Da Brahmagupta a Erone … passando per Al-Kashi e Carnot!

Certi anacronismi o antistoricismi della nostra storia della matematica (dove “nostra” è spesso la storia, più che la matematica), rivelano l’imbarazzo contemporaneo di ammettere i danni culturali che indubbiamente hanno causato diversi secoli di omertoso silenzio riguardo ai rapporti tra Oriente e Occidente nel cosiddetto “oscuro medioevo”. Oscuro, forse, ma sicuramente anche molto, troppo oscurato!

Così, cercando una dimostrazione della famosa Formula di Erone (I secolo d.C.) per il calcolo dell’area di un triangolo, trovo che essa si dimostra facilmente a partire dell’analoga Formula di Brahmagupta (VII secolo d.C.) relativa all’area di un quadrilatero inscritto in un cerchio. Quest’ultima a sua volta viene abbastanza facilmente dimostrata utilizzando le formule trigonometriche di Al-Kashi (XIV secolo d.C.) e Carnot (XIX secolo d.C.)!

Ora, nel caso in cui la matematica, per quanto applicata alle datazioni storiche, abbia ancora il privilegio di non essere un’opinione, in questo excursus logico-storico c’è qualcosa che fortemente non torna.

D’accordo, l’ottimo Brahmagupta indù (vero “inventore dell’algebra”, da cui procederà per traduzione l’operoso musulmano prestato alla Bayt al Hikma di Baghdad, Al-Khwarizmi) dimostra, non sappiamo come, l’analoga formula per l’area del quadrilatero inscritto in un cerchio per poi osservare che ponendo uno dei lati uguale a zero si ritrova l’evidentemente già nota formula di Erone.

Una dimostrazione con dei limiti

Apro un inciso: per porre uno dei lati uguale a zero bisogna fare un’operazione di passaggio al limite, almeno se la dimostrazione è quella che noi conosciamo e che illustreremo a breve. Tale dimostrazione, come vedremo, richiede infatti di scomporre il quadrilatero in due triangoli che non possono essere ridotti a segmento, pena il venir meno della costruzione.

D’altra parte Brahmagupta è nientemeno che l’inventore dello zero e dell’infinito matematici, anche se il perfezionismo formale nostrano gli nega l’onore di aver se non altro intuito il concetto di passaggio al limite. Eppure questo “passaggio al limite” dal quadrilatero inscritto al triangolo di Erone sembrerebbe smentire ogni accusa di ingenuità nei suoi confronti.

La formula di Brahmagupta, passando per Al-Kashi e Carnot

Procediamo con ordine e incominciamo con l’esporre la formula di Brahmagupta per il calcolo dell’area di un quadrilatero inscritto in un cerchio. Tale formula è molto bella e conferma il carattere molto particolare dei quadrilateri inscritti in un cerchio.

Chiamando Q l’area del quadrilatero, a, b, c, d le misure dei quattro lati  e p il semiperimetro \displaystyle \mathsf{\frac{a+b+c+d}{2}}, abbiamo:

\displaystyle \mathsf{Q = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}

La dimostrazione con Al-Kashi e Carnot

La dimostrazione della formula di Brahmagupta chiama in causa le seguenti proprietà geometriche e trigonometriche:

👩🏽‍🏫 Proprietà dei quadrilateri inscritti in un cerchio: la somma di angoli interni opposti è sempre 180° (in altre parole gli angoli interni opposti sono supplementari tra di loro)

👩🏽‍🏫👩🏽‍🏫 “Formula di Al-Kashi” per l’area del triangolo: l’area T di un triangolo è data dalla metà del prodotto delle misure di due lati, per il seno dell’angolo compreso. Ad esempio dette a, b le misure di due lati e chiamato α l’angolo compreso, si ha:

\displaystyle \mathsf{T = \frac{1}{2}a \cdot b\cdot sin\alpha}

👩🏽‍🏫👩🏽‍🏫👩🏽‍🏫 “Formula di Carnot” o teorema di Pitagora generalizzato. Ne abbiamo parlato anche in questo articolo.

Ma quindi, questa dimostrazione?

demo brahmagupta.PNG
realizzato con Geogebra – ilripassinodimatematica.com

Per procedere con la dimostrazione, chiamiamo a, b, c, d le misure dei quattro lati del quadrilatero, evidenziamo un angolo interno α e il suo opposto 180° – α e tracciamo infine la diagonale e opposta ad α e 180° – α (vedi figura in alto).

Abbiamo ottenuto due triangoli BCD di lati a, b, e e ABD di lati c, d, e.

Chiamiamo T’ e T” le aree dei due triangoli BCD e ABD.

Per la formula di Al-Kashi (👩🏽‍🏫👩🏽‍🏫) avremo:

\displaystyle \mathsf{T' = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin\alpha} e \displaystyle \mathsf{T'' = \frac{1}{2} \cdot c \cdot d \cdot sin(180 - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot c \cdot d \cdot sin \alpha }

da cui, sommando e raccogliendo possiamo ottenere un’espressione della superficie Q del quadrilatero:

📌 \displaystyle \mathsf{Q = T' + T'' = \frac{1}{2} \cdot (ab + cd)\cdot sin\alpha}

Elaboriamo ancora un po’ questa formula, elevando entrambi i membri al quadrato e sostituendo \displaystyle \mathsf{sin^{2}\alpha} con \displaystyle \mathsf{1 - cos^{2}\alpha}. Avremo:

\displaystyle \mathsf{Q^2 = \frac{1}{4} \cdot (ab + cd)^2 \cdot (1 - cos^{2}\alpha)}

da cui, scomponendo la differenza di quadrati:

📌📌 \displaystyle \mathsf{Q^2 = \frac{1}{4} \cdot (ab + cd)^2 \cdot (1 - cos\alpha)(1+cos\alpha)}

Ci appuntiamo questa identità che riprenderemo fra poco. Vediamo ora come utilizzare il teorema di Carnot per ricavare un’espressione di cosα da sostituire nella formula appena scritta:

Cominciamo con l’esprimere la diagonale e in funzione dei lati e angoli del quadrilatero, in due modi diversi in modo da poterli poi confrontare.

