L’astroide che voleva farsi trovare

spoilerando, come di consueto, il finale…

Se siete in cerca di figure geometriche nuove, loghi intriganti o anche solo scacciapensieri geometrici, andate su Geogebra, disegnate un oggetto a caso, dategli un’espressione parametrica, attivate lo strumento “Mostra traccia”, avviate uno slider per il parametro e state a vedere cosa succede… (alzi la mano chi non usa Geogebra e non sa di cosa sto parlando!).

Ad esempio, dopo che in questo recente articolo mi ero occupata dell’equazione parametrica dell’ellisse di dato centro e assi, affascinata dal vedere come si muovono le coordinate S_1 e S_2 del punto S scorrevole sull’ellisse, mi è venuto in mente di attivare lo strumento “Mostra traccia” (cliccare sull’oggetto per selezionarlo – poi pulsante destro del mouse – poi selezionare “Mostra traccia” nel menù che appare; salvo manutenzioni del programma, di solito funziona e molto bene). Naturalmente ho immortalato il risultato nel solito minivideo che qui presento

l’Astroide come curva inviluppo usando la funzione “mostra traccia” su Geogebra

La figura che vien fuori dalla sovrapposizione delle tracce è ben nota e si chiama Astroide, è un tipico esempio di curva di inviluppo ovvero di curva formata – come in questo caso – da una famiglia di rette (non parallele tra di loro e non passanti tutte per uno stesso punto, ma in qualche altro modo legate da una relazione parametrica) che ne rappresentano le tangenti. In altre parole, la curva Astroide è tale che in ogni suo punto, la retta tangente alla curva contiene un segmento S_{1}S_{2} di quelli generati dal punto S variabile sull’ellisse, e viceversa ognuno dei segmenti S_{1}S_{2} appartiene a una qualche retta tangente all’Astroide.

Per ottenere l’equazione parametrica dell’astroide in funzione del parametro s, è quindi sufficiente applicare la regola generale che permette di calcolare l’equazione della curva inviluppo conoscendo la famiglia delle rette tangenti, in funzione di un dato parametro.

Senza dare qui la dimostrazione, ricordiamo che tale regola prevede di mettere a sistema le due equazioni:

F(x,y,s)=0

F_s(x,y,s)=0

dove la prima equazione è l’espressione della famiglia di rette in funzione di x, y e s, scritta in forma implicita, mentre la seconda equazione rappresenta la derivata parziale rispetto al parametro s uguagliata a 0.

Nel nostro caso, ricordando l’espressione di x(S) e y(S) che abbiamo illustrato in questo articolo, chiamando a e b i semiassi maggiore e minore e considerando che il centro è nell’origine, abbiamo:

S_1 = (a\cos(s),0)

S_2 = (0,b\sin(s))

Per trovare l’equazione parametrica della generica retta tangente, osservo innanzitutto che il segmento S_{1}S_{2} è sempre inclinato rispetto all’asse x di un angolo supplementare rispetto all’angolo s (e incidentalmente, anche se questo dato non ci servirà, notiamo che la lunghezza di S_{1}S_{2}, in corrispondenza di ogni punto S è pari al raggio variabile OS dell’ellisse), come si può verificare facilmente con l’aiuto della figura:

In ogni punto S dell’ellisse, il segmento S_{2}S_{2} è la seconda diagonale del rettangolo di diagonale OS

Questo significa che il coefficiente angolare di S_{1}S_{2} sarà in ogni punto pari a -\frac{b}{a} \tan{s}

La generica retta della famiglia con parametro s, contenente il segmento S_{1}S_{2} avrà quindi equazione:

\displaystyle{ y = -\frac{b}{a} \tan{s}\left( x - a \cdot \cos{s} \right) }

(Ho usato la formula della retta passante per un punto, con punto base S_1 e coefficicente angolare -\frac{b}{a}\tan{s} ).

Abbiamo quindi

\displaystyle{ F \left( x,y,s \right) =  y + \frac{b}{a} \tan{s} \left( x - a \cdot \cos{s} \right)}

ovvero

\displaystyle{  F \left( x,y,s \right) =  y + \frac{b}{a} \tan{s} \cdot x - b \cdot \sin{s}}

mentre la derivata parziale rispetto a s prende l’espressione

\displaystyle{ F_s \left( x,y,s \right) =  \frac{b}{a \cos{s}^2}\cdot x - b \cdot \cos{s}}

Per trovare l’equazione della nostra curva astroide dovremo quindi mettere a sistema le due equazioni:

\displaystyle{    y + \frac{b}{a}  \tan{s} \cdot x - b \cdot \sin{s}=0}

e

\displaystyle{\frac{b}{a \cos{s}^2}\cdot x - b \cdot \cos{s}=0 }

Svolgendo i calcoli

Dalla seconda equazione otteniamo un’espressione per l’ascissa:

x = a \cdot \cos^3{s}

e sostituendo nella prima otteniamo

y = b\cdot \sin{s} \cdot \left( 1 - \cos^2{s}\right )

ovvero

y = b \cdot \sin^3{s}

In definitiva il punto R del nostro astroide, al variare di s avrà coordinate:

R = \left( a \cdot \cos^3{s}, b \cdot \sin^3{s} \right)

E incrociando le dita…

Per verificare se i nostri calcoli sono corretti, creiamo un punto R su Geogebra con tali coordinate e vediamo come si comporta rispetto all’Astroide:

Ehi, a quanto pare funziona!

