Archivi categoria: Geometria

… perchè non siamo mica qui a calcolare radici quadrate !

Se il matematico creativo può eventualmente trovare topologicamente interessante anche pettinare le bambole, sicuramente non è vocazione di nessuno passare la vita a calcolare radici quadrate, con buona pace delle calcolatrici elettroniche!

Non per niente il buon Pitagora “inventò” le famose terne che portano il suo nome. In altre epoche e culture, sappiamo che il parimenti buon Abu-l-Wafa al-Buzjani, nel X secolo del nostro calendario, utilizzava la terna 3-4-5 per verificare la perpendicolarità – e non di cateti di triangoli inventati ad hoc per fare esercizi, ma di muri ed angoli di pavimenti, stante che era un geometra e architetto tra i più sapienti della sua epoca, per inciso padre -tra le molte cose – della moderna trigonometria.

Il (un) fascino delle terne pitagoriche sta nel fatto che permettono di creare senza fatica infiniti triangoli rettangoli apparentemente diversi fra di loro: lo studente diligente e accorto si rende facilmente conto, dopo i pochi primi esercizi proposti dal libro, che i numeri in ballo sono sempre gli stessi, o perlomeno risultano fortemente imparentati fra di loro. Se ha avuto anche un insegnante accorto ( = che gli ha spiegato le terne pitagoriche evitando di considerarle una perdita di tempo), si sarà a quel punto accorto (e scusate le ripetizioni) che gran parte degli esercizi si risolvono facilmente con l’uso delle terne: niente di più difficile di un 3-4-5 o più rare volte un 5-12-13 per non dire qualche sporadico 7-24-25.

I problemi che presentano come dati di partenza le proporzioni tra i lati, poi, sono il più delle volte fatti per lasciar trasparire la terna sottostante, cosa che permette di risolvere il triangolo con pochi semplicissimi calcoli in aritmetica di base. Ricordo perfettamente quanto insistette su questo punto il mio insegnante di quinta elementare! Peccato invece trovare talvolta oggi, persino nel biennio superiore, chi delle terme pitagoriche non sospetta neppure l’esistenza, e instrada gli studenti a un diligentissimo uso della calcolatrice per ottenere risultati approssimati, il più delle volte senza nemmeno introdurre la minima consapevolezza sul fatto che le macchine – più degli esseri umani – sono soggette all’errore.

Alla domanda allora “a cosa serve” che gli studenti si tramandano speranzosi di una risposta di generazione in generazione, il rischio è che si debba rispondere un serio e sincero “solo a farti prendere dimestichezza con il concetto”. Perché a parte forse il Flatiron building di New York, il famoso “ferro da stiro”, tanti triangoli rettangoli con cui avere a che fare “nella vita di tutti i giorni” non è che se ne trovino: non tutti gli angoli di strada sono quello tra la Fifth Avenue e Broadway!

flatiron_crop

E non tutti gli architetti si chiamano Abu-l-Wafa, che misurava l’angolo retto con una “squadra” di lati 3-4-5! E in ogni caso da noi le “squadre” sono costruite sulla misura degli angoli (triangolo rettangolo isoscele con gli angoli acuti di 45° e metà del triangolo equilatero con gli angoli acuti di 30° e 60°) e non sulle proporzioni dei lati. Paradossalmente forse proprio per l’eredità di quel che Abu-l-Wafa ci ha genialmente tramandato: scherzi del destino e della storia!

E tant’è … pare tra l’altro che le nostre “pitagoriche” amiche venissero in realtà dalla Cina, ma questa, forse potrà essere un’altra pagina futura di questo blog.

 

Cercando la scienza utile

Come dice un adagio islamico, “cercate la scienza utile!”: si tratta di un consiglio che ha molti livelli di interpretazione. I più elevati hanno ricadute che non riguardano abbastanza da vicino questo spazio di condivisione di pensieri; si tratta della Scienza divina che permette di dare alle cose di questo mondo il giusto relativo valore rispetto a quell’aldilà che saremmo qui per guadagnarci. [Con buona pace dei colleghi ateisti].

