Quando non sai come passare il tempo libero e allora ti interroghi su qualcosa che sicuramente è già stato ampiamente studiato, ma tu non lo sai. Ad esempio, sul come si comportano le potenze di 10 nella divisione modulo 7.

La domanda per me ha una relazione con il fatto che secondo Luca Pacioli, la «prova del 7» nelle operazioni aritmetiche è molto più affidabile che non la «prova del 9», ma non viene utilizzata per il fatto che il criterio di divisibilità per 7 è praticamente inesistente. Ma allora – si chiese la nostra redattrice – se si riuscisse a trovare non una vera e propria regola ma almeno una «regolarità», non sarebbe possibile comunque applicare la pacioliana più precisa prova? (4 p di seguito, «pago da bere» – solo soft drinks, naturalmente).

Ed eccomi qui a tentare una risposta. Ripeto: sono sicura che qualcun altro l’ha già data prima di me, non ho modo di andare a documentarmi se non in tempi asintotici, faccio prima a scrivere ex-novo, abbiate pazienza e se ne sapete più di me sono benvenuti i vostri commenti e suggerimenti bibliografici!

La «prova» delle operazioni aritmetiche

Prima dell’era delle calcolatrici e degli smartphone, le operazioni si facevano a mano per iscritto, il che era già un passo avanti rispetto all’abilità necessaria per il volatilissimo calcolo sull’abaco; anzi, potremmo pensare che forse i vari Al-Kindi, Al-Khwarizmi, Fibonacci – e un po’ prima di loro in India Brahmagupta e altri – abbiano pensato di inventare una scrittura dei numeri per non essere in balìa dell’aleatorietà dei calcoli sull’abaco, destinati a svanire passo dopo passo senza lasciare traccia delle «condizioni di partenza».

D’altra parte Leonardo Fibonacci era figlio di un mercante (vedi «Il metodo della falsa posizione e le origini dell’algebra moderna» per approfondimenti a riguardo), e nella decadenza delle generazioni, forse ha ritenuto che non fosse più l’epoca per affidare a qualcosa di tanto «volatile» i calcoli relativi alle complicatissime transazioni commerciali (a quel tempo complicatissime per la grande varietà di valute, unità di misura, lingue e modi di pensare, che allora molto più di oggi movimentavano la vita del Mediterraneo e di quel vasto mondo oggi chiamato le «Vie della Seta»).

Era quindi molto più urgente di oggi avere uno strumento per verificare la correttezza dei calcoli fatti. E anzi, lo era a maggior ragione quando i calcoli erano effettuati sull’abaco piuttosto che per iscritto.

Così abbiamo traccia che già nel III secolo il vescovo Ippolito parlasse di abjectio novenaria (fonte: soltanto Wikipedia, per il momento, e non me ne vanto!): «togliendo i nove» dai termini dell’operazione, ed operando sui resti rimasti (ovvero, diremmo oggi, in aritmetica «modulo 9»), il risultato che ottengo dev’essere il resto modulo 9 del risultato dell’operazione originaria.

Celebre a questo proposito l’esempio di Luca Pacioli, che considerando l’operazione

37 x 37 = 1369

osserva come sia possibile scomporla in

36 x 37 + 1 x 37

e ancora in

36 x 37 + 1 x 36 + 1

dopodichè i primi due termini, essendo multipli di 36 e quindi di 9, si possono eliminare nel processo di abjectio novenaria, e il risultato modulo 9 ottenuto nella moltiplicazione è pertanto 1.

Ora, il passaggio all’aritmetica modulare è una «prova» in senso lato, ovvero la concordanza tra il risultato dell’operazione e il risultato dell’analoga operazione sui resti è condizione necessaria ma non sufficiente per affermare che l’operazione di partenza sia corretta. Ovvero: se l’operazione sui resti non corrisponde, allora l’operazione originaria è sbagliata (oppure ho sbagliato a calcolare i resti!). Se invece l’operazione sui resti corrisponde, potrebbe comunque esserci una compensazione di errori nell’operazione originaria, tale da mascherarli nel passaggio all’aritmetica modulare.

Oggi che non ne abbiamo più bisogno per verificare i calcoli, le «prove del» diventano un argomento molto stimolante per introdurre l’artimetica modulare già a livello delle scuole elementari. Che ne dite?

L’artimetica modulare e le sue proprietà

La chiamano anche «aritmetica dei resti» o «aritmetica dell’orologio»… sì, perchè quando usiamo un orologio a lancette, e sono le 10.00, e ci dicono «ci vediamo fra tre ore», anche se possiamo sempre affermare che l’appuntamento è per le 13.00, sul nostro orologio a lancette dovremo ben attendere che la lancetta delle ore punti sul numero 1.

1 è infatti il resto di 13 nella divisione per 12, il numero di ore o di «spicchi» disponibili sul mio orologio.

Si verifica facilmente che l’aritmetica modulo un numero rispetta tutte le proprietà dell’aritmetica ordinaria: ovvero, se in una espressione aritmetica riduco tutti i termini modulo uno stesso numero, il risultato che ottengo è pari al risultato originario dell’espressione modulo quel numero.

