-t)x_B+tx_C
  • y_T = (1-t)y_B+ty_C

entrambi con t\in\left[ 0,1 \right], possiamo sostituire tali espressioni nella formula per le coordinate di S_T.

Sostituendo e svolgendo i calcoli otteniamo, con opportuni raccoglimenti:

  • x_S = x_A - s(x_A-x_B)-st(x_B-x_C)
  • y_S = y_A - s(y_A-y_B)-st(y_B-y_C)

Facendo variare in modo indipendente i due parametri s e t, ciascuno nell’intervallo continuo \left[ 0,1 \right], restano individuati tutti i possibili punti del triangolo ABC, bordi compresi.

Una interessante verifica

Possiamo fare qualche verifica per controllare che le formule scritte sopra ce la stiano raccontando giusta.

La più interessante, anche per il raccordo che permette con la geometria “pura” (ovvero non analitica), consiste nel verificare se il baricentro “geometrico”, quello che sta sulla mediana di un lato, a due terzi della lunghezza della mediana, corrisponde effettivamente con il baricentro “analitico” che in un precedente articolo abbiamo trovato applicando proprio tale proprietà come condizione sulle coordinate.

Proviamo quindi a porre nella nostra formula i valori t = 1/2 (ovvero, T punto medio del lato BC) e s=2/3 (ovvero, S punto che divide la mediana in segmenti di proporzione 2/3 : 1/3); vediamo cosa succede:

Otteniamo

  • x_S = x_A - \frac{2}{3}(x_A-x_B)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(x_B-x_C)
  • y_S = y_A - \frac{2}{3}(y_A-y_B)- \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} (y_B-y_C)

da cui

  • x_S = x_A - \frac{2}{3}x_A+\frac{2}{3} x_B-\frac{1}{3}x_B+ \frac{1}{3} x_C
  • y_S = y_A - \frac{2}{3}y_A+\frac{2}{3} y_B-\frac{1}{3}y_B+ \frac{1}{3} y_C

Raggruppando i termini simili e svolgendo i calcoli otteniamo

  • x_S = \frac{1}{3} x_A + \frac{1}{3} x_B+\frac{1}{3} x_C
  • y_S = \frac{1}{3} y_A + \frac{1}{3} y_B+\frac{1}{3} y_C

ovvero proprio quello che stavamo cercando: il punto S trovato rappresenta la media aritmetica delle coordinate dei vertici, quindi proprio il baricentro come l’abbiamo individuato in questo precedente articolo.

#cvd #cdd #csd #comesperavasidimostrare

Equazione parametrica dei punti di un triangolo ABC (conoscendo i vertici)

/ ilripassinodimatematica / 1 Commento

Uscendo dalla retorica dell’enumerazione (eravamo arrivati a “11 cose” in questo precedente articolo), mi resta però nella penna, anzi tra le dita e la tastiera un’ultima cosa che si può fare conoscendo i vertici A, B e C di un triangolo, ovvero, scrivere l’equazione parametrica di un qualunque punto interno al triangolo o appartenente al bordo della figura.

Riprendiamo quindi il nostro triangolo ABC di vertici (x_A;y_A), (x_B;y_B), (x_C;y_C) come in figura (quella lassù). Per cominciare…

Inseriamo un primo parametro t.

Per descrivere tutti i punti del triangolo ABC a partire dalle coordinate dei vertici, ci serviranno due parametri lineari, che chiameremo t ed s e che faremo variare fra 0 e 1.

Il primo parametro t servirà a individuare un punto T appartenente al lato BC del triangolo, tramite la ben nota formula:

T((1-t)x_B+tx_C;(1-t)y_B+y_C) \ \ t\in\left[ 0,1 \right]

Tramite il parametro T siamo quindi in grado di descrivere tutti i possibili punti del segmento BC, compresi gli estremi B (corrispondente a t=0) e C (corrispondente a t=1).

Ampliare gli orizzonti

Una volta individuato il punto T, è individuato anche il segmento AT che congiunge T al primo vertice del triangolo.

Al variare di T (ovvero al variare del parametro t fra 0 e 1), il segmento AT copre tutti i punti del triangolo ABC.

Introduciamo il secondo parametro s

Se tutti i possibili segmenti AT esauriscono i punti del triangolo (sia interni sia appartenenti al bordo), sarà sufficiente parametrizzare ciascun segmento AT con l’aiuto di un secondo parametro s, sempre variabile fra 0 e 1 (estremi compresi). Avremo:

S_T((1-s)x_A+sx_T;(1-s)y_A+sy_T)\ \ s\in\left[ 0,1 \right]

Al variare di t tra 0 e 1, il segmento AT varierà in questo modo:

https://youtu.be/1h83LVDZQUc

mentre al variare di s la dinamica sarà la seguente:

https://youtu.be/KuU2Dh8JbkQ

Quindi ci siamo!

