Di equazioni cubiche, di trisezione degli angoli e di soluzioni positive (e un omaggio a Omar Khayyam)

Interno del mausoleo di Omar Khayyam a Nishapur - Iran (Wikimedia Commons)
Interno del mausoleo di Omar Khayyam a Nishapur – Iran (Wikimedia Commons)

Omar Khayyam, poeta, astronomo e matematico, autore del più preciso calendario solare “mai utilizzato” (proprio così!), inventore della soluzione grafica di equazioni cubiche e quartiche in un’epoca in cui non c’erano nemmeno gli assi cartesiani, si sente spesso accusare del fatto che sì, il metodo era ottimo, peccato che lui trascurasse le soluzioni negative.

Quest’ultimo appunto ha di solito la duplice funzione, da una parte di sminuire o almeno relativizzare l’apporto precoce del mondo islamico-persiano-arabo del medioevo (Khayyam vive tra l’XI e il XII secolo dell’era Cristiana) a una matematica che in Europa comincia a camminare sulle sue gambe pochi decenni dopo il nostro, con Leonardo Fibonacci nel XIII secolo, e dall’altra di insinuare – quando non esplicitamente “dichiarare” – una presunta arretratezza culturale dell’Islam, che nell’immaginario dei non avvezzi alla religione avrebbe avuto interesse a “moralizzare” persino il “più” rispetto al “meno” dei numeri (retaggio piuttosto – eventualmente – della funzione simbolica dei numeri nell’area greco-platonica, e comunque anche in quel caso sicuramente malcompreso e mal ricucinato), quando paradossalmente fu proprio Khayyam, tra le tante sue mirabili opere, a introdurre i numeri negativi, perlomeno con una trattazione per iscritto.

Questa premessa per introdurre un altro dei problemi che ancora oggi arrovellano la matematica centro-asiatica e persiana, ovvero quello della trisezione dell’angolo. Ancora oggi vi è chi cerca un metodo “con squadra e compasso” per risolvere tale problema geometrico, mentre una soluzione più “khayyamiana”, almeno nello spirito, avrebbe potuto essere di tipo numerico: partendo dall’angolo x, scrivere la funzione sen(3x) come sen(x+2x) e usando le formule della goniometria (che nel caso aveste dei dubbi a riguardo, erano state ampiamente sviluppate da matematici-architetti persiani come Abu-l-Wafa già un paio di secoli prima) ricavare sen(x) in funzione di sen(3x).

Come esercizio sulle formule di addizione e duplicazione, sembra carino…

Tra l’altro questo è un modo per fare esercizi sulle formule goniometriche inserendoli in un contesto, invece di spiattellarli a casaccio in un elenco numerato e senz’anima, nella sezione “esercizi” di un qualche spietato libro di testo di trigonometria di quelli “vecchio stile”.

Ma comunque – proviamo a cimentarci, vediamo cosa vien fuori.

La formula di sen(3x)

Questo è un esercizio che si fa di solito, poco dopo aver introdotto le ben note

Formule di duplicazione

  • \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}
  • \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}

(in realtà per il coseno di 2x ci sono anche altre formule equivalenti, ma noi useremo quella scritta qui sopra).

Per arrivare al seno e al coseno di 3x, useremo le formule di duplicazione scritte sopra all’interno di un’altra ben nota espressione, ovvero una delle

Formule di addizione e sottrazione

Scriviamole tutte, per il seno e per il coseno, anche se poi utilizzeremo soltanto la formula di addizione del seno. Ricordiamo che si ha:

  • \sin{(a+b)} = \sin{a}\cos{b} + \cos{a}\sin{b}
  • \sin{(a-b)} = \sin{a}\cos{b} - \cos{a}\sin{b}
  • \cos{(a+b)} = \cos{a}\cos{b} - \sin{a}\sin{b}
  • \cos{(a-b)} = \cos{a}\cos{b} + \sin{a}\sin{b}

Scrivendo 3x come x + 2x …

possiamo quindi utilizzare le formule di addizione e quelle di duplicazione insieme, ottenendo l’espressione

\sin{3x} = \sin{(x+2x)} = \sin{x}\cos{2x} + \cos{x}\sin{2x}

ovvero

\sin{3x} = \sin{x}\displaystyle{( 1 - 2\sin^2{x})} + \cos{x}\displaystyle{( 2\sin{x}\cos{x})}

Andando avanti con i calcoli e le semplificazioni otteniamo

\sin{3x} = \sin{x} - 2\sin^3{x} + 2\sin{x}\cos^2{x}

da cui

\sin{3x} = \sin{x} - 2\sin^3{x} + 2\sin{x}\displaystyle{(1-\sin^2{x})}

Svolgendo i calcoli, raccogliendo i termini simili e riordinando…

otteniamo

4\sin^3{x} - 3\sin{x} + 3K = 0

dove per comodità abbiamo chiamato 3K il seno di 3x, che nell’equazione rappresenta un parametro noto.

