Recidiva ma non frettolosa, prima di arrivare al nocciolo della mia questione latente, estendo – come arte matematica vuole – la primitiva domanda Come si comportano le potenze di 10 modulo sette e mi riprometto in queste righe, poche o tante che saranno, di passare in rassegna come si comportano le potenze di 10 anche nell’aritmetica modulo 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9.

Vediamo quindi

Le potenze di dieci

modulo 2

10 : 2 = 5 con resto 0

Quindi tutte le potenze strettamente positive di 10 sono 0 modulo 2, mentre 10^0 = 1 e ovviamente 1 resta.

Per quanto riguarda le potenze negative, in realtà vi è il problema che la divisione per 10 in modulo due è equivalente a una divisione per zero, quindi impossibile. Infatti il 10 (e tutte le sue potenze), essendo pari, è congruo a 0 modulo 2.

Modulo 3

10 : 3 = 3 con resto 1, quindi 10 ≡ 1 mod 3

Di conseguenza tutte le potenze maggiori o uguali a 0 sono congrue a 1 modulo 3.

Vediamo le potenze negative:

1 : 10 ≡ 10 : 10 mod 3 [ho aggiunto 9 al dividendo] ≡ 1 mod 3

Ho quindi verificato che anche tutte le potenze negative danno 1 nel quoziente modulo 3. Insomma… un mondo di uni.

Modulo 4

10 : 4 ≡ 2 mod 4

10^2 ≡ 2^2 mod 4 ≡ 0 mod 4

Queste due informazioni mi dicono che tutte le potenze positive di esponente maggiore o uguale a 2 saranno congrue a 0, mentre la prima potenza di dieci è congrua a 2 e la potenza di esponente zero è come sempre congrua a 1.

Per quanto riguarda la divisione, essendo il 2 (rappresentante del 10) un divisore dello zero, ed essendo tutte le potenze di grado più alto congrue a 0, la divisione per 10 e per le sue potenze non è possibile in aritmetica modulo 4.

Modulo 5

Potenze con esponenti strettamente maggiori di zero: come per il modulo 2, il risultato sarà sempre 0 modulo 2.

Come nel caso del 2, essendo il 10 nella classe dello 0, la divisione per 10 e per le sue potenze è impossibile in aritmetica modulo 5.

Modulo 6

10 : 6 = 4 mod 6 … finalmente succede qualcosa di non triviale!

10^2 ≡  4^2 mod 6 ≡ 16 mod 6 ≡  4 mod 6

… e indovina un po’, visto che 4^2 fa sempre 16 e quindi 4… tutte le potenze maggiori di zero saranno congrue a 4 nella divisione modulo 6.

Potenze negative:

Poichè il 4 è un divisore dello zero in aritmetica modulo 6, le potenze negative di 10 rappresentano una operazione impossibile in tale aritmetica.

 

Modulo 7

Ne abbiamo già parlato qui.

Modulo 8

Essendo otto il cubo di due, già mi immagino cosa succede.

Abbiamo 10 ≡ 2 mod 8; 100 ≡ 2^2 = 4 mod 8; 1000 ≡ 2^3 = 0 mod 8.

Siamo quindi di nuovo ai divisori dello zero; tutte le potenze di dieci dalla terza in poi saranno congrue a 0, e le potenze negative di dieci non si potranno esprimere in quanto il 10 appartiene alla classe di un divisore dello zero, ovvero la divisione per 10 è impossibile in aritmetica modulo 8.

Modulo 9

Come nel caso del 3 e ancora più facile: abbiamo

10 ≡ 1 mod 9, quindi tutte le potenze di dieci, positive, negative o nulle, saranno congrue a 1 modulo 9.

Ecco qua, la completezza della trattazione anche stavolta è salvaguardata.

A presto per un approfondimento sugli strampalati criteri di divisibilità per sette.

#staytuned #ditelavostra #aritmeticamodulare