Archivio mensile:dicembre 2013

Buon Natale!

Buone Feste da trascorrere nella Pace e nella contemplazione e arrivederci nel nuovo anno.

A’ tous nos amis on souhaite un Joyeux Noel de Paix et de contemplation. A’ nous retrouver dans la nouvelle année.

We wish you all a Merry Christmas of Peace and contemplation, looking forward to meet again you all in the new year.

Santa pazienza!

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Restiamo sul tema Curriculum Inspirations #2, (http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf) da predigerire con meticolosa attenzione nella separazione degli aspetti degni di interesse.

Il primo è certamente quello dell’equazione con valori assoluti in due variabili proposta dal quesito:
|x+y|+|x-y|=2, di cui nell’ultimo post “Una funzione… quadrata”, http://wp.me/p2liCw-3I) abbiamo anticipato il grafico.

Stanton chiede per prima cosa: “che sensazione vi procura la vista di questa equazione?”
Ma noi non ci lasciamo impressionare.

La nostra reazione istintiva è semplicemente un ritroso “noooooo….”, dovuto a cosa?
Analizziamo freddamente:
– al fatto che ci sono i valori assoluti
– al fatto che ci sono due variabili
– al fatto che c’è una stuzzicante simmetria nella struttura dell’equazione, che promette artifici di calcolo e altre bizzarìe alle quali non riusciremo ad esimerci di sottoporci.

I valori assoluti.
Niente di che, c’è una semplice procedura standard per affrontarli. E’ solo lunga e potenzialmente noiosa. Fine.

Le due variabili.
Qui un appunto si, lo dobbiamo fare: chi ci ha mai abituato a lavorare con una sola equazione in due variabili? Ci mancano i riferimenti culturali di base: com’è fatto l’insieme delle soluzioni? Come lo si gestisce?
Reazione istintiva: Aiuto!! Ho un’equazione in due variabili, e niente con cui metterla a sistema!!

La stuzzicante simmetria.
E’ crudelissima, perchè ci stimola a cercare di affrontare l’equazione, ce la rende attraente, impedendoci di fuggire senz’altro indugio il fatidico quesito.

E’ a questo punto che scatta l’ingrediente segreto di ogni buon compito di matematica: la santa pazienza!
Armiamoci di santa pazienza, e – come dice Stanton – cominciamo a fare qualcosa.
Cosa?
Quello che normalmente si fa con i valori assoluti.
Esplicitiamo i diversi casi dei valori assoluti: si tratta di un’operazione puramente algebrica, e forse navigando nella nebbia di questa arriveremo anche a darci la risposta rispetto all’insieme delle soluzioni. Questa prassi di fiducia nella “leggibilità geometrica” del calcolo algebrico, in effetti va trasmessa agli studenti, poichè non è affatto istintiva nè scontata.
La vera lezione, ripetiamo, è la santa pazienza:
Esplicitiamo dunque le 2×2=4 equazioni in cui si scompone il valore assoluto a seconda dei casi:

Caso x+y>=0 e x-y>=0: l’equazione diventa (x+y)+(x-y)=2, ovvero 2x=2, ovvero x=1 …. wow!

Caso x+y>=0 e x-y<0: l’equazione diventa (x+y)+(y-x)=2 ovvero y=1 …. wow wow!

Caso x-y>=0 e x+y <0 : l’equazione diventa -(x+y)+(x-y) =2 ovvero y=-1

Caso x-y < 0 e x+y < 0 : l’equazione diventa -(x+y)-(x-y)=2, ovvero x=-1

Fino a qui, tutto bene: abbiamo ottenuto espressioni semplici: siamo galvanizzati e fiduciosi… ma allora cos’è questo senso di disagio che ancora ci vàriega?

Ma certo: siamo a disagio rispetto agli insiemi di validità delle quattro espressioni.

