Lunedì, si legge: della serie “cose che non abbiamo inventato nella modernità”

Ecco, sfogliando articoli online ne ho trovato uno (su Vanilla Magazine) molto interessante sull’antico teatro di Epidauro. Il titolo già indica qualcosa ma non vi svelo il finale: leggetelo! Scoprirete una nuova cosa da aggiungere al già lunghissimo elenco di quelle che “non abbiamo inventato noi”! Buona lettura!

Numerando – Passatempi con i numeri per pulcini a dieci dita

Sto preparando un laboratorio ludico-didattico e quando mi viene fuori qualcosa di bello non riesco a tenerlo per me: lo devo condividere! Naturalmente non vi dico tutto-tutto di quello che ne farò, eventualmente. Perintanto, ve lo racconto.

Si tratta di un gioco, adatto a bambini di 4-5 elementare.

La versione che vi racconto richiede di abbinare i numeri interi da 1 a 12, ciascuno a una descrizione-indovinello-quiz. Alcune descrizioni sono univoche, altre si adattano a più numeri ma per esclusione alla fine si arriva a una corrispondenza 1-1.

Ecco quindi gli indovinelli-quiz (ribadisco, mi sono ideata tutto by myself, il materiale è depositato e lo potete usare a scopo didattico, mentre per pubblicazioni anche gratuite, anche online, vi prego di avvisarmi nel modo descritto alla pagina Contatti – grazie):

1 – Può “fabbricare” tutti gli altri numeri

2 – È primo e anche pari

3 – 18 è un suo multiplo

4 – È il più piccolo quadrato pari

5 – Se mi dai una mano lo potrò contare

6 – È pari e multiplo di 3

7 – È dispari e maggiore di 6

8 – Può “misurare” un cubo

9 – È un quadrato perfetto ed è dispari

10 – Nella sua tabellina vedrai tanti zeri

11 – Non ci sta sulle dita di due mani

12 – Il suo quadrato è 144

immagine Pixabay – auth: GDJ

Come giocare? Tanti modi! Il più semplice secondo me è questo:

  • da soli su un foglio o in gruppo su un tabellone, far scrivere in colonna le definizioni (alla rinfusa) da una parte e i numeri da 1 a 12 (in ordine) dall’altra.
  • Lasciare un po’ di tempo (20 minuti?) per ragionare sulle corrispondenze con l’aiuto di fogli di brutta (alcune possibilità verranno escluse man mano aiutando a dare a ciascun numero la giusta definizione)
  • Far collegare nel giusto modo ogni numero alla sua definizione.
  • Specialmente se a gruppi, si possono assegnare diversi “premi”: a chi finisce prima facendo tutto giusto; a chi finisce dopo ma ha curato bene il tabellone; a chi finisce ultimo ma ha trovato tutte le possibilità di abbinamento e magari le ha segnate!

Un altro modo può essere di non fare “escludere” le possibilità doppie ma far compilare un grafo con le corrispondenze univoche e non, in modo da introdurre il concetto di corrispondenza univoca / biunivoca (solo per aspiranti genietti però!).

Il terzo modo… per ora non ve lo svelo. Anzi, scrivete voi nei commenti come avete usato questo materiale… e buon divertimento!

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Equazioni allo specchio – fine della I parte

Nel precedente articolo, che proseguiva il discorso cominciato nell’articolo “Equazioni allo specchio – il metodo numerico delle frazioni continue (prologo)”, abbiamo affrontato la risoluzione numerica dell’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

scritta nella forma

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

e poi ulteriormente trasformata in

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

Abbiamo provato a sostituire nella x al secondo membro l’intera espressione dello stesso secondo membro, utilizzando quello che oggi chiameremmo il “principio dei metodi iterativi”, e abbiamo quindi scoperto che si può in questo modo ottenere una sequenza infinita di espressioni sempre più complicate, nella forma di “frazioni continue” che terminano sempre con una singola x al denominatore (del denominatore del denominatore del denominatore del …).

Noi ci siamo fermati a questa espressione [chi scrive in latex capirà perchè non sono andata più avanti di così!]

\mathsf  {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Per fortuna che c’è Excel (o chi per esso)

Senza scomodare ambienti di programmazione più o meno complicati, in questo caso un semplice foglio di calcolo ci viene egregiamente in aiuto per venire a capo di questa formula. Ci si potrebbe infatti chiedere principalmente due cose:

  1. Quanti passaggi devo fare per arrivare a un valore abbastanza vicino alla soluzione?
  2. Arriverò mai a un valore abbastanza vicino alla soluzione?