Con i due parametri indipendenti t ed s, e le coordinate dei punti A, B e C, siamo in grado di descrivere tutti e soli i punti del triangolo ABC.

#continua #tobecontinued #lasciailtuocommento #grazie

Cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B,C di un triangolo – II parte

/ ilripassinodimatematica / 2 commenti

Continua l’elenco di cose che si possono cercare, trovare, calcolare, disegnare, azzeccare o ingarbugliare a partire dalla semplice conoscenza delle coordinate dei vertici di un triangolo nel piano cartesiano.

Le prime cinque (anzi, sei, e con varianti) le abbiamo elencate in questo articolo. Avendo cominciato la numerazione dallo zero, proseguo dunque la lista con la cosa-da-fare numero

6. Calcolare l’area come “base x altezza / 2” in tre modi diversi

… e verificare che il risultato è sempre lo stesso, e coincide con quello trovato applicando il punto 2 (formula di Erone): è un passatempo come un altro: buon divertimento!

Per calcolare la base, serve il punto 1.1 del precedente articolo. Per l’altezza relativa, i punti 4 e 5.

7. Individuare gli assi del triangolo

… e verificare che passano tutti e tre per uno stesso punto: il circocentro.

Non è scontato infatti notare che gli assiomi della geometria euclidea garantiscono l’incidenza in un punto di due qualsiasi rette non parallele, ma in nessun modo garantiscono l’incidenza di tre rette non parallele in uno stesso punto.

Per questo i punti notevoli del triangolo sono notevoli.


realizzato con geogebra da ilripassinodimatematica.com

Se chiamiamo \mathsf M_{AB}, \mathsf M_{BC} e \mathsf M_{AC} rispettivamente i punti medi di AB, BC e CA, abbiamo per le coordinate di tali punti la semplice media aritmetica delle coordinate degli estremi del segmento di riferimento. In formule:


\mathsf {M_{AB}= \displaystyle{\left( { \frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}} \right) }}

\mathsf {M_{AC}= \displaystyle{\left( { \frac{x_A+x_C}{2} ; \frac{y_A+y_C}{2}} \right) }}

\mathsf {M_{BC}= \displaystyle{\left( { \frac{x_B+x_C}{2} ; \frac{y_B+y_C}{2}} \right) }}

A partire dalle coordinate di \mathsf M_{AB}, \mathsf M_{BC} e \mathsf M_{AC} possiamo tracciare la perpendicolare a ciascun lato passante per il suo punto medio: ricordiamo la formula già utilizzata per individuare le rette contenenti le altezze (punto 4 della prima parte), e riscriviamola utilizzando come centri del fascio proprio i punti medi dei lati al posto dei vertici A, B e C (se avete dubbi o salto troppi passaggi, scrivetemi nei commenti!)

Otteniamo:

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{AB}} = - \frac{1}{m_{AB}}\cdot (x - x_{M_{AB}})}}

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{BC}} = - \frac{1}{m_{BC}}\cdot (x - x_{M_{BC}})}}

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{AC}} = - \frac{1}{m_{AC}}\cdot (x - x_{M_{AC}})}}

dove ricordo che \mathsf m_{AB}, \mathsf m_{BC} e \mathsf m_{AC} con la m minuscola sono i coefficienti angolari dei lati AB, BC e AC, da non confondere con i punti medi che hanno la M maiuscola (😭😭😭 noi matematici, tutta la vita così… 😭😭😭 )

Ma alla fine, per chi ha pazienza, il risultato sarà di trovare l’agognato circocentro, che con una scelta di nomi a caso chiameremo K.

8. Trovare l’equazione della circonferenza circoscritta (e disegnarla bene)

A partire dal circocentro K trovato al punto 7. qui sopra, dopo aver verificato anche analiticamente (se siete pignoli!) che KA = KB = KC (per la qual cosa vi servirà rispolverare la distanza fra due punti di cui al precedente articolo, n.1) potete finalmente prendere un compasso vero o virtuale e puntando in K, con apertura KA (o KB o KC), tracciare la circonferenza circoscritta al triangolo.

realizzato con geogebra da ilripassinodimatematica.com

9. Trovare l’equazione delle bisettrici del triangolo e individuare (verificando) l’incentro

Questa è tosta, non ne parla mai nessuno: verrà segnalata honoris causa, a tempo debito, nella pagina facebook “Dimostrazioni lasciate per esercizio al lettore“!

