The Golden Ratio is All Around You

ilripassinodimatematica:

Un altro interessante e ricco articolo sulla sezione aurea
Dal blog 3010tangents.worpress.com

Originally posted on 3010tangents:

You have been told from the time you started school that math was important because math is everywhere. Did you ever believe that? The point of this post is to prove that statement. Math is everywhere, specifically the golden ratio.

The golden ratio is Φ  = (1 + √5) /2 = 1.61803398874989484820. “This “golden” number, 1.61803399, represented by the Greek letter Phi, is known as the Golden Ratio, Golden Number, Golden Proportion, Golden Mean, Golden Section, Divine Proportion and Divine Section.”1 This number was written about by Euclid in “Elements” around 300 B.C., by Luca Pacioli, a contemporary of Leonardo Da Vinci, in “De Divina Proportione” in 1509, by Johannes Kepler around 1600, and by Dan Brown in 2003 in his best selling novel, “The Da Vinci Code.”1

The golden ratio is obviously found in the world of mathematics. The golden ratio is created when one can divide a line…

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MaTeinItaly. Matematici alla scoperta del futuro

Originally posted on "Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati:

mateinitaly

Si è inaugurata da qualche giorno alla Triennale di Milano, sotto l’Alto patronato della Presidenza della Repubblica, la mostra “MaTeinItaly – Matematici alla scoperta del futuro”, promossa dall’Università degli Studi di Milano, dall’Università Bocconi e dall’Università degli Studi di Milano-Bicocca e inclusa nel programma di celebrazioni per il 90esimo della Statale: un viaggio inedito e spettacolare nel mondo dei matematici, che descrivono l’oggi e… inventano il domani. Una mostra di matematica per chi la matematica non l’ha mai amata.

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Three

tre e dintorni …
con sempre bellissime immagini dal blog Books around the table

Three.

Maryam Mirzakhani, la prima donna a vincere la medaglia Fields

donna e musulmana, per superare gli stereotipi

Maryam Mirzakhani, la prima donna a vincere la medaglia Fields.

In Fin dei Conti

L’aritmetica è la base di tutta la matematica, pura o applicata. E’ la più utile di tutte le scienze, e non c’è probabilmente altra branca del sapere umano che sia più largamente diffusa a livello di massa

Così scriveva nel 1956 Robias Dantzig (“Number, the Language of Science”, Garden City, New York, 1956), citato da Ali Abdullah Al-Daffa’ nello studio “The Muslim Contribution to Mathematics”  (Croom Helm, London, Humanities Press, Atlantic Highlands, N.J., 1977) che all’aritmetica dedica il terzo capitolo.

Oggi questo termine, nella didattica, passa di moda, forse perchè sembra sminuire il valore della materia: l’approccio diventa, fin dalla prima infanzia, concettuale, o almeno questa sembra essere una possibilità che si prospetta.

In altre aree del pianeta, l’aritmetica si impara con le dita, sulle corde del moderno abaco giapponese o soroban, che semplifica e uniforma al sistema decimale l’antico suan-pan cinese, e le strutture si acquisiscono quindi con la pratica molto prima che con il pensiero.

Approcci diversi che vanno, credo, ugualmente rispettati.

Come riporta Ali Abdullah Al-Daffa’ nel volume citato, uno dei maggiori contributi all’aritmetica nel mondo islamico fu portato nel IX secolo dell’era cristiana da Abu Yusuf Ya’qub ibn Ishaq Al-Kindi.

Nato a Kufa (oggi in Iraq) nel secondo secolo dell’Egira, era il figlio del governatore della città, discendente di una nobile famiglia regale di Kindah, di origini Yemenite.

Primo tra gli esponenti della “filosofia araba”, si distinse nel suo tempo per la grande capacità e curiosità di studiare e dialogare con ogni ramo del sapere. Studiò la filosofia e le scienze del mondo greco antico portandole a nuova vita e contribuendo a diffonderne una rinnovata conoscenza anche nel continente europeo, occupandosi di logica, filosofia, matematica, musica e astronomia. Secondo i suoi biografi, si trattava di una mente enciclopedica a cui nessun ambito dello scibile umano sembrava precluso.

