Un’altra parola nuova: “Autosomiglianza”

Quando in una struttura si riscontra la ricorrenza di forme simili su scale diverse, si parla di autosomiglianza.

È ciò che accade ad esempio nel caso dei frattali, ma ne abbiamo anche esempi magari meno perfetti ma molto evocativi in natura: si pensi alla disposizione “aurea” dei semi di girasole o allo sviluppo dei rami e delle foglie in un albero, ma anche, non deve certo sorprendere, alla conformazione delle linee costiere.

foto Pixabay, ph. rafixx

Uno dei modelli più semplici da descrivere, e che troviamo quindi in ogni buon libro di analisi matematica, è la cosiddetta curva di Koch, che si può descrivere come limite di una successione di curve chiuse: a partire da un triangolo equilatero, ad ogni passo si “raffina” (o si complica!) ogni lato in questo modo:

  • dividiamo il lato in tre parti uguali
  • sostituiamo la parte centrale con gli altri due lati del triangolo equilatero di cui essa è la base

Curva di Koch: un esempio di autosomiglianza

Disegniamo i primi passi per “costruire” (sarebbe meglio dire “indicare”) la curva di Koch. I primi due sono figure note: un triangolo equilatero e poi la classica “stella a sei punte”, dopo di che le cose si complicano un pochino, sempre di più…

Ecco il mio fatto a mano, soltanto i primi tre step (senza compasso e un po’ raffazzonati, mi scuserete?). Provate anche voi: più che un esercizio di geometria sembra uno studio di “codice Morse”: divertente!

Qui come in quasi tutti i casi, l’autosomiglianza si applica soltanto localmente (per piccoli tratti) e non sull’intera figura: un buon esempio per familiarizzare con questo arzigogolato concetto.

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