Ma per non entrare in sterili polemiche tanto inutili quanto dannose, tratteremo qui soltanto di quel livello di “scienza utile” rappresentato da quelle cose più utili di altre muovendoci rigorosamente solo nell’insieme delle materie oggetto delle scienze terrene, e più precisamente della matematica.

Restringendo ulteriormente il campo, con questo adagio in mente sfoglio il secondo numero della nuova rivista MATE, che mi ha stimolato il pensiero proponendo un intero dossier su “scienza e fede”… ma non è di questo che voglio parlare.

Noto, piuttosto, un articolo nella rubrica simpaticamente chiamata “Maestrini”, con didascalia “le nuove frontiere della didattica”. La didascalia mi rassicura e mi rincuora: non si tratta di una pagina ironica! Anzi: analisi e consigli per una didattica più efficace.

L’Invalsi esiste ed è utile

L’articolo a firma di Silvia Sbaragli, intitolato “Vincere l’inganno delle posizioni”, presenta alcuni consigli su come prevenire e far emergere potenziali difficoltà che rischiano di rimanere nascoste nel consueto approccio all’insegnamento della geometria piana, nelle scuole elementari e medie: l’oggetto della trattazione è il riconoscimento delle diverse figure geometriche, a partire dalle loro “immagini segnaletiche” o a partire dalle proprietà caratteristiche?

La cosa per me veramente interessante dell’articolo è il riferimento alle valutazioni delle prove Invalsi 2008-2009. Estrapolo una deduzione en passant: l’utilità dell’Invalsi non è tanto nello stabilire i livelli di apprendimento quanto nell’individuare eventuali criticità nelle metodologie di insegnamento, come in questo caso. In altre parole: ad essere valutati non sono gli studenti, meno che meno i singoli che rimangono anonimi con poche eccezioni: sono al contrario valutati i programmi di insegnamento e le metodologie didattiche… viste così, hanno senso.

Prego identificarsi

Nella fattispecie, il case study riguarda il riconoscimento di figure geometriche, facilmente messo in crisi da una semplice “decontestualizzazione” rispetto al modo consueto di rappresentare ciascuna figura nella didattica “classica”: l’esempio evidenziato dai risultati delle prove invalsi, è quello del quadrato che se disegnato con le diagonali in orizzontale e verticale invece dei lati, diventa prontamente un “rombo”. Ora, non che il quadrato non sia un rombo, per carità. Il problema in questo caso (parliamo della prova invalsi in questione; per sapere i dettagli, comprate MATE e leggete l’articolo!)  è che si privilegia la “posizione” della figura rispetto a evidenti proprietà come l’avere i quattro angoli retti.

La domanda che sorge spontanea – almeno ai maestrini – è quindi: “ma come abbiamo spiegato il quadrato, il rombo e le altre figure”? Come abbiamo definito ciascuna figura in relazione alle altre? Che esercizi abbiamo proposto per scandagliare tutti i possibili pitfall in cui lo studente incauto potrebbe cadere? … un momento! Ci abbiamo pensato alle possibili trappole in cui lo studente potrebbe cadere?

Da qui il consiglio dell’articolista: presentare le figure “non nel solito modo”: disegnarle in modo dinamico, in posizioni inaspettate, prevenire con la propria esperienza e capacità immaginativa tutte le possibili situazioni di ambiguità. A questo serve l’insegnante-allenatore. Le nozioni sono strumenti di lavoro per gestire gli oggetti matematici, non astrazioni da ripetere senza trovarne il legame con la realtà.

Dire, fare, manipolare

L’altro esempio citato nell’articolo è quello della piramide a base quadrata la quale, se presentata con la punta verso il basso, viene “per esperienza vissuta” identificata senz’altro indugio con un “cono”: il lato positivo è che l’esperienza matematica in quel caso, se pure non corretta, sarà risultata almeno appetitosa! Ma questo esempio apre a due importanti riflessioni che mi stanno entrambe tanto a cuore.

