Cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B,C di un triangolo – III parte (Storia di G)

In questo articolo, qualche tempo fa, abbiamo proseguito il lungo elenco delle cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B e C di un triangolo, menzionando in ultimo, senza darne dimostrazione, la formula per il calcolo del baricentro G.

Per proseguire l’elenco, direi quindi che l’undicesimo punto non può che doverosamente essere

11. Dimostrare la formula per il calcolo delle coordinate del baricentro G del triangolo ABC

Per poter dimostrare agevolmente questa formula, dobbiamo appellarci alla proprietà geometrica (s’intende, euclidea) che definisce il baricentro di un triangolo come il punto unico di incontro delle tre mediane del triangolo, il quale, si dimostra a tempo debito, suddivide ciascuna delle tre mediane in due segmenti in proporzione 2/3 : 1/3. Questo sarà un altro dato utile al calcolo delle coordinate.

Meno direttamente utile per lo scopo specifico, ma comunque mai inutile da precisare, è che l’etichetta “G” per il baricentro, più o meno codificata come denominazione standard, al di là di essere un altro patetico spunto di battutine e sorrisetti maliziosi da parte di “quelli che sanno”, è stata infelicemente scelta per il semplice merito di essere l’iniziale di “gravità”, essendo il baricentro (per sua stessa etimologia linguistica) il “centro di gravità” di un’ipotetica “figura materiale” (qualunque cosa voglia dire!) che coincida con quella geometrica. Ma qui entriamo nella meccanica razionale, che al pari delle battute sceme sulla G di Garicentro, rappresenta un antro particolarmente “pesante” della matematica.

Ma bando alle lungaggini…

Torniamo a noi e dimostriamo quindi la benedetta formula, commovente per la sua semplicità:

G = \displaystyle{(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}};\displaystyle{\frac{y_A + y_B + y_C}{3})}

Procederemo, come anticipato, in questo modo:

  1. Troviamo il punto medio M di uno qualunque dei lati: per fissare una possibilità, diciamo BC
  2. Troviamo il punto G sul segmento AM tale che AG = 2GM

Fase 1: punto medio di BC

Questo è facile: è sufficiente prendere come coordinate del punto M le medie aritmetiche delle coordinate di B e C. Otteniamo:

G = \displaystyle{(\frac{x_B + x_C}{2}};\displaystyle{\frac{y_B + y_C}{2})}

Fase 2: Proprietà di G

Per calcolare le coordinate di G utilizzando la proprietà indicata, ovvero il fatto che AG = 2GM, osserviamo innanzitutto che per il teorema di Talete tale proprietà si riflette anche sulle proiezioni orizzontali e verticali degli estremi del segmento e del punto G, ovvero è valida anche per le proiezioni di A,G e M rispettivamente sull’asse x e sull’asse y. Avremo quindi:

  • |x_G - x_A| = 2|x_M - x_G|
  • |y_G - y_A| = 2|y_M - y_G|

Per risolvere i valori assoluti, osserviamo che G è sempre interno al segmento AM, quindi gli argomenti dei due valori assoluti così come li abbiamo scritti saranno sempre concordi. Possiamo quindi togliere i valori assoluti senza bisogno di ulteriori discussioni, e risolvendo rispetto alle coordinate di G otteniamo:

  1. 3x_G = x_A + 2 x_M
  2. 3y_G = y_A + 2 y_M

Se ora sostituiamo le espressioni delle coordinate del punto M, avremo:

  1. 3x_G = x_A + 2 \displaystyle\frac{x_B+x_C}{2}
  2. 3y_G = y_A + 2  \displaystyle\frac{y_B+y_C}{2}

da cui

  • 3x_G = x_A + x_B+x_C
  • 3y_G = y_A + y_B+y_C

… e il gioco è fatto!

Non resta che dividere per 3, per ottenere l’agognata formula:

  • x_G = \displaystyle{\frac{x_A + x_B+x_C}{3}}
  • y_G =  \displaystyle{\frac{ y_A + y_B+y_C }{3}}

Ovvero, come speravamo:

G\displaystyle{(\displaystyle{\frac{x_A + x_B+x_C}{3}}; \displaystyle{\frac{ y_A + y_B+y_C }{3}})}

Un numero perfetto per terminare

E poichè 11 sembra un numero perfetto per terminare, il lungo elenco di cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B e C di un triangolo, per noi finisce qui, ma se avete avuto la pazienza e la testa per leggere fino a questo punto, sicuramente non ve ne mancherà per trovarne molte, molte altre… fatemi sapere!

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