#astroide #inviluppo #ellisse #bellafigura

Ellisse e moti oscillatori: che bella combinazione!

spoilerando subito il finale…

Unire diverse materie in una visione interdisciplinare non fa mai troppo male. Eccoci quindi a intersecare coniche, equazioni parametriche, funzioni trigonometriche e moto oscillatorio per parlare dell’ellisse (o dei moti oscillatori) da una prospettiva un po’ diversa dal solito.

In questo precedente articolo abbiamo visto che forma prende l’equazione parametrica di un cerchio. Oggi scopriamo l’equazione parametrica dell’ellisse, che è molto simile salvo il diverso ruolo dei due semiassi maggiore e minore nella formazione delle coordinate x e y del punto generico S.

In particolare, si trova che per una ellisse di centro O, asse maggiore BD e asse minore AC come quella nella figura a inizio articolo, l’equazione parametrica del punto generico S il cui raggio OS forma un angolo s con l’asse x, ha equazione (in linguaggio Geogebra):

S = (x(O)+0.5 Distanza(B,D) cos(s), y(O) + 0.5 Distanza(A,C) sin(s))

dove 0.5 Distanza(B,D) rappresenta la misura del semiasse maggiore, e analogamente 0.5 Distanza(A,C) rappresenta la misura del semiasse minore.

Si può facilmente notare che l’unica differenza strutturale tra l’equazione parametrica dell’ellisse e quella del cerchio sta nel fatto che l’ascissa oscilla in un range di valori dipendenti dalla misura dell’asse maggiore BD mentre l’ordinata oscilla in un range di valori dipendenti dalla misura dell’asse minore AC, mentre nel caso del cerchio entrambe le coordinate oscillano in un range di valori dipendenti dal “semiasse” unico e uguale per le due coordinate, rappresentato dal raggio del cerchio.

Interessante visualizzare separatamente il comportamento delle due coordinate del punto S al variare dell’angolo s tra - \pi e \pi. Aiutiamoci con due “riprese” da Geogebra:

moto oscillatorio della ascissa del punto S al variare di s tra - \pi e \pi
moto oscillatorio dell’ordinata del punto S al variare di s tra - \pi e \pi

Io trovo tutto questo molto interessante: la traiettoria ellittica è una combinazione di due moti oscillatori perpendicolari di ampiezza diversa e ovviamente di pari periodo. Il risultato della “combinazione” in questo terzo e ultimo mini-video

oscillazione delle coordinate x e y lungo l’ampiezza dei due semiassi, al variare di s tra - \pi e \pi

Come si suol dire in questi casi: “Semplice coincidenza? Io non credo!”. A voi recuperare la fonte di questa perla di saggezza testé citata.

#buonadomenica #oggileconiche #oscillatorio #ellisse #parametri

Equazione parametrica dei punti di un triangolo ABC (conoscendo i vertici)

Uscendo dalla retorica dell’enumerazione (eravamo arrivati a “11 cose” in questo precedente articolo), mi resta però nella penna, anzi tra le dita e la tastiera un’ultima cosa che si può fare conoscendo i vertici A, B e C di un triangolo, ovvero, scrivere l’equazione parametrica di un qualunque punto interno al triangolo o appartenente al bordo della figura.

Riprendiamo quindi il nostro triangolo ABC di vertici (x_A;y_A), (x_B;y_B), (x_C;y_C) come in figura (quella lassù). Per cominciare…

Inseriamo un primo parametro t.

Per descrivere tutti i punti del triangolo ABC a partire dalle coordinate dei vertici, ci serviranno due parametri lineari, che chiameremo t ed s e che faremo variare fra 0 e 1.

Il primo parametro t servirà a individuare un punto T appartenente al lato BC del triangolo, tramite la ben nota formula:

T((1-t)x_B+tx_C;(1-t)y_B+y_C) \ \ t\in\left[ 0,1 \right]

Tramite il parametro T siamo quindi in grado di descrivere tutti i possibili punti del segmento BC, compresi gli estremi B (corrispondente a t=0) e C (corrispondente a t=1).

Ampliare gli orizzonti

Una volta individuato il punto T, è individuato anche il segmento AT che congiunge T al primo vertice del triangolo.