La prima: investire tempo didattico per lo studio delle isometrie, in altri tempi avrei detto che è un investimento difficile ma redditizio (se pure a lungo termine). Dopo aver letto questo articolo, rincaro la dose e dico che è assolutamente necessario. Ma non con le equazioni cartesiane, per favore! Quelle verranno da sé se l’esperienza didattica sarà stata ricca e articolata. Ma allora, come le facciamo studiare le isometrie nei primi ordini di scuola? Risposta breve: non abbiamo definito le isometrie come sposatamenti rigidi? Perchè allora invece di disegnare su un foglio una figura, non la facciamo ritagliare e animare? Ecco un’idea per uscire dalla barbosa lezione, magari giocare a inventare storie animando figure che diventano personaggi, ma soprattutto diamo ai bambini la possibilità e il piacere di manipolare qualcosa di concreto, che prende vita tra le loro mani. Sì perchè in questo modo è un frammento di sapere che prenderà vita fra le loro mani, lo sentiranno proprio, lo ricorderanno per tutta la vita.

Didattica virtuale o esperienza reale?

Ed ecco allora la seconda riflessione: didattica virtuale o esperienza reale? Io credo l’una e l’altra insieme! Se infatti è anacronistico pensare che sia “meglio” faticare con carta, penna e gessetto ignorando orgogliosamente le scorciatoie e perchè no, l’aiuto dei molti software e materiali didattici oggi presenti, è però viceversa presuntuoso o perlomeno drammaticamente limitato pensare che con la multimedialità si risolva tutto.

Dopo la multimedialità, la laboratorialità: questa a mio modesto parere può essere una formula vincente. Permette di alternare il momento euristico a quello propedeutico all’astrazione, che va comunque accompagnata nel giusto modo e con le giuste attenzioni a seconda delle età.

Per cercare di rielaborare e parafrasare la conclusione dell’articolo, se ai bambini non si può somministrare concetti astratti ma hanno bisogno dell’esperienza, bisogna creare un’esperienza ricca e sufficientemente varia affinchè questa possa essere un’adeguata propedeutica alla successiva concettualizzazione astratta: più ricco è il “vocabolario”, più articolate potranno essere le frasi.

E comunque, per concludere, vorrei insistere sul fatto che anche il quadrato, nel suo piccolo, è un rombo.

 

 

 

 

 

 

 

Riflessioni per la didattica

pescagrafimx fiore aranciograficmx nefican ozsen

 

Le simmetrie sembrano essere l’argomento tabù della scuola italiana: prendono troppo tempo, oppure l’insegnante stesso le ha studiate in modo perlopiù autodidatta e quindi non si sente a suo agio, oppure semplicemente non piacciono, stanno antipatiche …

oppure non se ne vede l’utilità, e quanta sarebbe invece!

con le nuove tecnologie e la sovrabbondanza di immagini a disposizione di tutti sul web, oggi non sembra più scusabile un’omertà sull’argomento.

Noi di idee ne abbiamo parecchie! e voi?

Visita la raccolta di materiali su http://www.facebook.com/RIPASSINO

 

Il teorema di Pitagora generalizzato – seconda parte

Riprendo l’ultimo post pubblicando per esteso la dimostrazione della formula per i triangoli ottusangoli. A seguire l’analogo teorema per i triangoli acutangoli e qualche considerazione finale sul collegamento con la trigonometria.

 

Immagine

pitagora ottusi formula

Dimostriamo la formula.

Consideriamo il triangolo rettangolo BCH formato dai vertici del lato maggiore BC e dall’altezza BH relativa al lato AC.

Si ha naturalmente, per il Teorema di Pitagora:

ottusi passaggio1

 

Ma per costruzione si ha

ottusi passaggio2

 

da cui, sostituendo nella formula precedente:

ottusi passaggio3

ottusi passaggio4

Ma il Teorema di Pitagora ci dice ancora che

ottusi passaggio5

e sostituendo quest’ultima relazione nell’ultimo passaggio, otteniamo infine la formula cercata:

pitagora ottusi formula

c.d.d.


Il teorema di Pitagora generalizzato

Dopo quasi tre mesi di silenzio-blog, passati con molto piacere a presentare a un pubblico niente affatto virtuale alcuni degli argomenti di ricerca tra i miei preferiti, rimbocchiamoci le maniche e torniamo al lavoro!

