In un precedente articolo (qui il link) abbiamo introdotto il bellissimo argomento dei metodi numerici per l’algebra (e non solo per l’analisi!), un tema affascinante e un universo popolato da molti oggetti meravigliosi della matematica. Brillanti come le Pleiadi, tra questi, le frazioni continue.

Avevamo come primo esempio introdotto l’equazione

trasformandola nella forma

e infine, dividendo per un x sicuramente diverso da zero, in

Ora, non so se l’abbia mai detto qualcuno, ma in caso negativo sono felice di essere la prima a farlo, “la mente semplice forgia idee brillanti”.

E cosa ci poteva essere di più brillante se non sostituire, nella x al denominatore, l’intera espressione che dev’essere uguale a x, ovvero l’intero secondo membro dell’equazione?

Vi gira già la testa, vero? Ve la scrivo, così:

📌

A questo punto, avrete già intuito qualcosa: cosa succede se in questa nuova espressione sostituisco ancora l’espressione di x (quella della prima equazione o – saltando un passaggio come faremo noi – quella di questa seconda)?

Un gioco di specchi

Avete mai provato a mettervi in mezzo a due specchi e guardarci dentro?

L’effetto è davvero vertiginoso, è forse la cosa che più avvicina alla percezione quasi “tangibile” dell’infinito matematico. A me ha sempre fatto impazzire (ci giocavo con l’armadio a doppio specchio di mamma e papà, quando ci vestivamo per le feste grandi).

Con le frazioni continue, più o meno funziona allo stesso modo: riproponiamo la stessa “immagine” in un punto che è già un “riflesso” della prima forma che è l’equazione di partenza. Solo, per velocizzare, non guardiamo tutte le figure ma ne saltiamo qualcuna.

Nella seconda sostituzione, dove vado a sostituire il secondo membro di
📌 al posto della x al secondo membro della stessa equazione, ottengo (“premio latex 2019”):

📌📌

Dove (non) osa il calcolatore

Date a una calcolatrice questa procedura, e non saprà dove terminare. Si tratta infatti di una procedura (infinita) e non di un algoritmo (finito).

E noi, dove andremo a parare con questa x che rispunta sempre fuori in una formula sempre più complicata? Scriviamo un terzo step usando questa volta la formula 📌📌 :

📌📌📌

Cominciamo a capire di cosa stiamo parlando, quando diciamo “frazioni continue”? Spero di sì. È un argomento che a me affascina molto. Per ora ci fermiamo ma proseguiremo presto in questa che si prospetta una lunga, lunghissima storia. Per restare in tema, per ora possiamo soltanto scrivere:

😎(continua) 😎

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