Cose che si possono fare conoscendo i vertici A,B,C di un triangolo

Non sei un blogger degno di questo nome se non rendi ossequio, ogni tanto, alla nobile arte retorica dell’enumerazione,

clipart Pixabay

Cercherò allora di contare quante cose si possono fare conoscendo le coordinate dei tre vertici di un triangolo, nel piano cartesiano. Ancora non lo so quante sono, chi vivrà vedrà!

Chiamiamo come di consueto A, B e C i vertici del triangolo argomento di questo articolo.

Per cominciare, una prima osservazione filosofica, ovvero: la primissima cosa che possiamo fare a partire dalle coordinate di tre punti A, B, C è

0. Definire il triangolo ABC

Sembra banale, ma lo è? Se ci pensiamo, per definire il triangolo “concettualmente”, a partire dagli assiomi della geometria euclidea, basta disegnare i tre punti e il gioco è fatto. Matita e righello, uniamo i vertici e ci siamo: non c’è possibilità di unirli nel modo sbagliato, la figura è sempre convessa, il triangolo c’è.

(Se però volessimo parlare dell’espressione analitica del triangolo ABC, dobbiamo persino scomodare un sistema di tre disequazioni: ne parleremo prima della fine di questo lungo elenco, se avrete tempo e interesse a seguirne anche le prossime puntate).

Ma procediamo: ora il triangolo è disegnato, possiamo quindi cominciare la nostra sfilata di cose-da-fare.

1. Calcolare lunghezze dei lati e perimetro di ABC

… per non dir del semiperimetro!

Serve ripetere le formule? Ma sì, certo che sì: ci sarà sempre qualche lettore che avrà aperto questo link soltanto per trovare esattamente quelle. Chi già le conosce può saltare a piè pari al punto 2.

1.1 I lati AB, BC e CA e le loro misure

La formula per la misura di un segmento di estremi A e B (ovvero la distanza euclidea AB) si ricava come semplice applicazione del teorema di Pitagora. Questo piccolo appunto può servire come aiuto per memorizzare la formula:

\mathsf{ \overline{AB} = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2} }

Ripetiamo la stessa operazione con le coppie di vertici AC e BC

\mathsf{ \overline{AC} = \sqrt{( x_C - x_A )^2 + ( y_C - y_A )^2} }

\mathsf{ \overline{BC} = \sqrt{( x_C - x_B )^2 + ( y_C - y_B )^2} }

Abbiamo così descritto le lunghezze dei tre lati AB, AC e BC in funzione delle coordinate cartesiane dei rispettivi estremi.

1.2 Calcolare il perimetro e il semiperimetro

A volte risulta utile conoscere anche il semiperimetro di un triangolo; non abbandono quindi la consuetudine di chiamare 2p il perimetro del triangolo, dimodoché il semiperimetro potrà essere comodamente indicato con p.

Per calcolare il perimetro una volta calcolate le misure dei tre lati AB, BC e CA, non serve altro che sommarle tutte tra di loro:

\mathsf{2p = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}}

Il semiperimetro è pari al perimetro diviso 2:

\mathsf{P =\displaystyle \frac{2p}{2} =\displaystyle \frac{ \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}}{2}}

2. Calcolare l’area con la formula di Erone

Formula di Erone, ve la ricordate? Compare chissà come e chissà quando, senza dimostrazione perchè il discorso è un po’ complicato (potete trovarne un accenno in questo articolo).

Per scrivere la formula di Erone è comodo chiamare a, b e c le misure dei tre lati AB, BC e CA. Ricordando che abbiamo chiamato p il semiperimetro (vedi paragrafo 1.2 qui sopra), la formula è la seguente:

\mathsf{area_{ \widehat{\overline{ABC}}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Semplice e indolore, no? Eppure la base concettuale di tale formula è apparentemente non così banale e richiede un’operazione di passaggio al limite, come ho provato ad accennare nell’articolo “Da Brahmagupta a Erone… passando per Al-Kashi e Carnot!“.