Allora, riprendiamo dalla cassetta degli attrezzi la santa pazienza e cominciamo ad analizzare il primo:

x+y>=0 e x-y>=0

anche qui le reazioni istintive ci tempestano immediatamente:
domanda 1: ma è possibile che siano vere contemporaneamente queste due espressioni? (Risposta: “lo scopriremo solo vivendo…”, ovvero, portando i calcoli fino in fondo)
domanda 2: ma come si gestisce una disequazione in due variabili? (Risposta lunga: se un’equazione in due variabili ha come insieme delle soluzioni una funzione con un grafico, la disequazione in due variabili avrà come insieme delle soluzioni la parte di piano soprastante o sottostante quel grafico. Risposta breve: la si risolve graficamente)

Quindi evviva, risolviamo graficamente!
… Come si fa?
Riprendiamo la risposta lunga alla domanda 2 e trasformiamola in procedura operativa:
1) Trovare le equazioni associate.
In questo caso sono x+y=0 (ovvero y=-x, bisettrice del II e IV quadrante) e x-y=0 (ovvero y=x, bisettrice del I e III quadrante).
2) Intersecare le parti del piano soprastanti i grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione “>=0” o sottostanti ai grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione <0.

Ma attenzione: quando consideriamo la disequazione, dobbiamo verificare che la sua forma corrisponda a quella dell’equazione associata, altrimenti rischiamo di sbagliare. Ad esempio, nel nostro primo caso la seconda disequazione è x-y >= 0 mentre la nostra equazione in forma esplicita è y=x : i segni delle y non corrispondono. Per poter valutare correttamente il semipiano da considerare nella risoluzione grafica, converrà portare la disequazione nella stessa forma esplicita dell’equazione associata, e visto che y era negativa, il verso della disequazione deve cambiare. Otterremo: y <= x, quindi il semipiano da considerare sarà quello sottostante e non soprastante il grafico dell’equazione.

E ci voleva tanto?

No, solo un po’ di tempo, calma e concentrazione per dedicarsi a questo in modo esclusivo.

Quindi, nel primo caso, intersechiamo il semipiano soprastante la bisettrice del II-IV quadrante con il semipiano sottostante (mi raccomando!!) la bisettrice del I-III quadrante. Otteniamo l’angolo retto compreso tra le due bisettrici contenente il semiasse x positivo.
L’insieme di validità della seconda equazione sarà invece l’angolo tra le due bisettrici contenente il semiasse y positivo. E così via fino a ricomporre tutti e quattro gli spicchi del quadrato.

Passarci un po’ di tempo, vale davvero la pena!

Una funzione… quadrata

Proseguiamo la conversazione sul secondo esercizio svolto della serie “Curriculum Inspirations” a cura di James Stanton, pubblicata dalla Mathematical Association of America al link http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf

Nel precedente post abbiamo introdotto questa proposta didattica con alcune doverose osservazioni più generali.

Oggi vorremmo invece prendere spunto dal lavoro di Stanton per proporre un approccio questa volta un po’ diverso dal suo e più vicino invece ai principii ispiratori della cosiddetta “didattica breve”, la quale – ricordiamo – è definita dal suo ideatore come “il complesso di tutte le metodologie che, agli obiettivi della didattica tradizionale (rispetto del rigore scientifico e dei contenuti delle varie discipline), aggiunge anche quello della drastica riduzione del tempo necessario al loro insegnamento e al loro apprendimento”.

Quello che sembra infatti mancare questa volta all’esposizione di Stanton è proprio quella “distillazione dei contenuti” che permetta innanzitutto all’insegnante-animatore della discussione” di condurre quest’ultima in modo da arrivare eventualmente anche in modo rapido all’obiettivo.

Capita infatti spesso che gli studenti – o lo stesso insegnante – abbiano intuizioni magari istintive, imprecise o che non sarebbero capaci di giustificare con rigore dal punto di vista teorico, ma che sono già molto vicine al centro del problema, e soltanto per la mancanza di un’adeguata riflessione preventiva tali intuizioni vengano accantonate oppure usate in modo del tutto inefficace rispetto all’obbiettivo di giungere rapidamente al cuore non solo della risoluzione del problema ma anche della riflessione sulla struttura sottostante.

Soprattutto nel caso di un problema come quello proposto in questo #2 – la discussione di un’equazione con valori assoluti in due variabili – partire dalla soluzione per ricostruire il “percorso breve” che la congiunge con intelligenza e con tutte le soddisfazioni del caso al quesito iniziale è davvero indispensabile per chi poi voglia avventurarsi a proporre tale argomento in classe.

Certo, toglieremo tutta la suspence. Certo, ripuliremo di quell’analisi psicologica ben dipinta da Stanton, più preoccupato forse questa volta, insisto, di procurare “anestesie” per i dolori delle valutazioni nazionali che non di dare indicazioni efficaci ad un corretto uso dell’unità didattica.

