Santa pazienza!

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2
grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Restiamo sul tema Curriculum Inspirations #2, (http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf) da predigerire con meticolosa attenzione nella separazione degli aspetti degni di interesse.

Il primo è certamente quello dell’equazione con valori assoluti in due variabili proposta dal quesito:
|x+y|+|x-y|=2, di cui nell’ultimo post “Una funzione… quadrata”, http://wp.me/p2liCw-3I) abbiamo anticipato il grafico.

Stanton chiede per prima cosa: “che sensazione vi procura la vista di questa equazione?”
Ma noi non ci lasciamo impressionare.

La nostra reazione istintiva è semplicemente un ritroso “noooooo….”, dovuto a cosa?
Analizziamo freddamente:
– al fatto che ci sono i valori assoluti
– al fatto che ci sono due variabili
– al fatto che c’è una stuzzicante simmetria nella struttura dell’equazione, che promette artifici di calcolo e altre bizzarìe alle quali non riusciremo ad esimerci di sottoporci.

I valori assoluti.
Niente di che, c’è una semplice procedura standard per affrontarli. E’ solo lunga e potenzialmente noiosa. Fine.

Le due variabili.
Qui un appunto si, lo dobbiamo fare: chi ci ha mai abituato a lavorare con una sola equazione in due variabili? Ci mancano i riferimenti culturali di base: com’è fatto l’insieme delle soluzioni? Come lo si gestisce?
Reazione istintiva: Aiuto!! Ho un’equazione in due variabili, e niente con cui metterla a sistema!!

La stuzzicante simmetria.
E’ crudelissima, perchè ci stimola a cercare di affrontare l’equazione, ce la rende attraente, impedendoci di fuggire senz’altro indugio il fatidico quesito.

E’ a questo punto che scatta l’ingrediente segreto di ogni buon compito di matematica: la santa pazienza!
Armiamoci di santa pazienza, e – come dice Stanton – cominciamo a fare qualcosa.
Cosa?
Quello che normalmente si fa con i valori assoluti.
Esplicitiamo i diversi casi dei valori assoluti: si tratta di un’operazione puramente algebrica, e forse navigando nella nebbia di questa arriveremo anche a darci la risposta rispetto all’insieme delle soluzioni. Questa prassi di fiducia nella “leggibilità geometrica” del calcolo algebrico, in effetti va trasmessa agli studenti, poichè non è affatto istintiva nè scontata.
La vera lezione, ripetiamo, è la santa pazienza:
Esplicitiamo dunque le 2×2=4 equazioni in cui si scompone il valore assoluto a seconda dei casi:

Caso x+y>=0 e x-y>=0: l’equazione diventa (x+y)+(x-y)=2, ovvero 2x=2, ovvero x=1 …. wow!

Caso x+y>=0 e x-y<0: l’equazione diventa (x+y)+(y-x)=2 ovvero y=1 …. wow wow!

Caso x-y>=0 e x+y <0 : l’equazione diventa -(x+y)+(x-y) =2 ovvero y=-1

Caso x-y < 0 e x+y < 0 : l’equazione diventa -(x+y)-(x-y)=2, ovvero x=-1

Fino a qui, tutto bene: abbiamo ottenuto espressioni semplici: siamo galvanizzati e fiduciosi… ma allora cos’è questo senso di disagio che ancora ci vàriega?

Ma certo: siamo a disagio rispetto agli insiemi di validità delle quattro espressioni.

Allora, riprendiamo dalla cassetta degli attrezzi la santa pazienza e cominciamo ad analizzare il primo:

x+y>=0 e x-y>=0

anche qui le reazioni istintive ci tempestano immediatamente:
domanda 1: ma è possibile che siano vere contemporaneamente queste due espressioni? (Risposta: “lo scopriremo solo vivendo…”, ovvero, portando i calcoli fino in fondo)
domanda 2: ma come si gestisce una disequazione in due variabili? (Risposta lunga: se un’equazione in due variabili ha come insieme delle soluzioni una funzione con un grafico, la disequazione in due variabili avrà come insieme delle soluzioni la parte di piano soprastante o sottostante quel grafico. Risposta breve: la si risolve graficamente)

Quindi evviva, risolviamo graficamente!
… Come si fa?
Riprendiamo la risposta lunga alla domanda 2 e trasformiamola in procedura operativa:
1) Trovare le equazioni associate.
In questo caso sono x+y=0 (ovvero y=-x, bisettrice del II e IV quadrante) e x-y=0 (ovvero y=x, bisettrice del I e III quadrante).
2) Intersecare le parti del piano soprastanti i grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione “>=0” o sottostanti ai grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione <0.

Ma attenzione: quando consideriamo la disequazione, dobbiamo verificare che la sua forma corrisponda a quella dell’equazione associata, altrimenti rischiamo di sbagliare. Ad esempio, nel nostro primo caso la seconda disequazione è x-y >= 0 mentre la nostra equazione in forma esplicita è y=x : i segni delle y non corrispondono. Per poter valutare correttamente il semipiano da considerare nella risoluzione grafica, converrà portare la disequazione nella stessa forma esplicita dell’equazione associata, e visto che y era negativa, il verso della disequazione deve cambiare. Otterremo: y <= x, quindi il semipiano da considerare sarà quello sottostante e non soprastante il grafico dell’equazione.

E ci voleva tanto?

No, solo un po’ di tempo, calma e concentrazione per dedicarsi a questo in modo esclusivo.

Quindi, nel primo caso, intersechiamo il semipiano soprastante la bisettrice del II-IV quadrante con il semipiano sottostante (mi raccomando!!) la bisettrice del I-III quadrante. Otteniamo l’angolo retto compreso tra le due bisettrici contenente il semiasse x positivo.
L’insieme di validità della seconda equazione sarà invece l’angolo tra le due bisettrici contenente il semiasse y positivo. E così via fino a ricomporre tutti e quattro gli spicchi del quadrato.

Passarci un po’ di tempo, vale davvero la pena!

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