Tra i contributi di Al-Kindi all’aritmetica, Al-Daffa’ riporta undici titoli di manoscritti conosciuti:

1. Un’introduzione all’aritmetica

2. Manoscritto sull’utilizzo dei numeri indiani

3. Manoscritto sulla spiegazione dei numeri menzionata nella Politica di Platone

4. Manoscritto sull’armonia dei numeri

5. Manoscritto sull’unità dal punto di vista dei numeri

6. Manoscritto sulla spiegazione dei numeri impliciti

7. Manoscritto sulla predizione dal punto di vista dei numeri

8. Manoscritto sulle linee e sulla moltiplicazione con i numeri

9. Manoscritto sulle quantità relative

10. Manoscritto sulla misura delle proporzioni e dei tempi

11. Manoscritto sulle procedure numeriche e la cancellazione

(cfr.  George N. Atiyah, “Al-Kindi: the philosopher of the Arabs”, Karachi, Al-Karami press, 1966)

Come afferma Al-Daffa’ nel suo studio,

E’ nozione comune che i numeri oggi usati siano chiamati “numeri arabi” e generalmente si sarebbe portati a pensare che siano sempre stati in uso. In realtà furono introdotti in Europa tramite i contatti con il mondo islamico solo nel XIII secolo.

Non è secondario osservare anche, con l’autore, che l’adozione stessa del sistema decimale di rappresentazione dei numeri va di pari passo con l’introduzione delle cifre arabe:

Prima dei numeri arabi, la matematica occidentale si basava sul poco pratico sistema dei numeri romani, e prima di ciò, sul sistema ancora meno pratico dei numeri greci.

Se ad esempio nel sistema decimale il numero 1843 si rappresenta con quattro cifre, nel sistema di numerazione romano ne occorrono undici, scrivendo MDCCCXLIII.

Il sistema di numerazione romano inoltre, non essendo posizionale, non aveva bisogno di esprimere lo zero.

Continua Al-Daffa':

Ai tempi del Profeta Muhammad, gli Arabi usavano un alfabeto che è rimasto sostanzialmente lo stesso nei secoli seguenti. Le lettere del primo alfabeto arabo erano utilizzate anche come numerali, secondo la tabella seguente:

Immagine

Riflessioni per la didattica

pescagrafimx fiore aranciograficmx nefican ozsen

 

Le simmetrie sembrano essere l’argomento tabù della scuola italiana: prendono troppo tempo, oppure l’insegnante stesso le ha studiate in modo perlopiù autodidatta e quindi non si sente a suo agio, oppure semplicemente non piacciono, stanno antipatiche …

oppure non se ne vede l’utilità, e quanta sarebbe invece!

con le nuove tecnologie e la sovrabbondanza di immagini a disposizione di tutti sul web, oggi non sembra più scusabile un’omertà sull’argomento.

Noi di idee ne abbiamo parecchie! e voi?

Visita la raccolta di materiali su http://www.facebook.com/RIPASSINO

 

x come cosa ?

Ci siamo mai chiesti da cosa deriva la fantomatica x che usiamo come incognita dall’algebra di base all’analisi superiore?

Viene naturalmente alla memoria la celebre battuta di Indiana Jones, il quale diceva ai suoi studenti che “la x non rappresenta MAI il posto in cui scavare”. Salvo poi, in piena avventura, esclamare alla collega : “la X, la X sul pavimento, è quello il posto in cui scavare!!”.

Così quando i nostri studenti, all’ennesimo passaggio intricato di sistemi ed equazioni da risolvere, ci dicono “per me è arabo!”, vorremmo prenderlo come un modo di dire.