Dividendo tutta l’espressione per 3, isolando il termine al cubo e chiamando per comodità s il seno di x da trovare…

otteniamo

\frac{4}{3}s^3 = s - K

“Oggi le cubiche”

Abbiamo dunque trovato un’equazione cubica, e la scriviamo nel modo indicato sopra non tanto per toglierci il fastidio dei segni meno (e chi non lo fa?), ma perchè in questo modo la possiamo leggere come intersezione di una cubica semplice (al primo membro) con una retta parallela alla bisettrice del I e III quadrante (al secondo membro).

Un bel metodo ricorsivo qui ci sta proprio bene

Che Khayyam usasse metodi ricorsivi per calcolare è quasi certo, visto che il suo metodo di calcolo della durata dell’anno diventa estremamente semplice se si considerano le frazioni continue, e come abbiamo accennato in un precedente articolo, le frazioni continue sono legate a doppio filo ai metodi ricorsivi. E d’altra parte non essendo ancora in uso gli assi cartesiani, la “risoluzione grafica” delle equazioni doveva necessariamente avvenire in qualche altro modo, prevalentemente algebrico.

Risoluzione grafica, coi metodi moderni

Per farci un’idea delle soluzioni che andiamo cercando, riscriviamo innanzitutto l’equazione che esprime s (per “senx”) in funzione del parametro K (che per nostra scelta rappresenta sen(3x)/3, ovvero un terzo del seno dell’angolo noto di cui cerchiamo la trisezione), ovvero, come calcolato in precedenza:

\frac{4}{3}s^3 = s - K

Tra l’altro non è mai superfluo ricordare che il valore di K è vincolato al valore di sen(3x), rappresentandone la terza parte, di modo tale che esso potrà legittimamente variare soltanto nell’intervallo chiuso [-1/3;1/3].

Il metodo grafico di risoluzione…

richiede di “leggere” l’uguaglianza fra i due membri dell’equazione come primo passo – con il metodo del confronto – nella risoluzione del sistema di due equazioni nelle incognite y (introdotta appositamente) e s (di solito è x, ma in questo caso tale lettera l’abbiamo utilizzata per l’angolo incognito, mentre ora stiamo lavorando sul seno che abbiamo per comodità chiamato s).

Siamo quindi partiti dalle due equazioni a sistema:

  • y = \frac{4}{3}s^3
  • y = s - K

… e con i potenti mezzi tecnici a nostra disposizione…

senza saper fare di conto possiamo inserire le due equazioni su una calcolatrice grafica qualunque (io ho usato Geogebra), per ottenere un grafico del sistema con un prospetto delle intersezioni.

(Non è mai troppo ridondante precisare che per ottenere un grafico devo assegnare un valore qualunque al parametro K, possibilmente fra quelli “buoni” per il nostro problema).

esempio di risoluzione grafica su Geogebra, ponendo 3K = sinx = 0.8

Come si vede dal grafico, per ogni K compreso tra 0 e 1/3 avremo due intersezioni positive e una negativa. Ma gli angoli x con un dato valore del seno compreso tra 0 e 1 sono soltanto due, non tre, e sono entrambi minori di 180°, il che vuol dire che la loro terza parte sarà sicuramente compresa tra 0 e 60°. Quindi in questo caso è più che legittimo, anzi assolutamente doveroso, “scartare” la soluzione negativa e tenere conto soltanto delle due soluzioni positive!

Che Omar Khayyam – e altri prima e dopo di lui – sapessero in realtà molto bene quel che stavano facendo?

Per me è sì!

Un po’, anzi soprattutto per l’ansia di trovare una via di uscita da questa “escape room” dell’eurocentrismo – se non addirittura mitteleuropeocentrismo – che ha prima abbondantemente attinto, con l’epoca “orientalista”, ai tesori del mondo arabo-persiano, per poi rielaborare e riproporre con nomi propri molte delle “scoperte” – in gran parte scoperte, sì, ma forse anche nei manoscritti dell’ “epoca d’oro” della Bayt al Hikma di una perduta e irrecuperabile Baghdad del califfato di Al-Ma’mun, effettivamente tendo a propendere per questa ipotesi.

