Equazioni allo specchio – si dia inizio alle danze!

In un precedente articolo (qui il link) abbiamo introdotto il bellissimo argomento dei metodi numerici per l’algebra (e non solo per l’analisi!), un tema affascinante e un universo popolato da molti oggetti meravigliosi della matematica. Brillanti come le Pleiadi, tra questi, le frazioni continue.

Avevamo come primo esempio introdotto l’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

trasformandola nella forma

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

e infine, dividendo per un x sicuramente diverso da zero, in

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

Ora, non so se l’abbia mai detto qualcuno, ma in caso negativo sono felice di essere la prima a farlo, “la mente semplice forgia idee brillanti”.

E cosa ci poteva essere di più brillante se non sostituire, nella x al denominatore, l’intera espressione che dev’essere uguale a x, ovvero l’intero secondo membro dell’equazione?

Vi gira già la testa, vero? Ve la scrivo, così:

\mathsf  {\displaystyle{x = 3 + \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}} 📌

A questo punto, avrete già intuito qualcosa: cosa succede se in questa nuova espressione sostituisco ancora l’espressione di x (quella della prima equazione o – saltando un passaggio come faremo noi – quella di questa seconda)?

Un gioco di specchi

Avete mai provato a mettervi in mezzo a due specchi e guardarci dentro?

ananas a effetto “infinito” grazie a un gioco di specchi, immagine dal web

L’effetto è davvero vertiginoso, è forse la cosa che più avvicina alla percezione quasi “tangibile” dell’infinito matematico. A me ha sempre fatto impazzire (ci giocavo con l’armadio a doppio specchio di mamma e papà, quando ci vestivamo per le feste grandi).

Con le frazioni continue, più o meno funziona allo stesso modo: riproponiamo la stessa “immagine” in un punto che è già un “riflesso” della prima forma che è l’equazione di partenza. Solo, per velocizzare, non guardiamo tutte le figure ma ne saltiamo qualcuna.

Nella seconda sostituzione, dove vado a sostituire il secondo membro di
📌 al posto della x al secondo membro della stessa equazione, ottengo (“premio latex 2019”):

\mathsf  {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}} 📌📌

Dove (non) osa il calcolatore

Date a una calcolatrice questa procedura, e non saprà dove terminare. Si tratta infatti di una procedura (infinita) e non di un algoritmo (finito).

E noi, dove andremo a parare con questa x che rispunta sempre fuori in una formula sempre più complicata? Scriviamo un terzo step usando questa volta la formula 📌📌 :

\mathsf  {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}} 📌📌📌

Cominciamo a capire di cosa stiamo parlando, quando diciamo “frazioni continue”? Spero di sì. È un argomento che a me affascina molto. Per ora ci fermiamo ma proseguiremo presto in questa che si prospetta una lunga, lunghissima storia. Per restare in tema, per ora possiamo soltanto scrivere:

😎(continua) 😎

(c) ilripassinodimatematica.com – tutti i materiali originali in questo blog sono depositati e soggetti a copyright. Per utilizzi anche non commerciali si prega di utilizzare i contatti e le modalità indicati nella pagina Contatti.

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4 commenti

    1. Grazie dell’apprezzamento. Per quanto riguarda le origini delle frazioni continue non vi sono notizie certe ma se ne può intravvedere la presenza già in Euclide (il metodo ricorsivo per il calcolo del MCD è di fatto uno schema di frazione continua – vedi anche l’articolo https://ilripassinodimatematica.com/2018/06/13/dalle-frazioni-continue-al-mcd-passando-per-q/ ). Qui una tesi di laurea che dà un ampio excursus sull’argomento: https://amslaurea.unibo.it/4547/1/Greco_Federico_tesi.pdf . All’elenco di tracce storiche indicato in questa tesi bisogna riempire il salto storico tra l’indiano Aryabatha e Fibonacci, aggiungendo l’anello mancante di Al-Khwarizmi (che traduce Brahmagupta e a cui indirettamente Fibonacci deve la stessa introduzione dei numeri scritti), mentre un altro filone inesplorato riguarda Omar Khayyam, che sviluppa l’algebra di Al-Khwarizmi introducendo le equazioni di terzo e quarto grado. Sia Khwarizmi che Khayyam scrivono le diverse forme di equazione in modo da avere sempre un’uguaglianza di due membri “positivi” e arrivano a trovare soltanto le radici positive delle equazioni. Questo porta a pensare che il loro metodo risolutivo “concreto” assomigli a quello delle frazioni continue. A questo si aggiunge un altro indizio riguardo a Omar Khayyam, ovvero il fatto che il suo calcolo dell’anno solare, il più preciso mai calcolato prima dell’epoca moderna, si ottiene facilmente come risultato di una frazione continua finita.

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