Equazioni allo specchio – fine della I parte

Nel precedente articolo, che proseguiva il discorso cominciato nell’articolo “Equazioni allo specchio – il metodo numerico delle frazioni continue (prologo)”, abbiamo affrontato la risoluzione numerica dell’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

scritta nella forma

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

e poi ulteriormente trasformata in

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

Abbiamo provato a sostituire nella x al secondo membro l’intera espressione dello stesso secondo membro, utilizzando quello che oggi chiameremmo il “principio dei metodi iterativi”, e abbiamo quindi scoperto che si può in questo modo ottenere una sequenza infinita di espressioni sempre più complicate, nella forma di “frazioni continue” che terminano sempre con una singola x al denominatore (del denominatore del denominatore del denominatore del …).

Noi ci siamo fermati a questa espressione [chi scrive in latex capirà perchè non sono andata più avanti di così!]

\mathsf  {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Per fortuna che c’è Excel (o chi per esso)

Senza scomodare ambienti di programmazione più o meno complicati, in questo caso un semplice foglio di calcolo ci viene egregiamente in aiuto per venire a capo di questa formula. Ci si potrebbe infatti chiedere principalmente due cose:

  1. Quanti passaggi devo fare per arrivare a un valore abbastanza vicino alla soluzione?
  2. Arriverò mai a un valore abbastanza vicino alla soluzione?

La seconda domanda è logicamente e gerarchicamente precedente alla prima, ma in pratica salvo poche menti brillanti e ordinate (ad esempio non la mia!) viene aggiunta come seconda, come scrupolo emergente a fronte di una oggettiva necessità pratica dopo che, per rispondere alla prima, ci si è messi al lavoro.

La terza doverosa domanda, a onore di chi si occupa del bellissimo e vastissimo campo dell’analisi numerica, è in effetti:

  1. Quanto vicino arriverò alla soluzione?

Per ora lasceremo da parte questa terza domanda. Per cercare di rispondere alle prime due invece ho aperto il mio fido Excel e inserito la seguente formula iterativa (in diverse colonne per fare prove con diversi valori di partenza):

creato con Excel da ilripassinodimatematica.com

Come si vede, in ogni riga viene riapplicata la formula iterativa x = 3 + 2/x, calcolata sul valore ottenuto al passaggio precedente.

Variando il valore di partenza, varia soltanto il numero di passaggi con cui la sequenza si stabilizza su un valore che possiamo considerare la nostra “risposta”, o per essere più corretti la nostra “migliore approssimazione”, come si vede dai valori che risultano dalle formule scritte sopra, che potete trovare nell’immagine seguente

creato con Excel da ilripassinodimatematica.com

Per adesso ci fermiamo qui!

La soluzione “numerica” della nostra equazione sembra essere

\mathsf {x \simeq 3,561552812808830000000}

Nei prossimi articoli, cercheremo di approfondire, generalizzare, ampliare… come si conviene a ogni buon matematico!

Come sempre, non esitate a lasciare i vostri commenti, segnalare errori, proporre miglioramenti o altro: siete i benvenuti!

#quasiuguale #allincirca #allaprossima #graziedellattenzione

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