Il metodo della falsa posizione e le origini dell’algebra moderna

Riprendo ancora il ricchissimo e affascinante articolo di Enrico Giusti su Fibonacci e la matematica medievale del Liber Abaci, per riproporre la parte che espone il metodo al tempo applicato nel mondo arabo-islamico, che Fibonacci chiama “della falsa posizione” – metodo per la soluzione di equazioni o sistemi di equazioni di primo grado, soltanto apparentemente “empirico” ma sicuramente lontano dall’approccio formale con il quale si affronta oggi tale tipo di problema (almeno sui banchi di scuola!). Ecco come scrive il Giusti:

Con il terzo paragrafo, che reca il titolo piuttosto anodino di “problemi di alberi, e simili”, si entra in¬†una delle regole centrali dell’aritmetica medievale: il metodo della falsa posizione. Questo opera¬†nella soluzione di equazioni di primo grado, del tipo cio√®¬†a x = b .

Per questo, si pone x=A (la falsa posizione); in generale il risultato aA sar√† diverso da b. Si dice¬†allora: per A che avevo posto, viene aA; quanto dovr√≤ porre affinch√© venga b? Algebricamente, la¬†risposta √® evidente: , come si poteva vedere fin dall’inizio risolvendo l’equazione proposta, e¬†anzi l’introduzione della quantit√† A sembra pi√Ļ complicare le cose che semplificarle. Dov’√® allora¬†l’interesse del metodo della falsa posizione?

“C’√® un albero, del quale¬†¬†1/3 e ¬†1/4¬†¬†¬†sono 21 palmi; si chiede quale sia la sua lunghezza”.

Per ridursi all’equazione bisogna eseguire la somma 1/3 + 1/4 = 7/12¬†¬†, e quindi trovare un numero tale che i suoi ¬†7/12¬†¬†siano uguali a 21, un problema quest’ultimo che non √® riconducibile allo schema delle proporzioni. Al contrario, una scelta oculata della falsa posizione (cio√® del numero¬†A) pu√≤ rendere il calcolo molto semplice. Supponiamo che la lunghezza sia 12; sommando¬†1/3 e 1/4¬†di 12 si ottiene 4+3=7. Si dir√† allora: se 12 mi d√† 7, quanto occorrer√† per avere 21? La risposta viene da un’applicazione molto semplice della regola del tre: il risultato voluto √® 12*21/7 = 36¬†. Cos√¨ la scelta di una conveniente falsa posizione (si sar√† notato che 12 √® divisibile sia per 3 che per 4) permette di evitare la somma delle frazioni 1/3¬†+ 1/4, e quindi in definitiva di semplificare i calcoli.

Sempre per mezzo della falsa posizione si risolvono problemi di numeri proporzionali, come quello di trovare tre numeri in proporzione geometrica la cui somma sia 10. Partendo da tre numeri qualsiasi in proporzione continua Рad esempio 1, 2 e 4, la cui somma dà 7 Рsi dirà: se 1 (il primo dei tre numeri) mi dà 7, cosa dovrò prendere per avere 10? La risposta è   , e i tre numeri sono  ,   e  .

Sempre per mezzo della falsa posizione si risolvono problemi di numeri proporzionali, come quello di trovare tre numeri in proporzione geometrica la cui somma sia 10. Partendo da tre numeri qualsiasi in proporzione continua Рad esempio 1, 2 e 4, la cui somma dà 7, si dirà: se 1 (il primo dei tre numeri) mi dà 7, cosa dovrò prendere per avere 10? La risposta è 10/7, e i tre numeri sono 10/7, 20/7 e 40/7.

La regola della falsa posizione fa emergere un punto importante nello studio dell’aritmetica¬†medievale: non sempre quello che √® semplice concettualmente, nel nostro caso, l’equazione¬†ax=b, lo √® anche algoritmicamente, soprattutto quando la mancanza di una notazione letterale¬†rende difficile vedere il permanere della struttura dietro la molteplicit√† dei problemi,¬†apparentemente tutti diversi tra loro. In effetti, la semplificazione introdotta dal metodo della falsa¬†posizione √® tale, che √® conveniente utilizzare anche una sua estensione, detta della doppia falsa¬†posizione o con voce araba “elcataym”, che consente di affrontare problemi che conducono a¬†un’equazione del tipo ax+c=b.

Un argomento che vale la pena di approfondire.

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