La seconda domanda è logicamente e gerarchicamente precedente alla prima, ma in pratica salvo poche menti brillanti e ordinate (ad esempio non la mia!) viene aggiunta come seconda, come scrupolo emergente a fronte di una oggettiva necessità pratica dopo che, per rispondere alla prima, ci si è messi al lavoro.

La terza doverosa domanda, a onore di chi si occupa del bellissimo e vastissimo campo dell’analisi numerica, è in effetti:

  1. Quanto vicino arriverò alla soluzione?

Per ora lasceremo da parte questa terza domanda. Per cercare di rispondere alle prime due invece ho aperto il mio fido Excel e inserito la seguente formula iterativa (in diverse colonne per fare prove con diversi valori di partenza):

creato con Excel da ilripassinodimatematica.com

Come si vede, in ogni riga viene riapplicata la formula iterativa x = 3 + 2/x, calcolata sul valore ottenuto al passaggio precedente.

Variando il valore di partenza, varia soltanto il numero di passaggi con cui la sequenza si stabilizza su un valore che possiamo considerare la nostra “risposta”, o per essere più corretti la nostra “migliore approssimazione”, come si vede dai valori che risultano dalle formule scritte sopra, che potete trovare nell’immagine seguente

creato con Excel da ilripassinodimatematica.com

Per adesso ci fermiamo qui!

La soluzione “numerica” della nostra equazione sembra essere

\mathsf {x \simeq 3,561552812808830000000}

Nei prossimi articoli, cercheremo di approfondire, generalizzare, ampliare… come si conviene a ogni buon matematico!

Come sempre, non esitate a lasciare i vostri commenti, segnalare errori, proporre miglioramenti o altro: siete i benvenuti!

#quasiuguale #allincirca #allaprossima #graziedellattenzione

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Equazioni allo specchio – si dia inizio alle danze!

In un precedente articolo (qui il link) abbiamo introdotto il bellissimo argomento dei metodi numerici per l’algebra (e non solo per l’analisi!), un tema affascinante e un universo popolato da molti oggetti meravigliosi della matematica. Brillanti come le Pleiadi, tra questi, le frazioni continue.

Avevamo come primo esempio introdotto l’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

trasformandola nella forma

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

e infine, dividendo per un x sicuramente diverso da zero, in

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

Ora, non so se l’abbia mai detto qualcuno, ma in caso negativo sono felice di essere la prima a farlo, “la mente semplice forgia idee brillanti”.

E cosa ci poteva essere di più brillante se non sostituire, nella x al denominatore, l’intera espressione che dev’essere uguale a x, ovvero l’intero secondo membro dell’equazione?

Vi gira già la testa, vero? Ve la scrivo, così:

\mathsf  {\displaystyle{x = 3 + \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}} 📌

A questo punto, avrete già intuito qualcosa: cosa succede se in questa nuova espressione sostituisco ancora l’espressione di x (quella della prima equazione o – saltando un passaggio come faremo noi – quella di questa seconda)?

Un gioco di specchi

Avete mai provato a mettervi in mezzo a due specchi e guardarci dentro?

ananas a effetto “infinito” grazie a un gioco di specchi, immagine dal web

L’effetto è davvero vertiginoso, è forse la cosa che più avvicina alla percezione quasi “tangibile” dell’infinito matematico. A me ha sempre fatto impazzire (ci giocavo con l’armadio a doppio specchio di mamma e papà, quando ci vestivamo per le feste grandi).

Con le frazioni continue, più o meno funziona allo stesso modo: riproponiamo la stessa “immagine” in un punto che è già un “riflesso” della prima forma che è l’equazione di partenza. Solo, per velocizzare, non guardiamo tutte le figure ma ne saltiamo qualcuna.

Nella seconda sostituzione, dove vado a sostituire il secondo membro di
📌 al posto della x al secondo membro della stessa equazione, ottengo (“premio latex 2019”):

\mathsf  {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}} 📌📌

Dove (non) osa il calcolatore

Date a una calcolatrice questa procedura, e non saprà dove terminare. Si tratta infatti di una procedura (infinita) e non di un algoritmo (finito).