Per avventurarci a ricostruire la formula delle rette bisettrici di ciascun angolo, bisogna ricordare che il coefficiente angolare di una retta non è altro che la tangente trigonometrica dell’angolo formato da tale retta con l’asse x.

Riportando tali angoli con vertice in O, osserviamo che l’angolo della bisettrice risulta essere la media aritmetica degli angoli formati da ciascuno dei due lati in questione con l’asse x.

Non vi faccio il disegno. Scrivetemi se non è chiaro, lo aggiungerò.

Per fissare le idee, cerchiamo la bisettrice dell’angolo in C, opposto al lato AB.

Partiremo quindi dai coefficienti angolari \mathsf m_{BC} e \mathsf m_{AC} dei lati BC e AC. Questi non sono altro che le tangenti trigonometriche di due angoli che per semplicità chiameremo \alpha e \beta.

Per avere il coefficiente angolare della bisettrice, dovremo cercare il coefficiente angolare della retta inclinata di \mathsf{\displaystyle{\frac{\alpha + \beta}{2}}} sull’asse x, ovvero la tangente trigonometrica dell’angolo
\mathsf{\displaystyle{\frac{\alpha + \beta}{2}}}.

Ci servirà quindi la tangente trigonometrica dell’angolo mezzo in funzione della tangente dell’angolo, e poi la formula per la tangente di una somma in funzione delle tangenti degli angoli addendi. Piccolo problema però: normalmente la tangente di alfa-mezzi viene espressa in funzione del coseno di alfa e non della tangente di alfa. Vediamo come aggirare questo problemino: ecco come ho fatto io, poi mi saprete dire se c’erano vie più brevi che nel mio primo cinquantennio di vita ho dimenticato:

Cambiamo punto di vista e scriviamo la formula di
\mathsf{\displaystyle{\tan \alpha}} in funzione di
\mathsf{\displaystyle{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}, utilizzando le formule parametriche derivate dalle formule di bisezione. Avremo

\mathsf {\displaystyle{\tan \alpha = \frac{2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 - {\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}^2} }}

Ora per semplificarci un po’ la vita possiamo chiamare t la tangente di alfa-mezzi e T la tangente di alfa. Riscriviamo quindi la formula in questo modo:

\mathsf {\displaystyle{T = \frac{2t}{1 - t^2} }}

Fatti salvi i casi che annullano il denominatore (alfa = 90° ovvero angolo retto che possiamo escludere per il momento), possiamo risolvere rispetto a t ottenendo l’equazione di secondo grado

\mathsf{T - Tt^{2}- 2t = 0}

ovvero

\mathsf{Tt^{2} + 2t - T = 0}

da cui

\mathsf {t = \displaystyle{ \frac{-1 \pm \sqrt{1 + T_{2}} }{T}} }

D’altra parte sappiamo anche che

\mathsf{ \displaystyle{ \mathsf{\tan\left(\alpha + \beta \right) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}}}}

ovvero, sostituendo i coefficienti \mathsf {m_{1} } e \mathsf {m_{2}} dei due lati dell’angolo

\mathsf{\displaystyle{\mathsf{\tan\left(\alpha + \beta \right) = \frac{m_{1} + m_{2}}{1- m_{1}m_{2}}}}}

Riprendendo la formula della tangente dell’angolo mezzo e applicandola alla tangente di alfa più beta, otteniamo l’espressione del coefficiente angolare della bisettrice dell’angolo i cui lati hanno coefficienti angolari
\mathsf {m_{1} } e \mathsf {m_{2}}:

\mathsf{ \displaystyle {m_{bis} = \frac{-1 \pm \sqrt { {1 + {\left( \frac{m_{1} + m_{2}}{1 - m_{1}m_{2}} \right)}^2} } }{\frac {m_{1} + m_{2}}{1 - m_{1}m_{2}} } } }

Saltando alcuni passaggi per non impazzire con latex, abbiate fiducia (oppure provate e verificate) che si arriva alla seguente espressione giustamente ancora simmetrica rispetto ai due coefficienti angolari:

\mathsf{ \displaystyle { m_{bis} = \displaystyle{\frac{- {\left(1 - m_{1}m_{2} \right)}^2 \pm \sqrt{\left( 1 + {m_{1}}^2 \right) \left( 1 + {m_{2}}^2 \right) }}{m_{1} + m_{2}} } } }

Soltanto un folle vorrebbe usare questa formula per il calcolo del coefficiente angolare delle bisettrici, ma tant’è, questo mi ero ripromessa e questo ho trovato! Lasciate nei commenti qualunque espressione vi evochi questo lungo paragrafo (soprattutto, nel caso riteniate, correzioni o umilianti espressioni più semplici che io non conoscevo!!)