A far le spese di questi due secoli di “occultamento delle prove”, tra i tanti, Omar Khayyam, il quale per ben due secoli, dall’ottocento fino a oggi, è stato dipinto nell’immaginario collettivo come il “poeta ubriacone”, e per questo stesso motivo amato di dichiarato amore da un Guccini e citato per affinità di intellettuale “fuori dalle righe” da un De André, per restare soltanto in Italia e nel XX secolo.

Nessun indizio del fatto che fosse un sapiente dell’Islam interiore, nessuna memoria delle crudeli vicende che lo videro perdere, assassinato, il principe suo amico, mentore e compagno di scienze, Nizam al-Mulk, nessun accenno alle turbolenze che già allora vedevano un islam politico e formalista prendere il sopravvento sulle realtà più spirituali – e quindi nessuna vera intelligente lettura delle quartine, peraltro arbitrariamente svincolate da ogni collegamento anche filologico con il filone tradizionale della poesia persiana a lui precedente e contemporanea, della cui portata culturale, linguistica e a tratti spirituale l’Europa era forse totalmente all’oscuro… e ultimo-non-ultimo, nessun indizio del fatto che oltre ad essere fine ed acuto poeta e censore dei tempi, Khayyam fosse anche uno dei più prolifici ed abili matematici mai transitati nei secoli della cosiddetta “epoca d’oro” della Grande Persia.

Eppure, per fare un esempio, col famoso “trucchetto” del giovane Gauss per trovare la somma dei primi n numeri, già ci giocava Omar, il quale qua e là, tra una lamentazione e uno studio di equazioni, si dilettava persino di quella che oggi chiameremmo “matematica ricreativa”. Sua ad esempio la definizione dei “numeri amici” o “amicabili”.

Personaggio oltremodo eclettico, anzi forse unico – almeno nella sua epoca – faceva l’astronomo (e astrologo!) di corte ma diffidava il principe dal richiedergli dei peraltro sempre precisissimi oracoli, poichè – questo sì – incompatibile con i principi di affidamento alla volontà di Dio subentrati con la religione islamica.

Ma torniamo alla nostra equazione

Abbiamo quindi visto come sia necessario tenere conto soltanto delle due soluzioni positive scartando quella negativa (nel caso si operi con angoli convessi, come è comunque più che lecito e onnicomprensivo fare, visto che la retta di trisezione di un angolo concavo “triseca” anche il suo esplementare convesso e viceversa).

Per chi non sia pratico di risoluzione grafica delle equazioni, riprendiamo la figura precedente, dove si vede evidenziato anche il valore delle coordinate di uno dei due punti di intersezione collocati nel I quadrante.

la soluzione si legge nel valore della prima coordinata (ascissa) del punto di intersezione

Riprendendo la didascalia della figura, è importante precisare che ciascuna soluzione dell’equazione cubica di partenza (e non del sistema ausiliario di due funzioni da intersecare) si legge nella prima coordinata, l’ascissa, di ogni punto di intersezione che si sia valutato “buono” nella discussione del problema. Infatti la coordinata y l’abbiamo introdotta come variabile ausiliaria ma non entrava in nessun modo nell’equazione di partenza.

Quindi per fare un esempio concreto, una delle soluzioni (ovviamente “numeriche”, ovvero approssimate) della nostra equazione risolutiva, risulta essere

s= 0,766044443119

Tale valore è un’approssimazione alla 12ma cifra decimale del seno dell’angolo terza parte dell’angolo ottuso il cui seno è 0,8.

(Se non è chiaro, scrivetemi nei commenti!!)

Se volessimo sapere quanto vale il seno dell’angolo x terza parte dell’angolo acuto 3x tale che sin(3x) = 0,8 , dovremmo tornare su Geogebra, ingrandire a sufficienza il grafico in modo da isolare l’intersezione più vicina all’asse x ed evidenziare come nel caso precedente il valore delle coordinate, leggendo la coordinata x.

Qui l’ingrandimento del grafico, con il rispettivo valore 0,1736481776669 per il seno dell’angolo terzo.

Soluzione del seno dell’angolo terzo rispetto all’angolo acuto il cui seno vale 0,8

Facile o difficile? Ma soprattutto, utile o no?

Ai posteri, o meglio a futuri post (del blog) l’ardua sentenza!

#Omar #Khayyam #equazioni #cubiche #trisezione #correggetemisesbaglio

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