Certo, algebra deriva da al-jabr, d’accordo. Dall’opera di al-Khwarizmi da cui il termine algoritmo, va bene. Ma poi basta, non è vero? La x, la y e tutto il resto l’abbiamo inventata noi, qui in Europa …

… e infatti sì, per la precisione nell’Andalusia Felix, dove più proficuamente sedimentarono – come va di moda dire oggi – i frutti del fermento di scambi interculturali e interreligiosi nati dalla presenza e dal reciproco riconoscimento di sapienti ebrei, cristiani e musulmani sotto la sempre cosiddetta “dominazione araba”.

In effetti i matematici musulmani che diedero impulso allo sviluppo dell’algebra moderna, non fecero mai uso nelle loro opere di abbreviazioni formali come la x o altre lettere. Quando parlavano dell’incognita, parlavano della “cosa”, e le relazioni tra incognite e quantità erano sempre descritte a parole.

Ora, “cosa” in arabo si dice ” sha’i ”  e la sh nello spagnolo antico, come oggi ancora in alcuni dialetti del Mediterraneo anche in Italia, si traslittera proprio x . E’ stato quindi ben a ragione ipotizzato che la lettera x destinata a diventare l’incognita per eccellenza, altro non sia che la traslitterazione nella lingua corrente dell’Andalusia medievale proprio della parola araba “sha’i”: “cosa” !

Morale della favola: d’ora in poi, quando i vostri studenti vi diranno sconsolati “per me è arabo!”, potrete tranquillamente rassicurarli che su una cosa almeno ci hanno azzeccato! Può essere un inizio… ;)

 

 

Tag cloud per giocare con le parole

Tag cloud per giocare con le parole

interessante rivedere i propri articoli esaminando l’effetto che fanno su un generatore di tag cloud :)
Per chi si vuole dilettare, ecco un bel sito gratuito con un’ampia gamma di varianti di font, colore, forma e layout:

http://www.wordle.net/

Il teorema di Pitagora generalizzato – seconda parte

Riprendo l’ultimo post pubblicando per esteso la dimostrazione della formula per i triangoli ottusangoli. A seguire l’analogo teorema per i triangoli acutangoli e qualche considerazione finale sul collegamento con la trigonometria.

 

Immagine

pitagora ottusi formula

Dimostriamo la formula.

Consideriamo il triangolo rettangolo BCH formato dai vertici del lato maggiore BC e dall’altezza BH relativa al lato AC.

Si ha naturalmente, per il Teorema di Pitagora:

ottusi passaggio1

 

Ma per costruzione si ha

ottusi passaggio2

 

da cui, sostituendo nella formula precedente:

ottusi passaggio3

ottusi passaggio4

Ma il Teorema di Pitagora ci dice ancora che

ottusi passaggio5

e sostituendo quest’ultima relazione nell’ultimo passaggio, otteniamo infine la formula cercata:

pitagora ottusi formula

c.d.d.


Il teorema di Pitagora generalizzato

Dopo quasi tre mesi di silenzio-blog, passati con molto piacere a presentare a un pubblico niente affatto virtuale alcuni degli argomenti di ricerca tra i miei preferiti, rimbocchiamoci le maniche e torniamo al lavoro!

Prendo spunto da uno dei miei libri di testo preferiti di geometria per il biennio superiore, anche se non so quanto sia adottato: Pigreco / Geometria di Palladino-Scotto-Frixione (edizioni Principato, la mia è una copia-saggio del 2003). Mi piace per la scelta sempre molto acuta, ragionata e ben curata degli esercizi.

Ad esempio, nel capitolo sui teoremi di Pitagora ed Euclide, troviamo tra gli esercizi una proposta di “Teorema di Pitagora generalizzato ai triangoli ottusangoli” e di “Teorema di Pitagora generalizzato [per triangoli qualunque]“. Evviva! Ora li vediamo, tutti e due.

