Cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B,C di un triangolo – II parte

Continua l’elenco di cose che si possono cercare, trovare, calcolare, disegnare, azzeccare o ingarbugliare a partire dalla semplice conoscenza delle coordinate dei vertici di un triangolo nel piano cartesiano.

Le prime cinque (anzi, sei, e con varianti) le abbiamo elencate in questo articolo. Avendo cominciato la numerazione dallo zero, proseguo dunque la lista con la cosa-da-fare numero

6. Calcolare l’area come “base x altezza / 2” in tre modi diversi

… e verificare che il risultato è sempre lo stesso, e coincide con quello trovato applicando il punto 2 (formula di Erone): è un passatempo come un altro: buon divertimento!

Per calcolare la base, serve il punto 1.1 del precedente articolo. Per l’altezza relativa, i punti 4 e 5.

7. Individuare gli assi del triangolo

… e verificare che passano tutti e tre per uno stesso punto: il circocentro.

Non è scontato infatti notare che gli assiomi della geometria euclidea garantiscono l’incidenza in un punto di due qualsiasi rette non parallele, ma in nessun modo garantiscono l’incidenza di tre rette non parallele in uno stesso punto.

Per questo i punti notevoli del triangolo sono notevoli.


realizzato con geogebra da ilripassinodimatematica.com

Se chiamiamo \mathsf M_{AB}, \mathsf M_{BC} e \mathsf M_{AC} rispettivamente i punti medi di AB, BC e CA, abbiamo per le coordinate di tali punti la semplice media aritmetica delle coordinate degli estremi del segmento di riferimento. In formule:


\mathsf {M_{AB}= \displaystyle{\left( { \frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}} \right) }}

\mathsf {M_{AC}= \displaystyle{\left( { \frac{x_A+x_C}{2} ; \frac{y_A+y_C}{2}} \right) }}

\mathsf {M_{BC}= \displaystyle{\left( { \frac{x_B+x_C}{2} ; \frac{y_B+y_C}{2}} \right) }}

A partire dalle coordinate di \mathsf M_{AB}, \mathsf M_{BC} e \mathsf M_{AC} possiamo tracciare la perpendicolare a ciascun lato passante per il suo punto medio: ricordiamo la formula già utilizzata per individuare le rette contenenti le altezze (punto 4 della prima parte), e riscriviamola utilizzando come centri del fascio proprio i punti medi dei lati al posto dei vertici A, B e C (se avete dubbi o salto troppi passaggi, scrivetemi nei commenti!)

Otteniamo:

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{AB}} = - \frac{1}{m_{AB}}\cdot (x - x_{M_{AB}})}}

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{BC}} = - \frac{1}{m_{BC}}\cdot (x - x_{M_{BC}})}}

\mathsf {\displaystyle{y - y_{M_{AC}} = - \frac{1}{m_{AC}}\cdot (x - x_{M_{AC}})}}

dove ricordo che \mathsf m_{AB}, \mathsf m_{BC} e \mathsf m_{AC} con la m minuscola sono i coefficienti angolari dei lati AB, BC e AC, da non confondere con i punti medi che hanno la M maiuscola (😭😭😭 noi matematici, tutta la vita così… 😭😭😭 )

Ma alla fine, per chi ha pazienza, il risultato sarà di trovare l’agognato circocentro, che con una scelta di nomi a caso chiameremo K.

8. Trovare l’equazione della circonferenza circoscritta (e disegnarla bene)

A partire dal circocentro K trovato al punto 7. qui sopra, dopo aver verificato anche analiticamente (se siete pignoli!) che KA = KB = KC (per la qual cosa vi servirà rispolverare la distanza fra due punti di cui al precedente articolo, n.1) potete finalmente prendere un compasso vero o virtuale e puntando in K, con apertura KA (o KB o KC), tracciare la circonferenza circoscritta al triangolo.

realizzato con geogebra da ilripassinodimatematica.com

9. Trovare l’equazione delle bisettrici del triangolo e individuare (verificando) l’incentro

Questa è tosta, non ne parla mai nessuno: verrà segnalata honoris causa, a tempo debito, nella pagina facebook “Dimostrazioni lasciate per esercizio al lettore“!

Per avventurarci a ricostruire la formula delle rette bisettrici di ciascun angolo, bisogna ricordare che il coefficiente angolare di una retta non è altro che la tangente trigonometrica dell’angolo formato da tale retta con l’asse x.

Riportando tali angoli con vertice in O, osserviamo che l’angolo della bisettrice risulta essere la media aritmetica degli angoli formati da ciascuno dei due lati in questione con l’asse x.

Non vi faccio il disegno. Scrivetemi se non è chiaro, lo aggiungerò.

Per fissare le idee, cerchiamo la bisettrice dell’angolo in C, opposto al lato AB.

Partiremo quindi dai coefficienti angolari \mathsf m_{BC} e \mathsf m_{AC} dei lati BC e AC. Questi non sono altro che le tangenti trigonometriche di due angoli che per semplicità chiameremo \alpha e \beta.