E noi, dove andremo a parare con questa x che rispunta sempre fuori in una formula sempre più complicata? Scriviamo un terzo step usando questa volta la formula 📌📌 :

\mathsf  {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}} 📌📌📌

Cominciamo a capire di cosa stiamo parlando, quando diciamo “frazioni continue”? Spero di sì. È un argomento che a me affascina molto. Per ora ci fermiamo ma proseguiremo presto in questa che si prospetta una lunga, lunghissima storia. Per restare in tema, per ora possiamo soltanto scrivere:

😎(continua) 😎

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Equazioni allo specchio – il metodo numerico delle frazioni continue (prologo)

Analisi numerica, questa affascinante materia che credevo essere nata con Newton nel diciassettesimo secolo, ma che invece scopro aver radici molto più antiche: di sicuro ne troviamo traccia nei matematici e astronomi persiani dell’ XI secolo, ma confido che si possano trovare segni anche più antichi della pratica di questa disciplina.

immagine Pixabay, auth: geralt

L’uso moderno dei computer ha permesso di rivalutare l’utilità delle tavole numeriche (da far memorizzare al macchinario, programmando un software d’interpolazione per i valori intermedi) o dei metodi ricorsivi (ad esempio il metodo delle tangenti di Newton per la ricerca degli zeri di un’equazione non lineare); tuttavia, alcune di queste prassi erano già ben consolidate nell’antichità.

Già il nome inganna, perchè fa pensare che i metodi numerici si applichino soltanto all’analisi matematica.

Pensare invece che si possono utilizzare semplici metodi numerici per la risoluzione di alcuni tipi di equazione di secondo grado!

Partiamo da un esempio che funziona

Voglio trovare una radice dell’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

Poichè nell’animo sono un po’ Khayyamiana / Khwarizmiana, la riscrivo così

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

A questo punto dobbiamo fare un piccolo volo pindarico: un ideale passo indietro nella storia della matematica, a prima del Kitab di Al-Khwarizmi, a prima del trattato indiano di Brahmagupta. Come possiamo fare per trovare non tutte – ma almeno una delle soluzioni di questa equazione?

A qualcuno, un giorno nella storia dell’umanità, venne in mente di fare così:

Poichè zero non è certamente una soluzione, posso dividere tutto per x.

Ottengo

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

E qui comincia la nostra storia…

(to be continued)

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Cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B,C di un triangolo – II parte

Continua l’elenco di cose che si possono cercare, trovare, calcolare, disegnare, azzeccare o ingarbugliare a partire dalla semplice conoscenza delle coordinate dei vertici di un triangolo nel piano cartesiano.

Le prime cinque (anzi, sei, e con varianti) le abbiamo elencate in questo articolo. Avendo cominciato la numerazione dallo zero, proseguo dunque la lista con la cosa-da-fare numero

6. Calcolare l’area come “base x altezza / 2” in tre modi diversi

… e verificare che il risultato è sempre lo stesso, e coincide con quello trovato applicando il punto 2 (formula di Erone): è un passatempo come un altro: buon divertimento!

Per calcolare la base, serve il punto 1.1 del precedente articolo. Per l’altezza relativa, i punti 4 e 5.

7. Individuare gli assi del triangolo

… e verificare che passano tutti e tre per uno stesso punto: il circocentro.

Non è scontato infatti notare che gli assiomi della geometria euclidea garantiscono l’incidenza in un punto di due qualsiasi rette non parallele, ma in nessun modo garantiscono l’incidenza di tre rette non parallele in uno stesso punto.

Per questo i punti notevoli del triangolo sono notevoli.


realizzato con geogebra da ilripassinodimatematica.com

Se chiamiamo \mathsf M_{AB}, \mathsf M_{BC} e \mathsf M_{AC} rispettivamente i punti medi di AB, BC e CA, abbiamo per le coordinate di tali punti la semplice media aritmetica delle coordinate degli estremi del segmento di riferimento. In formule:


\mathsf {M_{AB}= \displaystyle{\left( { \frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}} \right) }}

\mathsf {M_{AC}= \displaystyle{\left( { \frac{x_A+x_C}{2} ; \frac{y_A+y_C}{2}} \right) }}

\mathsf {M_{BC}= \displaystyle{\left( { \frac{x_B+x_C}{2} ; \frac{y_B+y_C}{2}} \right) }}

A partire dalle coordinate di \mathsf M_{AB}, \mathsf M_{BC} e \mathsf M_{AC} possiamo tracciare la perpendicolare a ciascun lato passante per il suo punto medio: ricordiamo la formula già utilizzata per individuare le rette contenenti le altezze (punto 4 della prima parte), e riscriviamola utilizzando come centri del fascio proprio i punti medi dei lati al posto dei vertici A, B e C (se avete dubbi o salto troppi passaggi, scrivetemi nei commenti!)

