Mese: febbraio 2019

Numerando – Passatempi con i numeri per pulcini a dieci dita

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Sto preparando un laboratorio ludico-didattico e quando mi viene fuori qualcosa di bello non riesco a tenerlo per me: lo devo condividere! Naturalmente non vi dico tutto-tutto di quello che ne farò, eventualmente. Perintanto, ve lo racconto.

Si tratta di un gioco, adatto a bambini di 4-5 elementare.

La versione che vi racconto richiede di abbinare i numeri interi da 1 a 12, ciascuno a una descrizione-indovinello-quiz. Alcune descrizioni sono univoche, altre si adattano a più numeri ma per esclusione alla fine si arriva a una corrispondenza 1-1.

Ecco quindi gli indovinelli-quiz (ribadisco, mi sono ideata tutto by myself, il materiale è depositato e lo potete usare a scopo didattico, mentre per pubblicazioni anche gratuite, anche online, vi prego di avvisarmi nel modo descritto alla pagina Contatti – grazie):

1 – Può “fabbricare” tutti gli altri numeri

2 – È primo e anche pari

3 – 18 è un suo multiplo

4 – È il più piccolo quadrato pari

5 – Se mi dai una mano lo potrò contare

6 – È pari e multiplo di 3

7 – È dispari e maggiore di 6

8 – Può “misurare” un cubo

9 – È un quadrato perfetto ed è dispari

10 – Nella sua tabellina vedrai tanti zeri

11 – Non ci sta sulle dita di due mani

12 – Il suo quadrato è 144

immagine Pixabay – auth: GDJ

Come giocare? Tanti modi! Il più semplice secondo me è questo:

  • da soli su un foglio o in gruppo su un tabellone, far scrivere in colonna le definizioni (alla rinfusa) da una parte e i numeri da 1 a 12 (in ordine) dall’altra.
  • Lasciare un po’ di tempo (20 minuti?) per ragionare sulle corrispondenze con l’aiuto di fogli di brutta (alcune possibilità verranno escluse man mano aiutando a dare a ciascun numero la giusta definizione)
  • Far collegare nel giusto modo ogni numero alla sua definizione.
  • Specialmente se a gruppi, si possono assegnare diversi “premi”: a chi finisce prima facendo tutto giusto; a chi finisce dopo ma ha curato bene il tabellone; a chi finisce ultimo ma ha trovato tutte le possibilità di abbinamento e magari le ha segnate!

Un altro modo può essere di non fare “escludere” le possibilità doppie ma far compilare un grafo con le corrispondenze univoche e non, in modo da introdurre il concetto di corrispondenza univoca / biunivoca (solo per aspiranti genietti però!).

Il terzo modo… per ora non ve lo svelo. Anzi, scrivete voi nei commenti come avete usato questo materiale… e buon divertimento!

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Equazioni allo specchio – fine della I parte

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Nel precedente articolo, che proseguiva il discorso cominciato nell’articolo “Equazioni allo specchio – il metodo numerico delle frazioni continue (prologo)”, abbiamo affrontato la risoluzione numerica dell’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

scritta nella forma

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

e poi ulteriormente trasformata in

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

Abbiamo provato a sostituire nella x al secondo membro l’intera espressione dello stesso secondo membro, utilizzando quello che oggi chiameremmo il “principio dei metodi iterativi”, e abbiamo quindi scoperto che si può in questo modo ottenere una sequenza infinita di espressioni sempre più complicate, nella forma di “frazioni continue” che terminano sempre con una singola x al denominatore (del denominatore del denominatore del denominatore del …).

Noi ci siamo fermati a questa espressione [chi scrive in latex capirà perchè non sono andata più avanti di così!]

\mathsf {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Per fortuna che c’è Excel (o chi per esso)

Senza scomodare ambienti di programmazione più o meno complicati, in questo caso un semplice foglio di calcolo ci viene egregiamente in aiuto per venire a capo di questa formula. Ci si potrebbe infatti chiedere principalmente due cose:

  1. Quanti passaggi devo fare per arrivare a un valore abbastanza vicino alla soluzione?
  2. Arriverò mai a un valore abbastanza vicino alla soluzione?

La seconda domanda è logicamente e gerarchicamente precedente alla prima, ma in pratica salvo poche menti brillanti e ordinate (ad esempio non la mia!) viene aggiunta come seconda, come scrupolo emergente a fronte di una oggettiva necessità pratica dopo che, per rispondere alla prima, ci si è messi al lavoro.

La terza doverosa domanda, a onore di chi si occupa del bellissimo e vastissimo campo dell’analisi numerica, è in effetti:

  1. Quanto vicino arriverò alla soluzione?

Per ora lasceremo da parte questa terza domanda. Per cercare di rispondere alle prime due invece ho aperto il mio fido Excel e inserito la seguente formula iterativa (in diverse colonne per fare prove con diversi valori di partenza):

creato con Excel da ilripassinodimatematica.com

Come si vede, in ogni riga viene riapplicata la formula iterativa x = 3 + 2/x, calcolata sul valore ottenuto al passaggio precedente.

Variando il valore di partenza, varia soltanto il numero di passaggi con cui la sequenza si stabilizza su un valore che possiamo considerare la nostra “risposta”, o per essere più corretti la nostra “migliore approssimazione”, come si vede dai valori che risultano dalle formule scritte sopra, che potete trovare nell’immagine seguente

creato con Excel da ilripassinodimatematica.com

Per adesso ci fermiamo qui!