Per avere il coefficiente angolare della bisettrice, dovremo cercare il coefficiente angolare della retta inclinata di \mathsf{\displaystyle{\frac{\alpha + \beta}{2}}} sull’asse x, ovvero la tangente trigonometrica dell’angolo
\mathsf{\displaystyle{\frac{\alpha + \beta}{2}}}.

Ci servirà quindi la tangente trigonometrica dell’angolo mezzo in funzione della tangente dell’angolo, e poi la formula per la tangente di una somma in funzione delle tangenti degli angoli addendi. Piccolo problema però: normalmente la tangente di alfa-mezzi viene espressa in funzione del coseno di alfa e non della tangente di alfa. Vediamo come aggirare questo problemino: ecco come ho fatto io, poi mi saprete dire se c’erano vie più brevi che nel mio primo cinquantennio di vita ho dimenticato:

Cambiamo punto di vista e scriviamo la formula di
\mathsf{\displaystyle{\tan \alpha}} in funzione di
\mathsf{\displaystyle{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}, utilizzando le formule parametriche derivate dalle formule di bisezione. Avremo

\mathsf {\displaystyle{\tan \alpha = \frac{2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 - {\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}^2} }}

Ora per semplificarci un po’ la vita possiamo chiamare t la tangente di alfa-mezzi e T la tangente di alfa. Riscriviamo quindi la formula in questo modo:

\mathsf {\displaystyle{T = \frac{2t}{1 - t^2} }}

Fatti salvi i casi che annullano il denominatore (alfa = 90° ovvero angolo retto che possiamo escludere per il momento), possiamo risolvere rispetto a t ottenendo l’equazione di secondo grado

\mathsf{T - Tt^{2}- 2t = 0}

ovvero

\mathsf{Tt^{2} + 2t - T = 0}

da cui

\mathsf {t = \displaystyle{ \frac{-1 \pm \sqrt{1 + T_{2}} }{T}} }

D’altra parte sappiamo anche che

\mathsf{ \displaystyle{ \mathsf{\tan\left(\alpha + \beta \right) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}}}}

ovvero, sostituendo i coefficienti \mathsf {m_{1} } e \mathsf {m_{2}} dei due lati dell’angolo

\mathsf{\displaystyle{\mathsf{\tan\left(\alpha + \beta \right) = \frac{m_{1} + m_{2}}{1- m_{1}m_{2}}}}}

Riprendendo la formula della tangente dell’angolo mezzo e applicandola alla tangente di alfa più beta, otteniamo l’espressione del coefficiente angolare della bisettrice dell’angolo i cui lati hanno coefficienti angolari
\mathsf {m_{1} } e \mathsf {m_{2}}:

\mathsf{ \displaystyle {m_{bis} = \frac{-1 \pm \sqrt { {1 + {\left( \frac{m_{1} + m_{2}}{1 - m_{1}m_{2}}  \right)}^2}   }   }{\frac {m_{1} + m_{2}}{1 - m_{1}m_{2}}     }    }  }

Saltando alcuni passaggi per non impazzire con latex, abbiate fiducia (oppure provate e verificate) che si arriva alla seguente espressione giustamente ancora simmetrica rispetto ai due coefficienti angolari:

\mathsf{ \displaystyle { m_{bis} = \displaystyle{\frac{- {\left(1 - m_{1}m_{2} \right)}^2 \pm \sqrt{\left( 1 + {m_{1}}^2 \right) \left( 1 + {m_{2}}^2 \right) }}{m_{1} + m_{2}} }  }    }

Soltanto un folle vorrebbe usare questa formula per il calcolo del coefficiente angolare delle bisettrici, ma tant’è, questo mi ero ripromessa e questo ho trovato! Lasciate nei commenti qualunque espressione vi evochi questo lungo paragrafo (soprattutto, nel caso riteniate, correzioni o umilianti espressioni più semplici che io non conoscevo!!)

10. Con un colpo di scena, trovare il baricentro senza prima individuare le mediane

Dopo la fatica del punto precedente, proprio ci vuole: si dimostra (ma da secoli la dimostrazione viene lasciata per esercizio al lettore…) che le coordinate del baricentro altro non sono se non la media aritmetica delle coordinate dei tre vertici, ovvero, chiamato come al solito G – come – gravità il punto notevole:

\mathsf{ \displaystyle {G \left ( \frac{x_{A}+ x_{B} + x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+ y_{B} + y_{C}}{3} \right )   }  }

11. Attendere fiduciosamente la terza parte di questa lunga storia

Il link all’articolo verrà indicato esattamente qui!

Se avete osservazioni, obiezioni, consigli o errori da segnalare, o anche un semplice pensiero da esprimere, non esitate a lasciare i vostri commenti!

Alla prossima conclusione di questo non breve elenco di tutte le cose che possiamo fare conoscendo i tre vertici di un triangolo!

#graziedellalettura #artedienumerare #stililetterari #buonanno #buonannonuovo #buon2019

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