Prendo spunto da uno dei miei libri di testo preferiti di geometria per il biennio superiore, anche se non so quanto sia adottato: Pigreco / Geometria di Palladino-Scotto-Frixione (edizioni Principato, la mia è una copia-saggio del 2003). Mi piace per la scelta sempre molto acuta, ragionata e ben curata degli esercizi.

Ad esempio, nel capitolo sui teoremi di Pitagora ed Euclide, troviamo tra gli esercizi una proposta di “Teorema di Pitagora generalizzato ai triangoli ottusangoli” e di “Teorema di Pitagora generalizzato [per triangoli qualunque]”. Evviva! Ora li vediamo, tutti e due.

Così alla cieca, mi chiederete sicuramente: “ma come, non abbiamo ancora le funzioni trigonometriche fondamentali e già introduciamo Carnot?”, oppure (formulazione equivalente alla precedente): “e come si fa, senza la trigonometria?”

… eppur si muove! … ebbene sì! Eppure si può lo stesso, ed è anche molto semplice e interessante. E vale la pena annotarlo fuori-classe, così, informalmente su un blog amatoriale, per ricordarsi di fare un’operazione complessa ma sicuramente meritevole di essere tentata, anche se apparentemente impossibile visto che l’insegnante del biennio non sarà quasi mai lo stesso del triennio, e i tempi didattici renderanno impraticabile qualsiasi “fuori programma”, per quanto piacevole e utile possa essere. Ovvero, creare continuità didattica tra biennio e triennio, che non si limiti al “dare per scontate le nozioni di base” ma vada un po’ al di là, servendo da vero e proprio amplificatore di conoscenze. Impossibile?

Ebbene no! Come dice la pubblicità: “immagina… puoi!” Immaginiamo un mondo dove l’insegnante del biennio proponga il “teorema di Pitagora generalizzato”, consigliando agli studenti di annotarlo negli appunti di teoria in coda al teorema di Pitagora “standard edition”. E che poi al quarto anno, quando finalmente si osa parlare di seno, coseno e tangente, dica a un certo punto agli studenti: “vi ricordate il teorema di Pitagora generalizzato?” … e – udite udite! – magari riesca anche a intavolare una mezz’ora di discussione su quale sia il legame tra le due versioni, geometrica e trigonometrica! Sarà un parere mio, da sognatori professionisti, ma sono quelle mezz’ore tutt’altro che perse, nelle quali agli studenti può improvvisamente aprirsi un mondo, una visione più profonda e più allargata della materia, non più da percepire come “quelle cose da studiare per domani, punto e basta” o “quelle formule che servono a risolvere i triangoli (ma rigorosamente solo quelli degli esercizi sul libro di testo)”.

E quindi a noi, ecco uno dei due esercizi (prossimamente pubblicati anche sul sito openprof.com):

TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO AI TRIANGOLI OTTUSANGOLI

In un triangolo ottusangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo ottuso è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati più il doppio del rettangolo che ha per dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell’altro su di esso.

Detto così, è terribile! Sono di aiuto una figura e un’enunciazione in formule:

disegno pitagora ottusi

L’enunciato dice che il quadrato costruito sul lato maggiore BC (quello opposto all’angolo ottuso) è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, più due volte il rettangolo che ha per dimensioni uno dei lati minori (ad esempio AC) e la proiezione su quest’ultimo del terzo lato (ovvero in questo caso il segmento AH, esterno ed adiacente ad AC).

Quindi in formule:

pitagora generalizz ottusi formula

L’esercizio consiste appunto nel dimostrare questa relazione.

Lo si ottiene facilmente applicando successivamente il teorema di Pitagora. Quindi lo lascio come esercizio. Fatemi sapere se serve aiuto, ma francamente non è per niente difficile.

Ebbene, riusciamo a riconoscere in questa formula il teorema di Carnot? Anche questo non è difficile affatto.

Arrivo a una rapida conclusione, ma prometto che ritorneremo sull’argomento. Solo una riflessione (ma correggetemi se sbaglio) su quanto poco viene ancora curata la corrispondenza pratica di concetti come le funzioni trigonometriche: l’applicazione ai triangoli è forse l’ultima cosa che si studia, dopo aver visto il grafico cartesiano e tutte le formule di trasformazione, fini a se stesse.

