Il teorema di Pitagora generalizzato

Dopo quasi tre mesi di silenzio-blog, passati con molto piacere a presentare a un pubblico niente affatto virtuale alcuni degli argomenti di ricerca tra i miei preferiti, rimbocchiamoci le maniche e torniamo al lavoro!

Prendo spunto da uno dei miei libri di testo preferiti di geometria per il biennio superiore, anche se non so quanto sia adottato: Pigreco / Geometria di Palladino-Scotto-Frixione (edizioni Principato, la mia è una copia-saggio del 2003). Mi piace per la scelta sempre molto acuta, ragionata e ben curata degli esercizi.

Ad esempio, nel capitolo sui teoremi di Pitagora ed Euclide, troviamo tra gli esercizi una proposta di “Teorema di Pitagora generalizzato ai triangoli ottusangoli” e di “Teorema di Pitagora generalizzato [per triangoli qualunque]“. Evviva! Ora li vediamo, tutti e due.

Così alla cieca, mi chiederete sicuramente: “ma come, non abbiamo ancora le funzioni trigonometriche fondamentali e già introduciamo Carnot?”, oppure (formulazione equivalente alla precedente): “e come si fa, senza la trigonometria?”

… eppur si muove! … ebbene sì! Eppure si può lo stesso, ed è anche molto semplice e interessante. E vale la pena annotarlo fuori-classe, così, informalmente su un blog amatoriale, per ricordarsi di fare un’operazione complessa ma sicuramente meritevole di essere tentata, anche se apparentemente impossibile visto che l’insegnante del biennio non sarà quasi mai lo stesso del triennio, e i tempi didattici renderanno impraticabile qualsiasi “fuori programma”, per quanto piacevole e utile possa essere. Ovvero, creare continuità didattica tra biennio e triennio, che non si limiti al “dare per scontate le nozioni di base” ma vada un po’ al di là, servendo da vero e proprio amplificatore di conoscenze. Impossibile?

Ebbene no! Come dice la pubblicità: “immagina… puoi!” Immaginiamo un mondo dove l’insegnante del biennio proponga il “teorema di Pitagora generalizzato”, consigliando agli studenti di annotarlo negli appunti di teoria in coda al teorema di Pitagora “standard edition”. E che poi al quarto anno, quando finalmente si osa parlare di seno, coseno e tangente, dica a un certo punto agli studenti: “vi ricordate il teorema di Pitagora generalizzato?” … e – udite udite! – magari riesca anche a intavolare una mezz’ora di discussione su quale sia il legame tra le due versioni, geometrica e trigonometrica! Sarà un parere mio, da sognatori professionisti, ma sono quelle mezz’ore tutt’altro che perse, nelle quali agli studenti può improvvisamente aprirsi un mondo, una visione più profonda e più allargata della materia, non più da percepire come “quelle cose da studiare per domani, punto e basta” o “quelle formule che servono a risolvere i triangoli (ma rigorosamente solo quelli degli esercizi sul libro di testo)”.

E quindi a noi, ecco uno dei due esercizi (prossimamente pubblicati anche sul sito openprof.com):

TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO AI TRIANGOLI OTTUSANGOLI

In un triangolo ottusangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo ottuso è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati più il doppio del rettangolo che ha per dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell’altro su di esso.

Detto così, è terribile! Sono di aiuto una figura e un’enunciazione in formule:

disegno pitagora ottusi

L’enunciato dice che il quadrato costruito sul lato maggiore BC (quello opposto all’angolo ottuso) è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, più due volte il rettangolo che ha per dimensioni uno dei lati minori (ad esempio AC) e la proiezione su quest’ultimo del terzo lato (ovvero in questo caso il segmento AH, esterno ed adiacente ad AC).

Quindi in formule:

pitagora generalizz ottusi formula

L’esercizio consiste appunto nel dimostrare questa relazione.

Lo si ottiene facilmente applicando successivamente il teorema di Pitagora. Quindi lo lascio come esercizio. Fatemi sapere se serve aiuto, ma francamente non è per niente difficile.

Ebbene, riusciamo a riconoscere in questa formula il teorema di Carnot? Anche questo non è difficile affatto.