Otteniamo:

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{AB}} = - \frac{1}{m_{AB}}\cdot (x - x_{M_{AB}})}}

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{BC}} = - \frac{1}{m_{BC}}\cdot (x - x_{M_{BC}})}}

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{AC}} = - \frac{1}{m_{AC}}\cdot (x - x_{M_{AC}})}}

dove ricordo che \mathsf m_{AB}, \mathsf m_{BC} e \mathsf m_{AC} con la m minuscola sono i coefficienti angolari dei lati AB, BC e AC, da non confondere con i punti medi che hanno la M maiuscola (😭😭😭 noi matematici, tutta la vita così… 😭😭😭 )

Ma alla fine, per chi ha pazienza, il risultato sarà di trovare l’agognato circocentro, che con una scelta di nomi a caso chiameremo K.

8. Trovare l’equazione della circonferenza circoscritta (e disegnarla bene)

A partire dal circocentro K trovato al punto 7. qui sopra, dopo aver verificato anche analiticamente (se siete pignoli!) che KA = KB = KC (per la qual cosa vi servirà rispolverare la distanza fra due punti di cui al precedente articolo, n.1) potete finalmente prendere un compasso vero o virtuale e puntando in K, con apertura KA (o KB o KC), tracciare la circonferenza circoscritta al triangolo.

realizzato con geogebra da ilripassinodimatematica.com

9. Trovare l’equazione delle bisettrici del triangolo e individuare (verificando) l’incentro

Questa è tosta, non ne parla mai nessuno: verrà segnalata honoris causa, a tempo debito, nella pagina facebook “Dimostrazioni lasciate per esercizio al lettore“!

Per avventurarci a ricostruire la formula delle rette bisettrici di ciascun angolo, bisogna ricordare che il coefficiente angolare di una retta non è altro che la tangente trigonometrica dell’angolo formato da tale retta con l’asse x.

Riportando tali angoli con vertice in O, osserviamo che l’angolo della bisettrice risulta essere la media aritmetica degli angoli formati da ciascuno dei due lati in questione con l’asse x.

Non vi faccio il disegno. Scrivetemi se non è chiaro, lo aggiungerò.

Per fissare le idee, cerchiamo la bisettrice dell’angolo in C, opposto al lato AB.

Partiremo quindi dai coefficienti angolari \mathsf m_{BC} e \mathsf m_{AC} dei lati BC e AC. Questi non sono altro che le tangenti trigonometriche di due angoli che per semplicità chiameremo \alpha e \beta.

Per avere il coefficiente angolare della bisettrice, dovremo cercare il coefficiente angolare della retta inclinata di \mathsf{\displaystyle{\frac{\alpha + \beta}{2}}} sull’asse x, ovvero la tangente trigonometrica dell’angolo
\mathsf{\displaystyle{\frac{\alpha + \beta}{2}}}.

Ci servirà quindi la tangente trigonometrica dell’angolo mezzo in funzione della tangente dell’angolo, e poi la formula per la tangente di una somma in funzione delle tangenti degli angoli addendi. Piccolo problema però: normalmente la tangente di alfa-mezzi viene espressa in funzione del coseno di alfa e non della tangente di alfa. Vediamo come aggirare questo problemino: ecco come ho fatto io, poi mi saprete dire se c’erano vie più brevi che nel mio primo cinquantennio di vita ho dimenticato:

Cambiamo punto di vista e scriviamo la formula di
\mathsf{\displaystyle{\tan \alpha}} in funzione di
\mathsf{\displaystyle{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}, utilizzando le formule parametriche derivate dalle formule di bisezione. Avremo

\mathsf {\displaystyle{\tan \alpha = \frac{2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 - {\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}^2} }}

Ora per semplificarci un po’ la vita possiamo chiamare t la tangente di alfa-mezzi e T la tangente di alfa. Riscriviamo quindi la formula in questo modo:

\mathsf {\displaystyle{T = \frac{2t}{1 - t^2} }}

Fatti salvi i casi che annullano il denominatore (alfa = 90° ovvero angolo retto che possiamo escludere per il momento), possiamo risolvere rispetto a t ottenendo l’equazione di secondo grado