Non è consolante trovare un problema del biennio che già imposta una formula avanzata come quella di Carnot? Possiamo fare qualcosa per togliere a noi insegnanti l’imbarazzo di non saper rispondere alla sacrosanta domanda “a cosa serve”?

Con questo e in attesa dei vostri graditi commenti, un augurio di buon weekend

🙂

 

 

Santa pazienza!

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Restiamo sul tema Curriculum Inspirations #2, (http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf) da predigerire con meticolosa attenzione nella separazione degli aspetti degni di interesse.

Il primo è certamente quello dell’equazione con valori assoluti in due variabili proposta dal quesito:
|x+y|+|x-y|=2, di cui nell’ultimo post “Una funzione… quadrata”, http://wp.me/p2liCw-3I) abbiamo anticipato il grafico.

Stanton chiede per prima cosa: “che sensazione vi procura la vista di questa equazione?”
Ma noi non ci lasciamo impressionare.

La nostra reazione istintiva è semplicemente un ritroso “noooooo….”, dovuto a cosa?
Analizziamo freddamente:
– al fatto che ci sono i valori assoluti
– al fatto che ci sono due variabili
– al fatto che c’è una stuzzicante simmetria nella struttura dell’equazione, che promette artifici di calcolo e altre bizzarìe alle quali non riusciremo ad esimerci di sottoporci.

I valori assoluti.
Niente di che, c’è una semplice procedura standard per affrontarli. E’ solo lunga e potenzialmente noiosa. Fine.

Le due variabili.
Qui un appunto si, lo dobbiamo fare: chi ci ha mai abituato a lavorare con una sola equazione in due variabili? Ci mancano i riferimenti culturali di base: com’è fatto l’insieme delle soluzioni? Come lo si gestisce?
Reazione istintiva: Aiuto!! Ho un’equazione in due variabili, e niente con cui metterla a sistema!!

La stuzzicante simmetria.
E’ crudelissima, perchè ci stimola a cercare di affrontare l’equazione, ce la rende attraente, impedendoci di fuggire senz’altro indugio il fatidico quesito.

E’ a questo punto che scatta l’ingrediente segreto di ogni buon compito di matematica: la santa pazienza!
Armiamoci di santa pazienza, e – come dice Stanton – cominciamo a fare qualcosa.
Cosa?
Quello che normalmente si fa con i valori assoluti.
Esplicitiamo i diversi casi dei valori assoluti: si tratta di un’operazione puramente algebrica, e forse navigando nella nebbia di questa arriveremo anche a darci la risposta rispetto all’insieme delle soluzioni. Questa prassi di fiducia nella “leggibilità geometrica” del calcolo algebrico, in effetti va trasmessa agli studenti, poichè non è affatto istintiva nè scontata.
La vera lezione, ripetiamo, è la santa pazienza:
Esplicitiamo dunque le 2×2=4 equazioni in cui si scompone il valore assoluto a seconda dei casi:

Caso x+y>=0 e x-y>=0: l’equazione diventa (x+y)+(x-y)=2, ovvero 2x=2, ovvero x=1 …. wow!

Caso x+y>=0 e x-y<0: l’equazione diventa (x+y)+(y-x)=2 ovvero y=1 …. wow wow!

Caso x-y>=0 e x+y <0 : l’equazione diventa -(x+y)+(x-y) =2 ovvero y=-1

Caso x-y < 0 e x+y < 0 : l’equazione diventa -(x+y)-(x-y)=2, ovvero x=-1

Fino a qui, tutto bene: abbiamo ottenuto espressioni semplici: siamo galvanizzati e fiduciosi… ma allora cos’è questo senso di disagio che ancora ci vàriega?

Ma certo: siamo a disagio rispetto agli insiemi di validità delle quattro espressioni.