10. Con un colpo di scena, trovare il baricentro senza prima individuare le mediane

Dopo la fatica del punto precedente, proprio ci vuole: si dimostra (ma da secoli la dimostrazione viene lasciata per esercizio al lettore…) che le coordinate del baricentro altro non sono se non la media aritmetica delle coordinate dei tre vertici, ovvero, chiamato come al solito G – come – gravità il punto notevole:

\mathsf{ \displaystyle {G \left ( \frac{x_{A}+ x_{B} + x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+ y_{B} + y_{C}}{3} \right ) } }

11. Attendere fiduciosamente la terza parte di questa lunga storia

Il link all’articolo verrà indicato esattamente qui!

Se avete osservazioni, obiezioni, consigli o errori da segnalare, o anche un semplice pensiero da esprimere, non esitate a lasciare i vostri commenti!

Alla prossima conclusione di questo non breve elenco di tutte le cose che possiamo fare conoscendo i tre vertici di un triangolo!

#graziedellalettura #artedienumerare #stililetterari #buonanno #buonannonuovo #buon2019

In evidenza

Cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B,C di un triangolo

/ ilripassinodimatematica / 3 commenti

Non sei un blogger degno di questo nome se non rendi ossequio, ogni tanto, alla nobile arte retorica dell’enumerazione,

clipart Pixabay

Cercherò allora di contare quante cose si possono fare conoscendo le coordinate dei tre vertici di un triangolo, nel piano cartesiano. Ancora non lo so quante sono, chi vivrà vedrà!

Chiamiamo come di consueto A, B e C i vertici del triangolo argomento di questo articolo.

Per cominciare, una prima osservazione filosofica, ovvero: la primissima cosa che possiamo fare a partire dalle coordinate di tre punti A, B, C è

0. Definire il triangolo ABC

Sembra banale, ma lo è? Se ci pensiamo, per definire il triangolo “concettualmente”, a partire dagli assiomi della geometria euclidea, basta disegnare i tre punti e il gioco è fatto. Matita e righello, uniamo i vertici e ci siamo: non c’è possibilità di unirli nel modo sbagliato, la figura è sempre convessa, il triangolo c’è.

(Se però volessimo parlare dell’espressione analitica del triangolo ABC, dobbiamo persino scomodare un sistema di tre disequazioni: ne parleremo prima della fine di questo lungo elenco, se avrete tempo e interesse a seguirne anche le prossime puntate).

Ma procediamo: ora il triangolo è disegnato, possiamo quindi cominciare la nostra sfilata di cose-da-fare.

1. Calcolare lunghezze dei lati e perimetro di ABC

… per non dir del semiperimetro!

Serve ripetere le formule? Ma sì, certo che sì: ci sarà sempre qualche lettore che avrà aperto questo link soltanto per trovare esattamente quelle. Chi già le conosce può saltare a piè pari al punto 2.

1.1 I lati AB, BC e CA e le loro misure

La formula per la misura di un segmento di estremi A e B (ovvero la distanza euclidea AB) si ricava come semplice applicazione del teorema di Pitagora. Questo piccolo appunto può servire come aiuto per memorizzare la formula:

\mathsf{ \overline{AB} = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2} }

Ripetiamo la stessa operazione con le coppie di vertici AC e BC

\mathsf{ \overline{AC} = \sqrt{( x_C - x_A )^2 + ( y_C - y_A )^2} }

\mathsf{ \overline{BC} = \sqrt{( x_C - x_B )^2 + ( y_C - y_B )^2} }

Abbiamo così descritto le lunghezze dei tre lati AB, AC e BC in funzione delle coordinate cartesiane dei rispettivi estremi.

1.2 Calcolare il perimetro e il semiperimetro

A volte risulta utile conoscere anche il semiperimetro di un triangolo; non abbandono quindi la consuetudine di chiamare 2p il perimetro del triangolo, dimodoché il semiperimetro potrà essere comodamente indicato con p.

Per calcolare il perimetro una volta calcolate le misure dei tre lati AB, BC e CA, non serve altro che sommarle tutte tra di loro:

\mathsf{2p = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}}

Il semiperimetro è pari al perimetro diviso 2:

\mathsf{P =\displaystyle \frac{2p}{2} =\displaystyle \frac{ \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}}{2}}

2. Calcolare l’area con la formula di Erone

Formula di Erone, ve la ricordate? Compare chissà come e chissà quando, senza dimostrazione perchè il discorso è un po’ complicato (potete trovarne un accenno in questo articolo).