Così alla cieca, mi chiederete sicuramente: “ma come, non abbiamo ancora le funzioni trigonometriche fondamentali e già introduciamo Carnot?”, oppure (formulazione equivalente alla precedente): “e come si fa, senza la trigonometria?”

… eppur si muove! … ebbene sì! Eppure si può lo stesso, ed è anche molto semplice e interessante. E vale la pena annotarlo fuori-classe, così, informalmente su un blog amatoriale, per ricordarsi di fare un’operazione complessa ma sicuramente meritevole di essere tentata, anche se apparentemente impossibile visto che l’insegnante del biennio non sarà quasi mai lo stesso del triennio, e i tempi didattici renderanno impraticabile qualsiasi “fuori programma”, per quanto piacevole e utile possa essere. Ovvero, creare continuità didattica tra biennio e triennio, che non si limiti al “dare per scontate le nozioni di base” ma vada un po’ al di là, servendo da vero e proprio amplificatore di conoscenze. Impossibile?

Ebbene no! Come dice la pubblicità: “immagina… puoi!” Immaginiamo un mondo dove l’insegnante del biennio proponga il “teorema di Pitagora generalizzato”, consigliando agli studenti di annotarlo negli appunti di teoria in coda al teorema di Pitagora “standard edition”. E che poi al quarto anno, quando finalmente si osa parlare di seno, coseno e tangente, dica a un certo punto agli studenti: “vi ricordate il teorema di Pitagora generalizzato?” … e – udite udite! – magari riesca anche a intavolare una mezz’ora di discussione su quale sia il legame tra le due versioni, geometrica e trigonometrica! Sarà un parere mio, da sognatori professionisti, ma sono quelle mezz’ore tutt’altro che perse, nelle quali agli studenti può improvvisamente aprirsi un mondo, una visione più profonda e più allargata della materia, non più da percepire come “quelle cose da studiare per domani, punto e basta” o “quelle formule che servono a risolvere i triangoli (ma rigorosamente solo quelli degli esercizi sul libro di testo)”.

E quindi a noi, ecco uno dei due esercizi (prossimamente pubblicati anche sul sito openprof.com):

TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO AI TRIANGOLI OTTUSANGOLI

In un triangolo ottusangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo ottuso è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati più il doppio del rettangolo che ha per dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell’altro su di esso.

Detto così, è terribile! Sono di aiuto una figura e un’enunciazione in formule:

disegno pitagora ottusi

L’enunciato dice che il quadrato costruito sul lato maggiore BC (quello opposto all’angolo ottuso) è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, più due volte il rettangolo che ha per dimensioni uno dei lati minori (ad esempio AC) e la proiezione su quest’ultimo del terzo lato (ovvero in questo caso il segmento AH, esterno ed adiacente ad AC).

Quindi in formule:

pitagora generalizz ottusi formula

L’esercizio consiste appunto nel dimostrare questa relazione.

Lo si ottiene facilmente applicando successivamente il teorema di Pitagora. Quindi lo lascio come esercizio. Fatemi sapere se serve aiuto, ma francamente non è per niente difficile.

Ebbene, riusciamo a riconoscere in questa formula il teorema di Carnot? Anche questo non è difficile affatto.

Arrivo a una rapida conclusione, ma prometto che ritorneremo sull’argomento. Solo una riflessione (ma correggetemi se sbaglio) su quanto poco viene ancora curata la corrispondenza pratica di concetti come le funzioni trigonometriche: l’applicazione ai triangoli è forse l’ultima cosa che si studia, dopo aver visto il grafico cartesiano e tutte le formule di trasformazione, fini a se stesse.

Non è consolante trovare un problema del biennio che già imposta una formula avanzata come quella di Carnot? Possiamo fare qualcosa per togliere a noi insegnanti l’imbarazzo di non saper rispondere alla sacrosanta domanda “a cosa serve”?

Con questo e in attesa dei vostri graditi commenti, un augurio di buon weekend

:)

 

 

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