Costruzione geometrica del M.C.D. di 1001 e 434 - disegnato con Geogebra a cura de ilripassinodimatematica.com

Dalle frazioni continue al MCD – passando per Q

Il titolo già fa scappare, vi capisco. Non avevo in programma di scrivere questo articolo ma stimoli vari mi hanno spinto ad aprire un altro file – o filone di pensiero.

Sono incidentalmente incappata nell’argomento delle frazioni continue recentemente, organizzando una conferenza interdisciplinare sul grande, eclettico e da diversi punti di vista incompreso Omar Khayyam. Egli usa le frazioni continue come strumento di approssimazione successiva per il calcolo del calendario astronomico quasi-perfetto, che richiese anni di lavoro a un’intera équipe di scienziati per poi restare – almeno «politicamente» – nel non-manifestato, viste le cruente vicende che già allora turbavano la vita pubblica e privata delle nazioni e dei popoli. Correva il secolo XI dell’era cristiana – IV secolo del calendario islamico, e la matematica cominciava pian pianino ad assomigliare a quella che intendiamo oggi.

Incuriosita dalle affascinanti proprietà di questo tipo di frazioni, sono andata ad approfondire l’argomento e dopo pochi secondi ho capito che sarebbe stato uno di quelli che occuperà molte pagine di questo umile blog. A piccole razioni, siamo razionali! O almeno per oggi. In questo articolo infatti resteremo rigorosamente in Q, riprendendo quella bella proprietà che così recita

Ogni frazione \displaystyle \frac{p}{q} può essere scritta come frazione continua finita.

Che cosa siano le frazioni continue, lo potete facilmente sfogliare su Wikipedia, che in fatto di matematica se la cava egregiamente, oppure in caso di estrema pigrizia potete dedurlo intuitivamente dal seguito dell’articolo.

Facciamo un esempio o due, o anche tre

Esempio Uno

Ho la frazione \displaystyle \frac{147}{343} e voglio scriverla come frazione continua.

Procederò in questo modo: innanzitutto, riscrivo la frazione invertendo il rapporto (se la frazione fosse impropria, questo passaggio non sarebbe necessario)

\displaystyle \frac{147}{343} \ = \ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{343}{147}}

Ora ho una frazione impropria al denominatore: la scompongo nella forma intero + frazione propria. Ottengo:

\displaystyle \frac{147}{343} \ = \ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{343}{147}}\ = \ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle 2 \ + \ \displaystyle \frac{49}{147}}

A questo punto voglio ribaltare la nuova frazione \displaystyle \frac{49}{147} e scomporla ancora una volta in intero + frazione propria al denominatore della nuova frazione. Ottengo:

\displaystyle \frac{147}{343} \ = \ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{343}{147}}\ = \ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle 2 + \displaystyle \ \frac{1}{\displaystyle \frac{147}{49}}}\ = \ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle 2 + \displaystyle \ \frac{1}{3}}

Ci siamo fermati: 147 è multiplo di 49 e la loro divisione dà 3 senza ulteriori resti.

Annotatevi questo risultato: lo riprenderemo, prima o poi!

Proviamo con un altro esempio: questa volta una frazione impropria:

Esempio Due

Consideriamo la frazione \displaystyle \frac{721}{53}.

Applicheremo lo stesso procedimento visto prima, ma questa volta partiremo dalla scomposizione della frazione impropria in intero + frazione propria:

\displaystyle \frac{721}{53}\ = \ \displaystyle 13 + \frac{31}{53},

Cominciamo quindi la catena di trasformazioni, come sempre ribaltando la frazione propria e trasformando la nuova frazione impropria trovata in parte intera + frazione propria.

Quando ci fermeremo? Ci fermeremo quando la frazione impropria residua sarà una frazione unitaria oppure una frazione equivalente a una frazione unitaria (segnatevelo da qualche parte: ci servirà nel seguito!).

Siete pronti quindi? Procediamo con i calcoli!

\displaystyle \frac{721}{53}\ = \  13 + \frac{31}{53} \ = \ 13 + \frac{1}{\displaystyle \frac{53}{31}}\ = \ 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{22}{31}}\ = \ 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle \frac{31}{22}}}

Proseguendo ancora avremo

\displaystyle \ 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{9}{22}}} \ = \ 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle \frac{22}{9}}}} \ = \ 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{4}{9}}}}

e per  avvicinarci al termine dei nostri calcoli troviamo

\displaystyle 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{4}{9}}}} \ = \ 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{\displaystyle \frac{9}{4}}}}} \ = \ 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{4}}}}}

Abbiamo trovato infine la frazione unitaria \displaystyle \frac{1}{4} e quindi ci fermiamo. Riepilogando, la nostra scomposizione in frazione continua avrà il seguente aspetto:

\displaystyle \frac{721}{53} \ = \ 13 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{4}}}}}

Un ultimo esempio per essere sicuri di aver capito:

Esempio Tre

Trasformiamo in frazione continua la frazione impropria \displaystyle \frac{1001}{434}.