Perdendosi invece un’altra analisi psicologica possibile: quella della sorpresa che può suscitare la scoperta che da un’equazione “quadrata” e spigolosa come questa:
|x+y|+|x-y|= L
si possa dedurre un grafico altrettanto spigoloso e “quadrato”: quello per la precisione di un quadrato centrato nell’origine e di lato L.

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Introdurre un’unità didattica di questo tipo, tradendo per una volta la fedeltà al format “vi propongo il quiz dell’American Mathematical Competition”, può essere molto più produttivo, aiuta ad affrontare il tabù delle “non funzioni” che incombe sulla nostra didattica della matematica, allargando l’orizzonte alla considerazione del vasto mondo delle equazioni in due variabili e del loro grafico, di cui con un certo imbarazzo gli studenti hanno affrontato soltanto i casi dell’ellisse, dell’iperbole e naturalmente della circonferenza.

Secondo me vale la pena, e l’argomento è decisamente “to be continued”

Curriculum Inspirations #2 – si alza il tiro!

Rompe un po’ la continuità rispetto alla prima delle proposte di problem solving basati su quesiti dell’American Mathematical Competition, a cura di James Stanton e pubblicate dalla Mathematical Association of America, il secondo quesito risolto della collezione.

Se il primo dei problemi proposti, sul quale abbiamo proposto alcune fugaci riflessioni nel mese di Ottobre con l’articolo “Ispirazioni per la didattica” http://wp.me/P2liCw-28 era un esercizio di geometria piana adattabile per riflessioni molto stimolanti a pressochè ogni ordine di scuola, il secondo numero della raccolta propone un quesito decisamente di altro livello, che richiede di tuffarsi subito in “acque alte”.
Mettiamo un attimo da parte l’interesse per il problema, oggettivamente stimolante e carino [per un matematico], e il sempre accattivante stile letterario in cui viene proposta l’attività didattica. Lasciamo stare anche per un momento l’accento che Stanton pone sullo spirito e sul metodo con cui proporre in classe non una “risoluzione” ma una “discussione aperta” sull’argomento.
E’ necessario, mettere per un momento da parte tutto questo, alla luce dei gridi di allarme e delle riflessioni di ben altro ordine che invece in questi giorni attraversano gli Stati Uniti proprio riguardo ai “core standard”, a cui il lavoro di Stanton si propone di attenersi con zelante diligenza.
Viene allora il sospetto che la finalità ultima non sia [soltanto] quella di insegnare modi nuovi e molto più convincenti di affrontare la didattica della matematica. Questo c’è e nessuno lo mette in dubbio, il lavoro resta notevole e degno di approfondimento. Viene però il sospetto che in qualche misura questa proposta di schede didattiche voglia servire da “foglia di fico” per coprire l’inadeguata burocratizzazione che si è voluto imporre alla didattica.
Non vorrei entrare nel merito della discussione visto che la cosa non ci riguarda direttamente, ma credo sia utile riflettere sulla linea di confine tra la sistematizzazione efficace degli obiettivi di apprendimento e una burocratizzazione che invece di essere di supporto allo studente ne diventi l’incubo e lo scoglio insormontabile.
Detto questo, il secondo problema di Stanton merita un articolo a sè. E’ un problema di geometria in due variabili, adatto al massimo al triennio dei licei scientifici e degli istituti tecnici, con risvolti anche di programmazione lineare che per la verità da noi si studia veramente in pochissimi ambienti. Come livello di difficoltà, è forse addirittura più adatto agli studenti universitari. Ma c’è della magia, perchè in poche righe riesce a far vedere come un’antipatica equazione descriva in realtà il contorno di un quadrato.
A presto una presentazione e sarò curiosa di sapere come proponete di utilizzarlo in classe!

(to be continued)

Giochi MateMagici : Ra-giocando

condivido e diffondo volentieri

Attraverso lo Specchio...

Vorrei segnalarvi  un bellissimo progetto… Ra-Giocando , una mostra interattiva ed itinerante per bambini dai 5 ai 12 anni, realizzata dalle insegnanti del Laboratorio di didattica della Matematica di Rozzano (del Nucleo di Ricerca Didattica dell’Università di Pavia).

E’ creata per bambini della scuola dell’infanzia e della scuola primaria e secondaria di primo grado.

Cito dal sito

E’disponibile per scuole, distretti, comuni, ludoteche, centri estivi con prezzi e modalità da concordare. Il costo indicativo dell’iniziativa è di circa 2/3 euro a bambino (una media di 20 alunni per classe) con la presenza di due animatrici. Si effettuano preventivi gratuiti che dipendono dal numero delle classi, dalla distanza, dall’eventuale pernottamento.   