Al variare di T (ovvero al variare del parametro t fra 0 e 1), il segmento AT copre tutti i punti del triangolo ABC.

Introduciamo il secondo parametro s

Se tutti i possibili segmenti AT esauriscono i punti del triangolo (sia interni sia appartenenti al bordo), sarà sufficiente parametrizzare ciascun segmento AT con l’aiuto di un secondo parametro s, sempre variabile fra 0 e 1 (estremi compresi). Avremo:

S_T((1-s)x_A+sx_T;(1-s)y_A+sy_T)\ \ s\in\left[ 0,1 \right]

Al variare di t tra 0 e 1, il segmento AT varierà in questo modo:

https://youtu.be/1h83LVDZQUc

mentre al variare di s la dinamica sarà la seguente:

https://youtu.be/KuU2Dh8JbkQ

Quindi ci siamo!

Con i due parametri indipendenti t ed s, e le coordinate dei punti A, B e C, siamo in grado di descrivere tutti e soli i punti del triangolo ABC.

#continua #tobecontinued #lasciailtuocommento #grazie

Una parola al giorno – Omotetia

«Una parola al giorno», quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo per comunicare senza frontiere persino la matematica!

Oggi parliamo di omotetìa, concetto che estende quello di isometria comprendendolo come caso particolare.

180424Glossario-Omotetia

L’etimologia nelle lingue europee, dal greco ὁμός, «uguale, simile» e ϑετός, «collocato», chiarisce il senso del concetto matematico: due figure sono omotetiche se le loro parti sono «collocate in modo simile» le une rispetto alle altre, ovvero se sono rispettate le proporzioni fra le parti corrispondenti delle due figure.

In modo informale, si può descrivere l’omotetia come un ingrandimento o rimpicciolimento della figura; concetto strettamente legato è quello di similitudine, di cui l’omotetia indica il tipo di relazione o di funzione applicata per ottenerla.

L’arabo munâsabah (a lunga e nessuna enfatica; l’ultima h è ortografica e indica il femminile o il neutro), dalla radice n-s-b che ha il significato generale di proporzione, deriva dalla sesta forma verbale che relativamente a questa radice assume il significato di «essere in rapporto l’uno con l’altro», «armonizzare», «collimare», «essere conforme a qualcosa».

Troveremo ancora spesso questa radice, anche legata a logaritmi, percentuali e a tutto il linguaggio delle proporzioni.

#approfondiremo #staytuned #unaparolaalgiorno

Una parola al giorno – Punto medio

«Una parola al giorno»: quattro lingue con permesso di soggiorno euro-mediterraneo, per comunicare piacevolmente persino la matematica!

Cominciamo ad addentrarci negli oggetti utili della geometria, dal mondo delle idee a quello delle applicazioni. Per quanto è concesso a noi matematici. Oggi parliamo infatti di punto medio: non è quindi più un punto qualunque, un che di puramente astratto che vive nelle alte sfere dei concetti primitivi; il punto medio comunica qualcosa di molto concreto riguardo a se stesso.

Prima di tutto, appartiene a una figura – più precisamente a un segmento. Ma c’è di più: non si tratta di un punto qualunque del segmento; è anzi un punto molto speciale. Quello che divide il segmento in due parti tra di loro congruenti, ovvero della stessa misura. La costruzione con riga e compasso del punto medio di un segmento è capacità di base da non smettere di insegnare con scrupolo e pazienza: è una delle piccole cose belle della vita, un assaggio di perfezione alla portata di bambini e ragazzi. Mi raccomando, fatevi aiutare dal prof di educazione tecnica ma non la trascurate!

E veniamo alle nostre quattro lingue euro-mediterranee: oggi niente etimologie, gustiamocele così come sono.

Glossario-Punto medio

Mi piace il senso pratico dell’inglese che impacchetta tutto in un’unica parola; la finezza del francese che giustappone milieu come l’arabo utilizzerebbe lo stato costrutto, lo spagnolo, sulla carta indistinguibile dall’italiano, l’arabo senza eccezioni interne: wasTa è della stessa radice di wasaT che significa centro in tutte le accezioni più o meno letterali (per intenderci, anche il centro della città). Il tutto determinato dall’articolo al– poichè il punto medio è uno e univocamente determinabile con certezza, una volta definito il segmento per il quale ha tale funzione.

Ma per non lasciarvi, come si suol dire, con il niente incartato, ecco un breve promemoria, catturato da geogebra, sulla costruzione del punto medio di un segmento AB. Il video è un po’ artigianale, ma rende l’idea.

Lasciate i vostri commenti se ne avete.

#ditelavostra #unaparolaalgiorno

Immagina… puoi!

Spunti per giocare con i numeri, con le immagini, per animare una discussione in classe… in quanti modi si può usare una foto per una lezione di matematica?
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