\mathsf{T - Tt^{2}- 2t = 0}

ovvero

\mathsf{Tt^{2} + 2t - T = 0}

da cui

\mathsf {t = \displaystyle{ \frac{-1 \pm \sqrt{1 + T_{2}} }{T}} }

D’altra parte sappiamo anche che

\mathsf{ \displaystyle{ \mathsf{\tan\left(\alpha + \beta \right) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}}}}

ovvero, sostituendo i coefficienti \mathsf {m_{1} } e \mathsf {m_{2}} dei due lati dell’angolo

\mathsf{\displaystyle{\mathsf{\tan\left(\alpha + \beta \right) = \frac{m_{1} + m_{2}}{1- m_{1}m_{2}}}}}

Riprendendo la formula della tangente dell’angolo mezzo e applicandola alla tangente di alfa più beta, otteniamo l’espressione del coefficiente angolare della bisettrice dell’angolo i cui lati hanno coefficienti angolari
\mathsf {m_{1} } e \mathsf {m_{2}}:

\mathsf{ \displaystyle {m_{bis} = \frac{-1 \pm \sqrt { {1 + {\left( \frac{m_{1} + m_{2}}{1 - m_{1}m_{2}}  \right)}^2}   }   }{\frac {m_{1} + m_{2}}{1 - m_{1}m_{2}}     }    }  }

Saltando alcuni passaggi per non impazzire con latex, abbiate fiducia (oppure provate e verificate) che si arriva alla seguente espressione giustamente ancora simmetrica rispetto ai due coefficienti angolari:

\mathsf{ \displaystyle { m_{bis} = \displaystyle{\frac{- {\left(1 - m_{1}m_{2} \right)}^2 \pm \sqrt{\left( 1 + {m_{1}}^2 \right) \left( 1 + {m_{2}}^2 \right) }}{m_{1} + m_{2}} }  }    }

Soltanto un folle vorrebbe usare questa formula per il calcolo del coefficiente angolare delle bisettrici, ma tant’è, questo mi ero ripromessa e questo ho trovato! Lasciate nei commenti qualunque espressione vi evochi questo lungo paragrafo (soprattutto, nel caso riteniate, correzioni o umilianti espressioni più semplici che io non conoscevo!!)

10. Con un colpo di scena, trovare il baricentro senza prima individuare le mediane

Dopo la fatica del punto precedente, proprio ci vuole: si dimostra (ma da secoli la dimostrazione viene lasciata per esercizio al lettore…) che le coordinate del baricentro altro non sono se non la media aritmetica delle coordinate dei tre vertici, ovvero, chiamato come al solito G – come – gravità il punto notevole:

\mathsf{ \displaystyle {G \left ( \frac{x_{A}+ x_{B} + x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+ y_{B} + y_{C}}{3} \right )   }  }

11. Attendere fiduciosamente la terza parte di questa lunga storia

Il link all’articolo verrà indicato esattamente qui!

Se avete osservazioni, obiezioni, consigli o errori da segnalare, o anche un semplice pensiero da esprimere, non esitate a lasciare i vostri commenti!

Alla prossima conclusione di questo non breve elenco di tutte le cose che possiamo fare conoscendo i tre vertici di un triangolo!

#graziedellalettura #artedienumerare #stililetterari #buonanno #buonannonuovo #buon2019

Cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B,C di un triangolo

Non sei un blogger degno di questo nome se non rendi ossequio, ogni tanto, alla nobile arte retorica dell’enumerazione,

clipart Pixabay

Cercherò allora di contare quante cose si possono fare conoscendo le coordinate dei tre vertici di un triangolo, nel piano cartesiano. Ancora non lo so quante sono, chi vivrà vedrà!

Chiamiamo come di consueto A, B e C i vertici del triangolo argomento di questo articolo.

Per cominciare, una prima osservazione filosofica, ovvero: la primissima cosa che possiamo fare a partire dalle coordinate di tre punti A, B, C è

0. Definire il triangolo ABC

Sembra banale, ma lo è? Se ci pensiamo, per definire il triangolo “concettualmente”, a partire dagli assiomi della geometria euclidea, basta disegnare i tre punti e il gioco è fatto. Matita e righello, uniamo i vertici e ci siamo: non c’è possibilità di unirli nel modo sbagliato, la figura è sempre convessa, il triangolo c’è.