Per scrivere la formula di Erone è comodo chiamare a, b e c le misure dei tre lati AB, BC e CA. Ricordando che abbiamo chiamato p il semiperimetro (vedi paragrafo 1.2 qui sopra), la formula è la seguente:

\mathsf{area_{ \widehat{\overline{ABC}}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Semplice e indolore, no? Eppure la base concettuale di tale formula è apparentemente non così banale e richiede un’operazione di passaggio al limite, come ho provato ad accennare nell’articolo “Da Brahmagupta a Erone… passando per Al-Kashi e Carnot!“.

3. Stabilire se il triangolo è rettangolo

Possiamo farlo in tantissimi modi diversi. Ad esempio:

3.1 Confrontare i coefficienti angolari dei lati

Ricordiamo che il coefficiente angolare \mathsf{ \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}} si esprime in funzione delle coordinate dei vertici in questo modo:

\mathsf{ \displaystyle m_{AB}=\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}} ;


\mathsf{ \displaystyle m_{BC}=\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}} ;


\mathsf{ \displaystyle m_{CA}=\frac{y_A - y_C}{x_A - x_C}}.

Confrontando i tre coefficienti angolari, si avrà un triangolo rettangolo nel caso in cui due dei tre valori diano come prodotto -1 (ovvero siano, come si suol dire, antireciproci).

3.2 Verificare se vale il teorema di Pitagora

Per farlo, calcoliamo le misure dei tre lati AB, BC e CA (vedi punto 1.1 qui in alto). Eleviamo i tre valori al quadrato e verifichiamo se la somma dei quadrati dei due lati minori sia pari al quadrato del lato maggiore. In caso affermativo, il triangolo è effettivamente rettangolo e i due lati minori risultano essere i cateti.

3.3 Verificare se vale il primo o il secondo teorema di Euclide.

Certo, si può, ma richiede un sacco di lavoro aggiuntivo. Vale davvero la pena di soffrire così tanto? Comunque, se proprio si deve, è sufficiente proseguire la lettura ai punti 4 e 5 qui di seguito, per trovare le formule per il calcolo di altezze e proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

4. Individuare il piede delle altezze su ciascuno dei tre lati

Chiamando \mathsf {H_{AB}, H_{BC}, H_{CA}} i piedi delle altezze rispettivamente relative ai lati AB, BC e CA, potremo individuare le coordinate di tali punti utilizzando la formula della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data.

Ad esempio, per individuare il punto \mathsf H_{AB}, scriviamo innanzitutto l’equazione del fascio proprio di rette passanti per C:

\mathsf{y - y_C = m\cdot (x - x_C)}

Come coefficiente angolare sceglieremo l’antireciproco di \mathsf{m_{AB}} (vedi punto 3.1 più in alto in questo articolo).

Abbiamo quindi individuato l’equazione della retta che contiene l’altezza relativa al lato AB:

\mathsf {\displaystyle{y - y_C = - \frac{1}{m_{AB}}\cdot (x - x_C)}}

Mettiamo tale equazione a sistema con l’equazione della retta passante per i punti A e B, che è data da:

\mathsf {\displaystyle{y - y_A = m_{AB}\cdot (x - x_A)}}

Risolvendo il sistema di due equazioni nelle incognite x e y troviamo le coordinate del punto \mathsf{H_{AB}} cercato.

Analogamente si procede per i piedi delle altezze relative agli altri due lati.

5. Calcolare la misura delle altezze e delle proiezioni dei due dei lati sul terzo lato

Una volta trovato il punto \mathsf{H_{AB}} (paragrafo 4 qui in alto), possiamo applicare le formule della distanza fra due punti (vedi punto 1.1 più in alto in questo articolo) per calcolare rispettivamente:

  • l’altezza relativa al lato AB (distanza fra C e \mathsf{H_{AB}})
  • la proiezione di AC su AB (distanza fra A e \mathsf{H_{AB}})
  • la proiezione di BC su AB (distanza fra B e \mathsf{H_{AB}})

Tali valori potranno essere utilizzati fra l’altro per verificare la validità o meno del primo o del secondo teorema di Euclide (vedi punto 3.3 più in alto).

6. Rimandare il resto dell’elenco ad un prossimo articolo.

Del quale, non appena sarà pronto, troverete proprio qui il giusto link.

Se avete osservazioni, commenti, obiezioni, consigli o errori da segnalare, non esitate a lasciare i vostri commenti!

Alla prossima conclusione di questo non breve elenco di tutte le cose che possiamo fare conoscendo i tre vertici di un triangolo!

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