Equazione parametrica dei punti di un triangolo ABC (conoscendo i vertici)

Uscendo dalla retorica dell’enumerazione (eravamo arrivati a “11 cose” in questo precedente articolo), mi resta però nella penna, anzi tra le dita e la tastiera un’ultima cosa che si può fare conoscendo i vertici A, B e C di un triangolo, ovvero, scrivere l’equazione parametrica di un qualunque punto interno al triangolo o appartenente al bordo della figura.

Riprendiamo quindi il nostro triangolo ABC di vertici (x_A;y_A), (x_B;y_B), (x_C;y_C) come in figura (quella lassù). Per cominciare…

Inseriamo un primo parametro t.

Per descrivere tutti i punti del triangolo ABC a partire dalle coordinate dei vertici, ci serviranno due parametri lineari, che chiameremo t ed s e che faremo variare fra 0 e 1.

Il primo parametro t servirà a individuare un punto T appartenente al lato BC del triangolo, tramite la ben nota formula:

T((1-t)x_B+tx_C;(1-t)y_B+y_C) \ \ t\in\left[ 0,1 \right]

Tramite il parametro T siamo quindi in grado di descrivere tutti i possibili punti del segmento BC, compresi gli estremi B (corrispondente a t=0) e C (corrispondente a t=1).

Ampliare gli orizzonti

Una volta individuato il punto T, è individuato anche il segmento AT che congiunge T al primo vertice del triangolo.

Al variare di T (ovvero al variare del parametro t fra 0 e 1), il segmento AT copre tutti i punti del triangolo ABC.

Introduciamo il secondo parametro s

Se tutti i possibili segmenti AT esauriscono i punti del triangolo (sia interni sia appartenenti al bordo), sarà sufficiente parametrizzare ciascun segmento AT con l’aiuto di un secondo parametro s, sempre variabile fra 0 e 1 (estremi compresi). Avremo:

S_T((1-s)x_A+sx_T;(1-s)y_A+sy_T)\ \ s\in\left[ 0,1 \right]

Al variare di t tra 0 e 1, il segmento AT varierà in questo modo:

https://youtu.be/1h83LVDZQUc

mentre al variare di s la dinamica sarà la seguente:

https://youtu.be/KuU2Dh8JbkQ

Quindi ci siamo!

Con i due parametri indipendenti t ed s, e le coordinate dei punti A, B e C, siamo in grado di descrivere tutti e soli i punti del triangolo ABC.

#continua #tobecontinued #lasciailtuocommento #grazie

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