Nel sito si  trovano le modalità di svolgimento e i requisiti minimi per l’installazione, i percorsi già fatti e tante foto dei laboratori.

Nelle news, il calendario dei corsi di formazione per la scuola Primaria e Secondaria di 1° grado…

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O se del mezzo …

O se del mezzo cerchio far si puote
triangol sì che un retto non avesse

Nel Paradiso di Dante, è di casa la geometria euclidea!

Quelli sopra riportati sono i versi 101 e 102 del tredicesimo Canto, e il buon Dante cita la bella proprietà euclidea dei triangoli in un passaggio che apre in realtà ad una logica metafisica più elevata, dove la domanda di fondo è se si possa andare oltre questo ed altri risultati della più sublime logica terrena.
Resta invariata la domanda: i lettori di Dante erano tutti ferrati in geometria, oppure fu un vezzo del Poeta di inserire un riferimento che fosse inafferrabile anche ai più sofisticati dei filosofi?

Qualunque sia la risposta, massima ammirazione per Dante e per la vastità e precisione delle sue conoscenze!

Sebbene non ci siano studi accademici sull’argomento, è opinione diffusa che le visite ai luoghi d’arte, oltre a integrare la didattica, sviluppino anche negli studenti importanti competenze relazionali, capacità critiche e altre capacità intellettuali forse meno misurabili secondo i moderni parametri scientifici.
Non ci sono studi specifici sull’argomento, tuttavia alcune occasioni informali di sondare questi parametri si sono presentate recentemente. Una è stata colta pochi anni fa negli Stati Uniti, in occasione dell’apertura del Crystal Bridges Museum of American Art a Bentonville, Arkansas.
Ne parla il New York Times con un articolo intitolato “Art Makes You Smart”

Art gets you smart

dove si espongono i risultati dell’osservazione delle competenze cognitive e relazionali sviluppate dagli studenti della zona, alcuni dei quali erano stati a campione selezionati per “vincere” visite gratuite al nuovo museo appena inaugurato.
“Possiamo concludere” – scrive l’autore dell’articolo – “che visitare un museo d’arte espone gli studenti a una diversità di idee che li sfida a confrontarsi con diverse prospettive della condizione umana. Espandere l’accesso all’arte, che sia con programmi scolastici o con visite a musei e gallerie d’arte, dovrebbe essere una voce centrale di qualunque curricolo scolastico”.

7 e dintorni

Ogni numero ha il suo fascino.
E il numero 7 è un numero di importanza simbolica fondamentale per chi è sensibile alla scienza tradizionale: è il numero dei giorni della Creazione, e quindi il numero dei giorni della settimana, in tutte le Tradizioni abramiche. E’ il numero delle Virtù, cardinali e teologali, della dottrina cristiana. E’ il primo dei numeri primi a non essere contenuto nelle dita di una mano. Ricorre anche nella Tradizione Indù, dove si menzionano i sette Rishi, i sette saggi immortali dei primordi dell’Umanità.
Per chi ama la geometria, il fascino del numero sette va ancora oltre: si scopre infatti che l’ettagono è uno dei poligoni che si possono costruire con riga e compasso.
E la costruzione è semplice: risulta infatti che il lato dell’ettagono regolare inscritto in un cerchio equivale con ottima approssimazione alla metà del lato del triangolo equilatero inscritto. Per creare uno slogan d’effetto, potremmo dire che nel mondo dei poligoni inscritti, 3×2=7 !
Dall’enciclopedia islamica, eccoci riportata una “ricetta” per la costruzione dell’ettagono attribuita al grande architetto iraniano del X secolo Abou-l-Wafa al-Mohandes (Abou-l-Wafa l’Architetto).
Nella sua opera “sulla matematica che serve agli artigiani”, Abou-l-Wafa ben distingue tra indagine filosofica della matematica e applicazioni pratiche. La sua costruzione dell’ettagono regolare, sebbene dia soltanto una soluzione approssimata, oggi diremmo che ha un eccellente rapporto facilità di esecuzione / accuratezza dell’approssimazione. Proprio quello che serve a chi la matematica la deve trasformare in oggetti da vedere e da toccare!

fonte: islamicencyclopedia.org

fonte: islamicencyclopedia.org

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