3. Stabilire se il triangolo è rettangolo

Possiamo farlo in tantissimi modi diversi. Ad esempio:

3.1 Confrontare i coefficienti angolari dei lati

Ricordiamo che il coefficiente angolare \mathsf{ \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}} si esprime in funzione delle coordinate dei vertici in questo modo:

\mathsf{ \displaystyle m_{AB}=\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}} ;


\mathsf{ \displaystyle m_{BC}=\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}} ;


\mathsf{ \displaystyle m_{CA}=\frac{y_A - y_C}{x_A - x_C}}.

Confrontando i tre coefficienti angolari, si avrà un triangolo rettangolo nel caso in cui due dei tre valori diano come prodotto -1 (ovvero siano, come si suol dire, antireciproci).

3.2 Verificare se vale il teorema di Pitagora

Per farlo, calcoliamo le misure dei tre lati AB, BC e CA (vedi punto 1.1 qui in alto). Eleviamo i tre valori al quadrato e verifichiamo se la somma dei quadrati dei due lati minori sia pari al quadrato del lato maggiore. In caso affermativo, il triangolo è effettivamente rettangolo e i due lati minori risultano essere i cateti.

3.3 Verificare se vale il primo o il secondo teorema di Euclide.

Certo, si può, ma richiede un sacco di lavoro aggiuntivo. Vale davvero la pena di soffrire così tanto? Comunque, se proprio si deve, è sufficiente proseguire la lettura ai punti 4 e 5 qui di seguito, per trovare le formule per il calcolo di altezze e proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

4. Individuare il piede delle altezze su ciascuno dei tre lati

Chiamando \mathsf {H_{AB}, H_{BC}, H_{CA}} i piedi delle altezze rispettivamente relative ai lati AB, BC e CA, potremo individuare le coordinate di tali punti utilizzando la formula della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data.

Ad esempio, per individuare il punto \mathsf H_{AB}, scriviamo innanzitutto l’equazione del fascio proprio di rette passanti per C:

\mathsf{y - y_C = m\cdot (x - x_C)}

Come coefficiente angolare sceglieremo l’antireciproco di \mathsf{m_{AB}} (vedi punto 3.1 più in alto in questo articolo).

Abbiamo quindi individuato l’equazione della retta che contiene l’altezza relativa al lato AB:

\mathsf {\displaystyle{y - y_C = - \frac{1}{m_{AB}}\cdot (x - x_C)}}

Mettiamo tale equazione a sistema con l’equazione della retta passante per i punti A e B, che è data da:

\mathsf {\displaystyle{y - y_A = m_{AB}\cdot (x - x_A)}}

Risolvendo il sistema di due equazioni nelle incognite x e y troviamo le coordinate del punto \mathsf{H_{AB}} cercato.

Analogamente si procede per i piedi delle altezze relative agli altri due lati.

5. Calcolare la misura delle altezze e delle proiezioni dei due dei lati sul terzo lato

Una volta trovato il punto \mathsf{H_{AB}} (paragrafo 4 qui in alto), possiamo applicare le formule della distanza fra due punti (vedi punto 1.1 più in alto in questo articolo) per calcolare rispettivamente:

  • l’altezza relativa al lato AB (distanza fra C e \mathsf{H_{AB}})
  • la proiezione di AC su AB (distanza fra A e \mathsf{H_{AB}})
  • la proiezione di BC su AB (distanza fra B e \mathsf{H_{AB}})

Tali valori potranno essere utilizzati fra l’altro per verificare la validità o meno del primo o del secondo teorema di Euclide (vedi punto 3.3 più in alto).

6. Rimandare il resto dell’elenco ad un prossimo articolo.

Del quale, non appena sarà pronto, troverete proprio qui il giusto link.

Se avete osservazioni, commenti, obiezioni, consigli o errori da segnalare, non esitate a lasciare i vostri commenti!

Alla prossima conclusione di questo non breve elenco di tutte le cose che possiamo fare conoscendo i tre vertici di un triangolo!

#graziedellalettura #artedienumerare #stililetterari #buonanno #buonannonuovo #buon2019

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