Riprendo ancora il primo esercizio della serie “Curriculum Inspirations”, pubblicato dall’American Mathematical Monthly e di cui ci stiamo occupando da diverse settimane.
La soluzione è semplice. Ne trovate un romantico brogliaccio manoscritto sulla pagina facebook http://www.facebook.com/media/set/?set=a.546489655430370.1073741849.148553208557352&type=3.
Si tratta in effetti di un problema di quelli squisitamente matematici: di solenne inutilità pratica ma di un interesse e di una bellezza magnetici per il matematico puro.
Si scopre infatti, risolvendo il problema, quanto ci sia da dire nei punti d. ed e. proposti dall’autore di Curriculum Inspirations (ovvero: portare oltre le conseguenze del problema ed esplorare elementi più avanzati del curricolo che possano essere ispirati dal problema). Quello che si evince infatti come minimo è che
(d)
– il perimetro e l’area di questo bel triangolo, risultano avere lo stesso valore numerico (proprietà non invariante per similitudine)
– il lato obliquo del triangolo così costruito è 3/2 della base (proprietà invariante per similitudine)
– l’angolo alla base è determinato come arcos(1/3) (proprietà invariante per similitudine)
(e)
– si può ipotizzare che il “prossimo” cerchio inscritto abbia raggio 1/2? E che quindi il nuovo triangolo che circoscrive i due cerchi di raggio 1 e 1/2 abbia sempre le caratteristiche sopra elencate?
– siamo in presenza di una struttura “frattale”?
La risposta ad entrambe le domande è sì, in quanto raddoppiando le dimensioni della figura, quella di partenza si inserisce nella nuova, e quello che era il più grande dei cerchi inscritti diventa il secondo cerchio inscritto.
Unendo queste due osservazioni e considerando che abbiamo ottenuto per l’altezza del triangolo, nell’esercizio da cui siamo partiti, il valore 8, possiamo ancora dedurre, sommando gli infiniti diametri dei cerchi che via via possiamo inscrivere fino al vertice, che 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/ 2^n + … = 8, ovvero otteniamo una “prova” del fatto che la sommatoria per n che va da 1 a infinito di 2^(-n) è uguale a 1.
A voi lettori eventuali commenti, ulteriori domande e possibili diversi sviluppi del soggetto.
Buona settimana
il ripassino di matematica 