Passeggiando con l’ombrello sotto la pioggia, a volte mi rimbalzano i pensieri e così mi ritrovo a farmi domande senza senso come ad esempio: “come si misura la distanza fra due numeri interi, se invece della successione di Peano adotto una successione definita a pezzi, del tipo:

s(1) = avanti di 4

s(2) = indietro di 2

s(3) = avanti di 7

s(4) = indietro di 1

⁉️”

Ovvero, beninteso, diamo per assodato che stiamo parlando della sequenza degli interi, così come li abbiamo enumerati e nominati da millenni, certo. Ma come nel caso della notazione, che può variare da decimale a binaria a quel che vogliamo, possiamo “riordinare” la sequenza dei numeri con una nuova regola di successione, come quella che ho scritto sopra?

Diamo un nome alla nostra invenzione

Lo potremmo ad esempio chiamare il “passo del clown”, quello che fa finta di essere ubriaco, naturalmente.

Si intende che il passo s(k) sarà equivalente al passo s(k4+1) dove indico con k4 la classe di resto di k modulo 4.

Abbiamo allora definito una sequenza nuova di numeri, anzi più di una visto che variando il numero di partenza e/o lo step di partenza ottengo sequenze potenzialmente diverse tra loro.

Il “passo del clown” – come funziona?

Proviamo a fare un esempio: ci farà comodo l’insieme Z dei relativi, altrimenti già siamo fritti al secondo step. Partiamo da 1 e vediamo quali numeri riusciamo a raggiungere procedendo per k crescenti a partire da s(k), per k = 1,2,3 e 4.

Step di partenza s(1):

Ottengo la sequenza  1 / 5 / 3 / 10 / 9 / 13 / 11 / 18 / 17 / …

Step di partenza s(2):

Ottengo  1 / -1 / 6 / 5 / 9 / 7 / 14 / 13 / 17 / 15 / 22 / …

Step di partenza s(3):

Ottengo la sequenza  1 / 8 / 7 / 11 / 9 / 16 / 15 / 19 / 17 / …

Step di partenza s(4):

Ottengo  1 / 0 / 4 / 2 / 9 / 8 / 12 / 10 / 17 / 16 / …

L’importante è avere le idee chiare!

Capito perchè è bella la sequenza dei numeri? Lì è tutto semplice, trasparente: a ogni numero il suo successore e a ogni successore il suo predecessore. Niente doppioni, niente ambiguità.

Con il passo del clown, le cose cambiano: a quanto pare non tutti i successori di 1 possono essere rappresentati a partire dall’1 (domanda per voi: potranno essere tutti rappresentati andando anche “all’indietro”? A partire da numeri diversi?).

Inoltre nella sequenza naturale dei numeri, è facile definire la distanza: si tratta di sapere quanti “passi” separano il primo numero dal secondo. Ad esempio la distanza tra 1 e 8 è di 7 passi nella sequenza naturale dei numeri. Ma col passo del clown cosa succede?

Prendiamo le distanze, definiamo un criterio!

Con il passo del clown, la funzione “successivo” non è più iniettiva: torniamo ai nostri esempi e ci renderemo conto che per passare – per esempio – da 1 a 8 posso impiegare un solo passo (s3), oppure impiegarne 5 (s4), oppure potrei persino non arrivarci mai (s1/s2), anche se quest’ultimo caso, per il vero, è tutto da verificare (vedi domanda per voi nel paragrafo precedente). Metto comunque le mani avanti e definisco “distanza infinita” quella tra due numeri che non si possono reciprocamente raggiungere con il passo del clown, mentre definisco la distanza tra due numeri che si possono reciprocamente raggiungere come il minimo numero di passi sufficiente a tale scopo, scegliendo opportunamente lo step di partenza.

E ora viene il bello, si dia il via alle danze!

E quindi, ora che il criterio è definito, possiamo chiederci se valgono le normali proprietà della distanza. Sarà valida la disuguaglianza triangolare? La distanza fra 1 e 8 è uguale alla distanza fra 8 e 1? Devo aggiungere precisazioni alla mia definizione? Quali altre proprietà avrà? E che ruolo diamo a quei numeri speciali che fanno da “nodi”, quelli che tra di loro sono distanti come la somma algebrica degli step? Gli diamo un nome? Ci serviranno in qualche modo?

Cari lettori, vi ho annoiato abbastanza con questa storia: alla prossima passeggiata nella pioggia*, l’ardua sentenza!

*⛈️☔⛆🌈 con il #passodelclown(C), naturalmente!

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