La soluzione “numerica” della nostra equazione sembra essere

\mathsf {x \simeq 3,561552812808830000000}

Nei prossimi articoli, cercheremo di approfondire, generalizzare, ampliare… come si conviene a ogni buon matematico!

Come sempre, non esitate a lasciare i vostri commenti, segnalare errori, proporre miglioramenti o altro: siete i benvenuti!

#quasiuguale #allincirca #allaprossima #graziedellattenzione

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Equazioni allo specchio – si dia inizio alle danze!

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In un precedente articolo (qui il link) abbiamo introdotto il bellissimo argomento dei metodi numerici per l’algebra (e non solo per l’analisi!), un tema affascinante e un universo popolato da molti oggetti meravigliosi della matematica. Brillanti come le Pleiadi, tra questi, le frazioni continue.

Avevamo come primo esempio introdotto l’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

trasformandola nella forma

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

e infine, dividendo per un x sicuramente diverso da zero, in

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

Ora, non so se l’abbia mai detto qualcuno, ma in caso negativo sono felice di essere la prima a farlo, “la mente semplice forgia idee brillanti”.

E cosa ci poteva essere di più brillante se non sostituire, nella x al denominatore, l’intera espressione che dev’essere uguale a x, ovvero l’intero secondo membro dell’equazione?

Vi gira già la testa, vero? Ve la scrivo, così:

\mathsf {\displaystyle{x = 3 + \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}} 📌

A questo punto, avrete già intuito qualcosa: cosa succede se in questa nuova espressione sostituisco ancora l’espressione di x (quella della prima equazione o – saltando un passaggio come faremo noi – quella di questa seconda)?

Un gioco di specchi

Avete mai provato a mettervi in mezzo a due specchi e guardarci dentro?

ananas a effetto “infinito” grazie a un gioco di specchi, immagine dal web

L’effetto è davvero vertiginoso, è forse la cosa che più avvicina alla percezione quasi “tangibile” dell’infinito matematico. A me ha sempre fatto impazzire (ci giocavo con l’armadio a doppio specchio di mamma e papà, quando ci vestivamo per le feste grandi).

Con le frazioni continue, più o meno funziona allo stesso modo: riproponiamo la stessa “immagine” in un punto che è già un “riflesso” della prima forma che è l’equazione di partenza. Solo, per velocizzare, non guardiamo tutte le figure ma ne saltiamo qualcuna.

Nella seconda sostituzione, dove vado a sostituire il secondo membro di
📌 al posto della x al secondo membro della stessa equazione, ottengo (“premio latex 2019”):

\mathsf {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}} 📌📌

Dove (non) osa il calcolatore

Date a una calcolatrice questa procedura, e non saprà dove terminare. Si tratta infatti di una procedura (infinita) e non di un algoritmo (finito).

E noi, dove andremo a parare con questa x che rispunta sempre fuori in una formula sempre più complicata? Scriviamo un terzo step usando questa volta la formula 📌📌 :

\mathsf {\displaystyle{x = 3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{ \frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{3 + \displaystyle{\frac{2}{3 +\displaystyle{ \frac{2}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}} 📌📌📌

Cominciamo a capire di cosa stiamo parlando, quando diciamo “frazioni continue”? Spero di sì. È un argomento che a me affascina molto. Per ora ci fermiamo ma proseguiremo presto in questa che si prospetta una lunga, lunghissima storia. Per restare in tema, per ora possiamo soltanto scrivere:

😎(continua) 😎

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Equazioni allo specchio – il metodo numerico delle frazioni continue (prologo)

/ ilripassinodimatematica / 3 commenti

Analisi numerica, questa affascinante materia che credevo essere nata con Newton nel diciassettesimo secolo, ma che invece scopro aver radici molto più antiche: di sicuro ne troviamo traccia nei matematici e astronomi persiani dell’ XI secolo, ma confido che si possano trovare segni anche più antichi della pratica di questa disciplina.

immagine Pixabay, auth: geralt

L’uso moderno dei computer ha permesso di rivalutare l’utilità delle tavole numeriche (da far memorizzare al macchinario, programmando un software d’interpolazione per i valori intermedi) o dei metodi ricorsivi (ad esempio il metodo delle tangenti di Newton per la ricerca degli zeri di un’equazione non lineare); tuttavia, alcune di queste prassi erano già ben consolidate nell’antichità.

Già il nome inganna, perchè fa pensare che i metodi numerici si applichino soltanto all’analisi matematica.

Pensare invece che si possono utilizzare semplici metodi numerici per la risoluzione di alcuni tipi di equazione di secondo grado!

Partiamo da un esempio che funziona

Voglio trovare una radice dell’equazione

\mathsf{x^2 - 3x - 2 = 0}

Poichè nell’animo sono un po’ Khayyamiana / Khwarizmiana, la riscrivo così

\mathsf{x^2 = 3x + 2}

A questo punto dobbiamo fare un piccolo volo pindarico: un ideale passo indietro nella storia della matematica, a prima del Kitab di Al-Khwarizmi, a prima del trattato indiano di Brahmagupta. Come possiamo fare per trovare non tutte – ma almeno una delle soluzioni di questa equazione?

A qualcuno, un giorno nella storia dell’umanità, venne in mente di fare così:

Poichè zero non è certamente una soluzione, posso dividere tutto per x.

Ottengo

\mathsf{x = 3 + \displaystyle \frac{2}{x}}

E qui comincia la nostra storia…

(to be continued)

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