(Se però volessimo parlare dell’espressione analitica del triangolo ABC, dobbiamo persino scomodare un sistema di tre disequazioni: ne parleremo prima della fine di questo lungo elenco, se avrete tempo e interesse a seguirne anche le prossime puntate).

Ma procediamo: ora il triangolo è disegnato, possiamo quindi cominciare la nostra sfilata di cose-da-fare.

1. Calcolare lunghezze dei lati e perimetro di ABC

… per non dir del semiperimetro!

Serve ripetere le formule? Ma sì, certo che sì: ci sarà sempre qualche lettore che avrà aperto questo link soltanto per trovare esattamente quelle. Chi già le conosce può saltare a piè pari al punto 2.

1.1 I lati AB, BC e CA e le loro misure

La formula per la misura di un segmento di estremi A e B (ovvero la distanza euclidea AB) si ricava come semplice applicazione del teorema di Pitagora. Questo piccolo appunto può servire come aiuto per memorizzare la formula:

\mathsf{ \overline{AB} = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2} }

Ripetiamo la stessa operazione con le coppie di vertici AC e BC

\mathsf{ \overline{AC} = \sqrt{( x_C - x_A )^2 + ( y_C - y_A )^2} }

\mathsf{ \overline{BC} = \sqrt{( x_C - x_B )^2 + ( y_C - y_B )^2} }

Abbiamo così descritto le lunghezze dei tre lati AB, AC e BC in funzione delle coordinate cartesiane dei rispettivi estremi.

1.2 Calcolare il perimetro e il semiperimetro

A volte risulta utile conoscere anche il semiperimetro di un triangolo; non abbandono quindi la consuetudine di chiamare 2p il perimetro del triangolo, dimodoché il semiperimetro potrà essere comodamente indicato con p.

Per calcolare il perimetro una volta calcolate le misure dei tre lati AB, BC e CA, non serve altro che sommarle tutte tra di loro:

\mathsf{2p = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}}

Il semiperimetro è pari al perimetro diviso 2:

\mathsf{P =\displaystyle \frac{2p}{2} =\displaystyle \frac{ \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}}{2}}

2. Calcolare l’area con la formula di Erone

Formula di Erone, ve la ricordate? Compare chissà come e chissà quando, senza dimostrazione perchè il discorso è un po’ complicato (potete trovarne un accenno in questo articolo).

Per scrivere la formula di Erone è comodo chiamare a, b e c le misure dei tre lati AB, BC e CA. Ricordando che abbiamo chiamato p il semiperimetro (vedi paragrafo 1.2 qui sopra), la formula è la seguente:

\mathsf{area_{ \widehat{\overline{ABC}}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Semplice e indolore, no? Eppure la base concettuale di tale formula è apparentemente non così banale e richiede un’operazione di passaggio al limite, come ho provato ad accennare nell’articolo “Da Brahmagupta a Erone… passando per Al-Kashi e Carnot!“.

3. Stabilire se il triangolo è rettangolo

Possiamo farlo in tantissimi modi diversi. Ad esempio:

3.1 Confrontare i coefficienti angolari dei lati

Ricordiamo che il coefficiente angolare \mathsf{ \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}} si esprime in funzione delle coordinate dei vertici in questo modo:

\mathsf{ \displaystyle m_{AB}=\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}} ;


\mathsf{ \displaystyle m_{BC}=\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}} ;


\mathsf{ \displaystyle m_{CA}=\frac{y_A - y_C}{x_A - x_C}}.

Confrontando i tre coefficienti angolari, si avrà un triangolo rettangolo nel caso in cui due dei tre valori diano come prodotto -1 (ovvero siano, come si suol dire, antireciproci).

3.2 Verificare se vale il teorema di Pitagora

Per farlo, calcoliamo le misure dei tre lati AB, BC e CA (vedi punto 1.1 qui in alto). Eleviamo i tre valori al quadrato e verifichiamo se la somma dei quadrati dei due lati minori sia pari al quadrato del lato maggiore. In caso affermativo, il triangolo è effettivamente rettangolo e i due lati minori risultano essere i cateti.