Allora, riprendiamo dalla cassetta degli attrezzi la santa pazienza e cominciamo ad analizzare il primo:

x+y>=0 e x-y>=0

anche qui le reazioni istintive ci tempestano immediatamente:
domanda 1: ma è possibile che siano vere contemporaneamente queste due espressioni? (Risposta: “lo scopriremo solo vivendo…”, ovvero, portando i calcoli fino in fondo)
domanda 2: ma come si gestisce una disequazione in due variabili? (Risposta lunga: se un’equazione in due variabili ha come insieme delle soluzioni una funzione con un grafico, la disequazione in due variabili avrà come insieme delle soluzioni la parte di piano soprastante o sottostante quel grafico. Risposta breve: la si risolve graficamente)

Quindi evviva, risolviamo graficamente!
… Come si fa?
Riprendiamo la risposta lunga alla domanda 2 e trasformiamola in procedura operativa:
1) Trovare le equazioni associate.
In questo caso sono x+y=0 (ovvero y=-x, bisettrice del II e IV quadrante) e x-y=0 (ovvero y=x, bisettrice del I e III quadrante).
2) Intersecare le parti del piano soprastanti i grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione “>=0” o sottostanti ai grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione <0.

Ma attenzione: quando consideriamo la disequazione, dobbiamo verificare che la sua forma corrisponda a quella dell’equazione associata, altrimenti rischiamo di sbagliare. Ad esempio, nel nostro primo caso la seconda disequazione è x-y >= 0 mentre la nostra equazione in forma esplicita è y=x : i segni delle y non corrispondono. Per poter valutare correttamente il semipiano da considerare nella risoluzione grafica, converrà portare la disequazione nella stessa forma esplicita dell’equazione associata, e visto che y era negativa, il verso della disequazione deve cambiare. Otterremo: y <= x, quindi il semipiano da considerare sarà quello sottostante e non soprastante il grafico dell’equazione.

E ci voleva tanto?

No, solo un po’ di tempo, calma e concentrazione per dedicarsi a questo in modo esclusivo.

Quindi, nel primo caso, intersechiamo il semipiano soprastante la bisettrice del II-IV quadrante con il semipiano sottostante (mi raccomando!!) la bisettrice del I-III quadrante. Otteniamo l’angolo retto compreso tra le due bisettrici contenente il semiasse x positivo.
L’insieme di validità della seconda equazione sarà invece l’angolo tra le due bisettrici contenente il semiasse y positivo. E così via fino a ricomporre tutti e quattro gli spicchi del quadrato.

Passarci un po’ di tempo, vale davvero la pena!

Una funzione… quadrata

Proseguiamo la conversazione sul secondo esercizio svolto della serie “Curriculum Inspirations” a cura di James Stanton, pubblicata dalla Mathematical Association of America al link http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf

Nel precedente post abbiamo introdotto questa proposta didattica con alcune doverose osservazioni più generali.

Oggi vorremmo invece prendere spunto dal lavoro di Stanton per proporre un approccio questa volta un po’ diverso dal suo e più vicino invece ai principii ispiratori della cosiddetta “didattica breve”, la quale – ricordiamo – è definita dal suo ideatore come “il complesso di tutte le metodologie che, agli obiettivi della didattica tradizionale (rispetto del rigore scientifico e dei contenuti delle varie discipline), aggiunge anche quello della drastica riduzione del tempo necessario al loro insegnamento e al loro apprendimento”.

Quello che sembra infatti mancare questa volta all’esposizione di Stanton è proprio quella “distillazione dei contenuti” che permetta innanzitutto all’insegnante-animatore della discussione” di condurre quest’ultima in modo da arrivare eventualmente anche in modo rapido all’obiettivo.

Capita infatti spesso che gli studenti – o lo stesso insegnante – abbiano intuizioni magari istintive, imprecise o che non sarebbero capaci di giustificare con rigore dal punto di vista teorico, ma che sono già molto vicine al centro del problema, e soltanto per la mancanza di un’adeguata riflessione preventiva tali intuizioni vengano accantonate oppure usate in modo del tutto inefficace rispetto all’obbiettivo di giungere rapidamente al cuore non solo della risoluzione del problema ma anche della riflessione sulla struttura sottostante.

Soprattutto nel caso di un problema come quello proposto in questo #2 – la discussione di un’equazione con valori assoluti in due variabili – partire dalla soluzione per ricostruire il “percorso breve” che la congiunge con intelligenza e con tutte le soddisfazioni del caso al quesito iniziale è davvero indispensabile per chi poi voglia avventurarsi a proporre tale argomento in classe.

