Ellisse e moti oscillatori: che bella combinazione!

spoilerando subito il finale…

Unire diverse materie in una visione interdisciplinare non fa mai troppo male. Eccoci quindi a intersecare coniche, equazioni parametriche, funzioni trigonometriche e moto oscillatorio per parlare dell’ellisse (o dei moti oscillatori) da una prospettiva un po’ diversa dal solito.

In questo precedente articolo abbiamo visto che forma prende l’equazione parametrica di un cerchio. Oggi scopriamo l’equazione parametrica dell’ellisse, che è molto simile salvo il diverso ruolo dei due semiassi maggiore e minore nella formazione delle coordinate x e y del punto generico S.

In particolare, si trova che per una ellisse di centro O, asse maggiore BD e asse minore AC come quella nella figura a inizio articolo, l’equazione parametrica del punto generico S il cui raggio OS forma un angolo s con l’asse x, ha equazione (in linguaggio Geogebra):

S = (x(O)+0.5 Distanza(B,D) cos(s), y(O) + 0.5 Distanza(A,C) sin(s))

dove 0.5 Distanza(B,D) rappresenta la misura del semiasse maggiore, e analogamente 0.5 Distanza(A,C) rappresenta la misura del semiasse minore.

Si può facilmente notare che l’unica differenza strutturale tra l’equazione parametrica dell’ellisse e quella del cerchio sta nel fatto che l’ascissa oscilla in un range di valori dipendenti dalla misura dell’asse maggiore BD mentre l’ordinata oscilla in un range di valori dipendenti dalla misura dell’asse minore AC, mentre nel caso del cerchio entrambe le coordinate oscillano in un range di valori dipendenti dal “semiasse” unico e uguale per le due coordinate, rappresentato dal raggio del cerchio.

Interessante visualizzare separatamente il comportamento delle due coordinate del punto S al variare dell’angolo s tra - \pi e \pi. Aiutiamoci con due “riprese” da Geogebra:

moto oscillatorio della ascissa del punto S al variare di s tra - \pi e \pi
moto oscillatorio dell’ordinata del punto S al variare di s tra - \pi e \pi

Io trovo tutto questo molto interessante: la traiettoria ellittica è una combinazione di due moti oscillatori perpendicolari di ampiezza diversa e ovviamente di pari periodo. Il risultato della “combinazione” in questo terzo e ultimo mini-video

oscillazione delle coordinate x e y lungo l’ampiezza dei due semiassi, al variare di s tra - \pi e \pi

Come si suol dire in questi casi: “Semplice coincidenza? Io non credo!”. A voi recuperare la fonte di questa perla di saggezza testĂŠ citata.

#buonadomenica #oggileconiche #oscillatorio #ellisse #parametri

Equazione parametrica del cerchio

In questo piccolo blog formato minimal, portiamo al microscopio piccoli frammenti delle strutture matematiche, possibilmente una alla volta, tipo “pezzi di ricambio” per chi si fosse perso per strada qualche cosa.

Ad esempio, a proposito di equazioni parametriche mi è venuto in mente che forse può interessare un flash-post sull’equazione parametrica di un cerchio di centro A (x(A),y(A)) – sto usando il linguaggio Geogebra – e raggio pari alla distanza tra il punto A e il punto B che in Geogebra si scrive Distanza(A,B).

Con i potenti mezzi tecnici a mia disposizione, ho creato una piccola animazione (perchè “video” è una parolona in questo caso!) per illustrare come funziona la formula parametrica per le coordinate del generico punto T sulla circonferenza, la quale, sempre in linguaggio Geogebra, è data da:

T= (x(A)+Distanza(A,B)cos(s), y(A)+Distanza(A,B)sin(s))

essendo s l’angolo formato dal raggio AT con l’asse delle x.

Nella animazione qui di seguito, si può vedere la traiettoria del punto T che disegna la circonferenza, al variare di s tra - \pi e \pi.

geogebrando...

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