3.3 Verificare se vale il primo o il secondo teorema di Euclide.

Certo, si può, ma richiede un sacco di lavoro aggiuntivo. Vale davvero la pena di soffrire così tanto? Comunque, se proprio si deve, è sufficiente proseguire la lettura ai punti 4 e 5 qui di seguito, per trovare le formule per il calcolo di altezze e proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

4. Individuare il piede delle altezze su ciascuno dei tre lati

Chiamando \mathsf {H_{AB}, H_{BC}, H_{CA}} i piedi delle altezze rispettivamente relative ai lati AB, BC e CA, potremo individuare le coordinate di tali punti utilizzando la formula della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data.

Ad esempio, per individuare il punto \mathsf H_{AB}, scriviamo innanzitutto l’equazione del fascio proprio di rette passanti per C:

\mathsf{y - y_C = m\cdot (x - x_C)}

Come coefficiente angolare sceglieremo l’antireciproco di \mathsf{m_{AB}} (vedi punto 3.1 più in alto in questo articolo).

Abbiamo quindi individuato l’equazione della retta che contiene l’altezza relativa al lato AB:

\mathsf {\displaystyle{y - y_C = - \frac{1}{m_{AB}}\cdot (x - x_C)}}

Mettiamo tale equazione a sistema con l’equazione della retta passante per i punti A e B, che è data da:

\mathsf {\displaystyle{y - y_A = m_{AB}\cdot (x - x_A)}}

Risolvendo il sistema di due equazioni nelle incognite x e y troviamo le coordinate del punto \mathsf{H_{AB}} cercato.

Analogamente si procede per i piedi delle altezze relative agli altri due lati.

5. Calcolare la misura delle altezze e delle proiezioni dei due dei lati sul terzo lato

Una volta trovato il punto \mathsf{H_{AB}} (paragrafo 4 qui in alto), possiamo applicare le formule della distanza fra due punti (vedi punto 1.1 più in alto in questo articolo) per calcolare rispettivamente:

  • l’altezza relativa al lato AB (distanza fra C e \mathsf{H_{AB}})
  • la proiezione di AC su AB (distanza fra A e \mathsf{H_{AB}})
  • la proiezione di BC su AB (distanza fra B e \mathsf{H_{AB}})

Tali valori potranno essere utilizzati fra l’altro per verificare la validità o meno del primo o del secondo teorema di Euclide (vedi punto 3.3 più in alto).

6. Rimandare il resto dell’elenco ad un prossimo articolo.

Del quale, non appena sarà pronto, troverete proprio qui il giusto link.

Se avete osservazioni, commenti, obiezioni, consigli o errori da segnalare, non esitate a lasciare i vostri commenti!

Alla prossima conclusione di questo non breve elenco di tutte le cose che possiamo fare conoscendo i tre vertici di un triangolo!

#graziedellalettura #artedienumerare #stililetterari #buonanno #buonannonuovo #buon2019

Un’altra parola nuova: “Autosomiglianza”

Quando in una struttura si riscontra la ricorrenza di forme simili su scale diverse, si parla di autosomiglianza.

È ciò che accade ad esempio nel caso dei frattali, ma ne abbiamo anche esempi magari meno perfetti ma molto evocativi in natura: si pensi alla disposizione “aurea” dei semi di girasole o allo sviluppo dei rami e delle foglie in un albero, ma anche, non deve certo sorprendere, alla conformazione delle linee costiere.

foto Pixabay, ph. rafixx

Uno dei modelli più semplici da descrivere, e che troviamo quindi in ogni buon libro di analisi matematica, è la cosiddetta curva di Koch, che si può descrivere come limite di una successione di curve chiuse: a partire da un triangolo equilatero, ad ogni passo si “raffina” (o si complica!) ogni lato in questo modo:

  • dividiamo il lato in tre parti uguali
  • sostituiamo la parte centrale con gli altri due lati del triangolo equilatero di cui essa è la base

Curva di Koch: un esempio di autosomiglianza

Disegniamo i primi passi per “costruire” (sarebbe meglio dire “indicare”) la curva di Koch. I primi due sono figure note: un triangolo equilatero e poi la classica “stella a sei punte”, dopo di che le cose si complicano un pochino, sempre di più…

Ecco il mio fatto a mano, soltanto i primi tre step (senza compasso e un po’ raffazzonati, mi scuserete?). Provate anche voi: più che un esercizio di geometria sembra uno studio di “codice Morse”: divertente!

Qui come in quasi tutti i casi, l’autosomiglianza si applica soltanto localmente (per piccoli tratti) e non sull’intera figura: un buon esempio per familiarizzare con questo arzigogolato concetto.

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