Certo, toglieremo tutta la suspence. Certo, ripuliremo di quell’analisi psicologica ben dipinta da Stanton, più preoccupato forse questa volta, insisto, di procurare “anestesie” per i dolori delle valutazioni nazionali che non di dare indicazioni efficaci ad un corretto uso dell’unità didattica.

Perdendosi invece un’altra analisi psicologica possibile: quella della sorpresa che può suscitare la scoperta che da un’equazione “quadrata” e spigolosa come questa:
|x+y|+|x-y|= L
si possa dedurre un grafico altrettanto spigoloso e “quadrato”: quello per la precisione di un quadrato centrato nell’origine e di lato L.

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Introdurre un’unità didattica di questo tipo, tradendo per una volta la fedeltà al format “vi propongo il quiz dell’American Mathematical Competition”, può essere molto più produttivo, aiuta ad affrontare il tabù delle “non funzioni” che incombe sulla nostra didattica della matematica, allargando l’orizzonte alla considerazione del vasto mondo delle equazioni in due variabili e del loro grafico, di cui con un certo imbarazzo gli studenti hanno affrontato soltanto i casi dell’ellisse, dell’iperbole e naturalmente della circonferenza.

Secondo me vale la pena, e l’argomento è decisamente “to be continued”

7 e dintorni

Ogni numero ha il suo fascino.
E il numero 7 è un numero di importanza simbolica fondamentale per chi è sensibile alla scienza tradizionale: è il numero dei giorni della Creazione, e quindi il numero dei giorni della settimana, in tutte le Tradizioni abramiche. E’ il numero delle Virtù, cardinali e teologali, della dottrina cristiana. E’ il primo dei numeri primi a non essere contenuto nelle dita di una mano. Ricorre anche nella Tradizione Indù, dove si menzionano i sette Rishi, i sette saggi immortali dei primordi dell’Umanità.
Per chi ama la geometria, il fascino del numero sette va ancora oltre: si scopre infatti che l’ettagono è uno dei poligoni che si possono costruire con riga e compasso.
E la costruzione è semplice: risulta infatti che il lato dell’ettagono regolare inscritto in un cerchio equivale con ottima approssimazione alla metà del lato del triangolo equilatero inscritto. Per creare uno slogan d’effetto, potremmo dire che nel mondo dei poligoni inscritti, 3×2=7 !
Dall’enciclopedia islamica, eccoci riportata una “ricetta” per la costruzione dell’ettagono attribuita al grande architetto iraniano del X secolo Abou-l-Wafa al-Mohandes (Abou-l-Wafa l’Architetto).
Nella sua opera “sulla matematica che serve agli artigiani”, Abou-l-Wafa ben distingue tra indagine filosofica della matematica e applicazioni pratiche. La sua costruzione dell’ettagono regolare, sebbene dia soltanto una soluzione approssimata, oggi diremmo che ha un eccellente rapporto facilità di esecuzione / accuratezza dell’approssimazione. Proprio quello che serve a chi la matematica la deve trasformare in oggetti da vedere e da toccare!

fonte: islamicencyclopedia.org

fonte: islamicencyclopedia.org

Fase 1: RESPIRARE PROFONDAMENTE E RILASSARSI

Ecco il primo esercizio proposto nella raccolta “Curriculum Inspirations”.
Le “fasi di lavoro” proposte per risolvere il problema, oltre a consigli strettamente matematici ne riportano di molto utili e squisiti, come quello di “respirare profondamente e rilassarsi”, ma anche di “sentirsi liberi di ridisegnare la figura variandone i dettagli, a patto di non alterare i dati del problema”.
Insomma, gestire attivamente l’esercizio piuttosto che subirlo. E’ il primo passo verso una conquista.

Interessante anche la scaletta proposta per l’analisi del problema da discutere con la classe nell’ottica del problem solving:

inspirations2

Un modo per far organizzare le idee ai ragazzi, ma anche un’ottima prassi per organizzare le proprie idee prima di proporre un esercizio in classe, avendo chiaro ogni aspetto che dev’essere padroneggiato e ogni sviluppo che si può far seguire.

http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay1.pdf

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