Faccio piccoli esempi, approfittando con l’occasione per ripassare in rassegna le diverse proprietà delle operazioni aritmetiche:

Addizione

Ho l’addizione 39 + 51 = 90 e voglio ridurla modulo 6

Dovrò allora fare due divisioni intere con resto:

39 : 6 = 6 con resto 3 → Tengo da parte il 3

51 : 6 = 8 con resto 3 → Tengo da parte ancora il 3

Se ora addiziono i resti, ottengo 3 + 3 = 6, che modulo 6 dà resto 0.

Vediamo qual era il resto modulo 6 della somma originaria:

90 : 6 = 15 con resto 0 → L’invarianza è verificata

Ma noi non ci accontentiamo di un esempio, vero? Vorremo un ragionamento generale, che non dipenda dalla scelta dei numeri. Vediamo un po’:

Scriviamo in lettere la nostra addizione:

a + b = c 

Chiamiamo n l’argomento del modulo.

Avremo:

a = c⋅n + r(a) per qualche c≥0

e

b = d⋅n + r(b) per qualche d≥0

Se ora passiamo all’addizione, avremo:

a + b = c⋅n + r(a) + d⋅n + r(b) = c⋅n + d⋅n + r(a) + r(b) = (c+d)⋅n+ r(a) + r(b)

In questa formula leggiamo quindi che il resto modulo n della somma a + b è pari alla somma dei resti modulo n dei due addendi a e b.

Idem per la differenza, con le dovute accortezze, e visto che la moltiplicazione è un caso particolare di addizione, saltiamo a piè pari il discorso e – fidatevi – tutto funziona anche per la moltiplicazione. Per la divisione – che si riconduce alla differenza – bisogna soltanto avere l’accortezza di considerare la divisione intera con resto, dopodichè tutto procede con la stessa filosofia.

Le potenze di 10 modulo sette

Non chiedetemi perchè me ne occupo, ne parleremo magari in un altro post, ma l’argomento di questo articolo, di per sé, era molto semplice: come si comportano le potenze di 10 nell’aritmetica modulo 7. L’ho preso un po’ alla lontana, ma finalmente ci arriviamo.

Elenchiamone quindi qualcuna:

10^0 = 1 ≡ 1 (mod 7)

10^1 = 10  ≡ 3 (mod 7)

 

… un momento: abbiamo detto che il resto di un prodotto è uguale al prodotto dei resti, non è vero? Quindi invece delle potenze di 10 posso utilizzare le potenze di 3:

10^2 ≡ 3^2 (mod 7) ≡ 9 (mod 7) ≡ 2 (mod 7)

10^3 ≡ 3^3 (mod 7) ≡ 27 (mod 7) ≡ 6 (mod 7)

10^4 ≡ 3^4 (mod 7) ≡ 81 (mod 7) ≡ 4 (mod 7)

10^5 ≡ 3^5 (mod 7) ≡ 243 (mod 7) ≡ 5 (mod 7)

10^6 ≡ 3^5 ⋅ 3 (mod 7) ≡ 5 ⋅ 3 (mod 7) ≡ 15 (mod 7)  ≡ 1 (mod 7)

… e indovinate un po’? Dalla sesta potenza in poi si ripete il ciclo 1 – 3 – 2 – 6 – 4 – 5

Per le potenze negative, consideriamo la divisione per 10 invece della moltiplicazione:

10^(-1) = 1 : 10  ≡ 1 : 3 (mod 7) ≡ 36 : 3 (mod 7)  ≡ 5 (mod 7) [aggiungo multipli di 7 all’1 finchè trovo un numero divisibile per 3]

10^(-2) = (10^(-1))^2 ≡ 5^2 (mod 7) ≡ 25 (mod 7)  ≡ 4 (mod 7)

10^(-3) = (10^(-1))^3 ≡ 5^3 (mod 7) ≡ 125 (mod 7)  ≡ 6 (mod 7)

10^(-4) = (10^(-2))^2 ≡ 4^2 (mod 7) ≡ 16 (mod 7)  ≡ 2 (mod 7)

10^(-5) = 10^(-2) ⋅ 10^(-3)  ≡ 4 ⋅ 6 (mod 7) ≡ 24 (mod 7)  ≡ 3 (mod 7)

10^(-6) = (10^(-3))^2 ≡ 6^2 (mod 7) ≡ 36 (mod 7)  ≡ 1 (mod 7)

Vediamo quindi che le potenze negativo seguono lo stesso ciclo in senso inverso, il che vuol dire che nell’ordine delle potenze di 10 positive o negative, dalle potenze di esponente maggiore a quelle di esponente minore, avremo sempre la sequenza di resti … – 5 – 4 – 6 – 2 – 3 – 1 – 5 – 4 – 6 – 2 – 3 – 1 – … con un resto 1 corrispondente alla potenza 0, ovvero all’unità.

Vi convince il discorso fino a qui?

Spero di sì e per il momento non vi dico dove andiamo a parare, perchè il discorso si fa lunghino. Lo lascio a prossimi post, se l’ispirazione non mi va in vacanza!

#aritmeticadellorologio #modulosette #staytuned