Lavorando sul triangolo T’ abbiamo:

👨🏽‍🏫 \displaystyle \mathsf{e^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot cos\alpha}

\displaystyle \mathsf{e^2 = c^2 + d^2 - 2cd\cdot cos(180 - \alpha)}, da cui:

👨🏽‍🏫👨🏽‍🏫 \displaystyle \mathsf{e^2 = c^2 + d^2 + 2cd\cdot cos\alpha}

Confrontando le identità 👨🏽‍🏫 e 👨🏽‍🏫👨🏽‍🏫 possiamo ricavare un’espressione di cosα.

Cominciamo uguagliando le due espressioni del quadrato di e:

\displaystyle \mathsf{a^2 + b^2 - 2ab\cdot cos\alpha = c^2 + d^2 + 2cd\cdot cos\alpha}

Isoliamo i termini in cosα e raccogliamo opportunamente:

\displaystyle \mathsf{2\cdot (ab + cd) cos\alpha =a^2 + b^2 - (c^2 + d^2)}

da cui:

📌📌📌 \displaystyle \mathsf{cos\alpha ={a^2 + b^2 - (c^2 + d^2) \over 2\cdot (ab + cd)}}

E ora viene il bello: unire i due composti e mescolare!

Riprendiamo la formula 📌📌 e confrontiamola con la 📌📌📌. Sostituendo l’espressione di cosα otteniamo:

\displaystyle \mathsf{Q^2 = \frac{1}{4} \cdot (ab + cd)^2 \cdot \bigg(1 - {a^2 + b^2 - (c^2 + d^2) \over 2\cdot (ab + cd)} \bigg) \bigg( 1+{a^2 + b^2 - (c^2 + d^2) \over 2\cdot (ab + cd)} \bigg) }

Cominciamo a portare le due parentesi a comune denominatore. Otteniamo:

\displaystyle \mathsf{Q^2 = \frac{1}{4} \cdot (ab + cd)^2 \cdot {2ab + 2cd - (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) \over 2\cdot (ab + cd)}\cdot {2ab + 2cd + a^2 + b^2 - (c^2 + d^2) \over 2\cdot (ab + cd)}}

e semplificando i denominatori:

\displaystyle \mathsf{Q^2 = \frac{1}{16} \cdot \big( 2ab + 2cd - (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) \big) \cdot \big(2ab + 2cd + a^2 + b^2 - (c^2 + d^2) \big)}

A questo punto, riordinando opportunamente i termini dei due fattori e ricordando l’espressione del quadrato di un binomio possiamo scrivere:

\displaystyle \mathsf{Q^2 = \frac{1}{16} \cdot \big( (c + d)^2 - (a-b)^2 \big) \cdot \big((a+b)^2 - (c - d)^2 \big)}

Infine, applichiamo opportunamente la regola di scomposizione della differenza di due quadrati, per ottenere:

📌📌📌📌 \displaystyle \mathsf{Q^2 = \frac{1}{16} \cdot (c + d - a + b) \cdot (c + d + a - b) \cdot (a + b - c + d) \cdot (a + b + c - d)}

Ci siamo quasi! Osserviamo ora che:

👩🏼‍🏫 \displaystyle \mathsf{(c + d - a + b) = 2p - 2a = 2\cdot (p - a)}

👩🏼‍🏫👩🏼‍🏫 \displaystyle \mathsf{(c + d + a - b) = 2p - 2b = 2\cdot (p - b)}

👩🏼‍🏫👩🏼‍🏫👩🏼‍🏫 \displaystyle \mathsf{(a + b - c + d) = 2p - 2c = 2\cdot (p - c)}

👩🏼‍🏫👩🏼‍🏫👩🏼‍🏫👩🏼‍🏫 \displaystyle \mathsf{(a + b + c - d) = 2p - 2d= 2\cdot (p - d)}

Sostituendo le quattro espressioni nella formula 📌📌📌📌 arriviamo finalmente alla nostra conclusione attesa:

\displaystyle \mathsf{Q = \sqrt{(p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c) \cdot (p - d)}}

Ed eccoci ad Erone!

Dalla Formula di Brahmagupta, come dicevamo, è sufficiente “settare a 0” uno dei quattro valori a, b, c, d per ottenere l’analoga formula di Erone per il triangolo (il quale è sempre inscrivibile in una circonferenza!):

\displaystyle \mathsf{T = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}}

Quale che fosse la sensibilità o il rigore matematico di Brahmagupta, resta interessante notare come egli utilizzi la formula, una volta costruita, come una “macchina astratta” nella quale inserire numeri a piacere. Direi un bel grado di astrazione per un “primitivo” e pure “medievale” del continente indiano! Voi che ne dite?

#ditelavostra #icontitornano #glianninontornano #comevolevasidimostrare

 

 

 

 

 

 

 

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