Avremo

\displaystyle \frac{1001}{434} \ = \ 2 + \frac{133}{434} \ = \ 2 + \frac{1}{\displaystyle \frac{434}{133}} \ = \ 2 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{35}{133}}

e procedendo

\displaystyle 2 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{35}{133}} \ = \ 2 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle \frac{133}{35}}} \ = \ 2 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{28}{35}}} \ = \ 2 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle \frac{35}{28}}}}.

Avvicinandoci al termine della scomposizione otteniamo

\displaystyle  2 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle \frac{35}{28}}}} \ = \ 2 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{7}{28}}}}

Notiamo a questo punto che la frazione \displaystyle \frac{7}{28} si può ridurre a una frazione unitaria dividendo per 7 numeratore e denominatore. Annotatevi questo dato perché servirà nel seguito!

Procedendo con la riduzione, troviamo una frazione unitaria e quindi abbiamo finito. Otteniamo:

\displaystyle \frac{1001}{434} \ = \ 2 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{4}}}}

Facciamo un breve punto dopo questi tre esempi

👉Nell’ Esempio Uno, avevamo una frazione propria. L’abbiamo ribaltata per trattarla come frazione impropria evidenziando una parte intera e una nuova frazione al denominatore, procedendo poi fino a che abbiamo trovato una frazione equivalente a una frazione unitaria. Il termine che abbiamo semplificato era 49.

👉👉Nell’ Esempio Due, avevamo una frazione impropria. Abbiamo quindi cominciato subito con l’estrapolare una parte intera, lavorando poi la frazione propria residua come nell’ Esempio Uno. In questo caso ci siamo fermati quando abbiamo trovato, senza la necessità di semplificare, una frazione unitaria.

👉👉👉Nell’ Esempio Tre, avevamo ancora una funzione impropria. Abbiamo quindi proceduto come nell’ Esempio Due. Nell’ultimo passaggio però, come nell’ Esempio Uno, abbiamo semplificato il multiplo comune di numeratore e denominatore per poi fermarci, avendo trovato una frazione unitaria. Il valore semplificato era 7.

State cominciando ad intuire qualche cosa?

Il titolo dell’articolo dovrebbe mettervi sulla buona strada: qualcuno aveva detto MCD?

Andiamo a ben guardare, e troveremo che 49 è proprio il Massimo Comune Divisore fra 147 e 343.

721 e 53 invece sono relativamente primi, e quindi ci sta che si arrivi dritti dritti a una frazione unitaria.

Infine, 1001 e 434 hanno come MCD proprio il numero 7.

Morale della favola

Se avete due numeri grandi a piacere e volete trovare facilmente il loro MCD, potete usare il metodo della frazione continua: semplificate soltanto l’ultima frazione, quella equivalente a una frazione unitaria, ed ecco il vostro MCD!

Infine, il classico «esercizio lasciato al lettore»

Che cosa antipatica, lasciare le dimostrazioni per esercizio al lettore. A me ha sempre dato l’idea che l’autore che così si comporti non sia in realtà sicuro di esser capace di dimostrare ciò che ha baldanzosamente affermato (e che probabilmente anche lui/lei ha trovato e studiato a suo tempo in un libro dove già la dimostrazione era lasciata al lettore… un ben strano tramandare!).

Mi è così antipatica che non lo faccio. Vi dimostro tutto, o almeno ve lo mostro con disegni e schemini. Ma che cosa vi devo dimostrare?

Vi ricordate il «Crivello di Euclide» o altrimenti detto, arabeggiando, l’«Algoritmo di Euclide»?

Lo si disegna bene su di un rettangolo che abbia i lati di lunghezza pari ai due numeri di cui vogliamo calcolare il Massimo Comune Divisore (il quale – repetita juvant – ricordiamo che altro non è se non il più grande intero che divide entrambi i numeri).

👉Attenzione e facciamo il punto prima di proseguire oltre!

Il Massimo Comune Divisore di due numeri è il più grande intero che divide entrambi i numeri. Non tragga in inganno il nome: essendo un Divisore, esso sarà per forza minore o uguale rispetto al più piccolo dei due numeri dati; si chiama Massimo perchè, di tutti i divisori comuni possibili, prendiamo in considerazione il più grande. Ma sempre divisore resta!

E disegnamo dunque il rettangolo invocato: prendiamo quello di lati 1001 e 434, in modo da poter fare il confronto con l’ Esempio Tre. Togliendo via via quadrati come nella figura, si arriva a un quadrato minimo che riempie un numero intero di volte l’ultimo rettangolo residuo. Questa procedura geometrica rispecchia esattamente l’andamento della costruzione della frazione continua:

Costruzione geometrica del M.C.D. di 1001 e 434 - disegnato con Geogebra a cura de ilripassinodimatematica.com
Costruzione geometrica del M.C.D. di 1001 e 434 – disegnato con Geogebra a cura de ilripassinodimatematica.com

Che altro dire? La corrispondenza con il crivello di Euclide, questa davvero, la lascio per esercizio all’incauto lettore!

#unesercizioalgiorno #levaillettoreditorno #nonscappateperò

Annunci

Lascia un commento

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione /  Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione /  Modifica )

Connessione a %s...

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.