Equazione parametrica dei punti di un triangolo – approfondimenti e verifiche

In questo articolo di ieri abbiamo introdotto l’equazione parametrica dei punti di un triangolo in funzione dei vertici noti A, B e C, con l’aiuto di due parametri s e t variabili entrambi fra 0 e 1, estremi compresi.

Per completare l’esposizione, cerchiamo di dare una forma più semplice e ordinata all’espressione finale che abbiamo trovato, ovvero:

S_T((1-s)x_A+sx_T;(1-s)y_A+sy_T)\ \ s\in\left[ 0,1 \right], t \in\left[ 0,1 \right]

Ricordando le espressioni di x_T e di y_T, ovvero

  • x_T = (1-t)x_B+tx_C
  • y_T = (1-t)y_B+ty_C

entrambi con t\in\left[ 0,1 \right], possiamo sostituire tali espressioni nella formula per le coordinate di S_T.

Sostituendo e svolgendo i calcoli otteniamo, con opportuni raccoglimenti:

  • x_S = x_A - s(x_A-x_B)-st(x_B-x_C)
  • y_S = y_A - s(y_A-y_B)-st(y_B-y_C)

Facendo variare in modo indipendente i due parametri s e t, ciascuno nell’intervallo continuo \left[ 0,1 \right], restano individuati tutti i possibili punti del triangolo ABC, bordi compresi.

Una interessante verifica

Possiamo fare qualche verifica per controllare che le formule scritte sopra ce la stiano raccontando giusta.

La più interessante, anche per il raccordo che permette con la geometria “pura” (ovvero non analitica), consiste nel verificare se il baricentro “geometrico”, quello che sta sulla mediana di un lato, a due terzi della lunghezza della mediana, corrisponde effettivamente con il baricentro “analitico” che in un precedente articolo abbiamo trovato applicando proprio tale proprietà come condizione sulle coordinate.

Proviamo quindi a porre nella nostra formula i valori t = 1/2 (ovvero, T punto medio del lato BC) e s=2/3 (ovvero, S punto che divide la mediana in segmenti di proporzione 2/3 : 1/3); vediamo cosa succede:

Otteniamo

  • x_S = x_A - \frac{2}{3}(x_A-x_B)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(x_B-x_C)
  • y_S = y_A - \frac{2}{3}(y_A-y_B)- \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} (y_B-y_C)

da cui

  • x_S = x_A - \frac{2}{3}x_A+\frac{2}{3} x_B-\frac{1}{3}x_B+ \frac{1}{3} x_C
  • y_S = y_A - \frac{2}{3}y_A+\frac{2}{3} y_B-\frac{1}{3}y_B+ \frac{1}{3} y_C

Raggruppando i termini simili e svolgendo i calcoli otteniamo

  • x_S =  \frac{1}{3} x_A + \frac{1}{3} x_B+\frac{1}{3} x_C
  • y_S =  \frac{1}{3} y_A + \frac{1}{3} y_B+\frac{1}{3} y_C

ovvero proprio quello che stavamo cercando: il punto S trovato rappresenta la media aritmetica delle coordinate dei vertici, quindi proprio il baricentro come l’abbiamo individuato in questo precedente articolo.

#cvd #cdd #csd #comesperavasidimostrare

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