Arrivo a una rapida conclusione, ma prometto che ritorneremo sull’argomento. Solo una riflessione (ma correggetemi se sbaglio) su quanto poco viene ancora curata la corrispondenza pratica di concetti come le funzioni trigonometriche: l’applicazione ai triangoli è forse l’ultima cosa che si studia, dopo aver visto il grafico cartesiano e tutte le formule di trasformazione, fini a se stesse.

Non è consolante trovare un problema del biennio che già imposta una formula avanzata come quella di Carnot? Possiamo fare qualcosa per togliere a noi insegnanti l’imbarazzo di non saper rispondere alla sacrosanta domanda “a cosa serve”?

Con questo e in attesa dei vostri graditi commenti, un augurio di buon weekend

:)

 

 

Il metodo della falsa posizione e le origini dell’algebra moderna

Riprendo ancora il ricchissimo e affascinante articolo di Enrico Giusti su Fibonacci e la matematica medievale del Liber Abaci, per riproporre la parte che espone il metodo al tempo applicato nel mondo arabo-islamico, che Fibonacci chiama “della falsa posizione” – metodo per la soluzione di equazioni o sistemi di equazioni di primo grado, soltanto apparentemente “empirico” ma sicuramente lontano dall’approccio formale con il quale si affronta oggi tale tipo di problema (almeno sui banchi di scuola!). Ecco come scrive il Giusti:

Con il terzo paragrafo, che reca il titolo piuttosto anodino di “problemi di alberi, e simili”, si entra in una delle regole centrali dell’aritmetica medievale: il metodo della falsa posizione. Questo opera nella soluzione di equazioni di primo grado, del tipo cioè a x = b .

Per questo, si pone x=A (la falsa posizione); in generale il risultato aA sarà diverso da b. Si dice allora: per A che avevo posto, viene aA; quanto dovrò porre affinché venga b? Algebricamente, la risposta è evidente: , come si poteva vedere fin dall’inizio risolvendo l’equazione proposta, e anzi l’introduzione della quantità A sembra più complicare le cose che semplificarle. Dov’è allora l’interesse del metodo della falsa posizione?

“C’è un albero, del quale  1/3 e  1/4   sono 21 palmi; si chiede quale sia la sua lunghezza”.

Per ridursi all’equazione bisogna eseguire la somma 1/3 + 1/4 = 7/12  , e quindi trovare un numero tale che i suoi  7/12  siano uguali a 21, un problema quest’ultimo che non è riconducibile allo schema delle proporzioni. Al contrario, una scelta oculata della falsa posizione (cioè del numero A) può rendere il calcolo molto semplice. Supponiamo che la lunghezza sia 12; sommando 1/3 e 1/4 di 12 si ottiene 4+3=7. Si dirà allora: se 12 mi dà 7, quanto occorrerà per avere 21? La risposta viene da un’applicazione molto semplice della regola del tre: il risultato voluto è 12*21/7 = 36 . Così la scelta di una conveniente falsa posizione (si sarà notato che 12 è divisibile sia per 3 che per 4) permette di evitare la somma delle frazioni 1/3 + 1/4, e quindi in definitiva di semplificare i calcoli.

Sempre per mezzo della falsa posizione si risolvono problemi di numeri proporzionali, come quello di trovare tre numeri in proporzione geometrica la cui somma sia 10. Partendo da tre numeri qualsiasi in proporzione continua – ad esempio 1, 2 e 4, la cui somma dà 7 – si dirà: se 1 (il primo dei tre numeri) mi dà 7, cosa dovrò prendere per avere 10? La risposta è   , e i tre numeri sono    e  .

Sempre per mezzo della falsa posizione si risolvono problemi di numeri proporzionali, come quello di trovare tre numeri in proporzione geometrica la cui somma sia 10. Partendo da tre numeri qualsiasi in proporzione continua – ad esempio 1, 2 e 4, la cui somma dà 7, si dirà: se 1 (il primo dei tre numeri) mi dà 7, cosa dovrò prendere per avere 10? La risposta è 10/7, e i tre numeri sono 10/7, 20/7 e 40/7.

La regola della falsa posizione fa emergere un punto importante nello studio dell’aritmetica medievale: non sempre quello che è semplice concettualmente, nel nostro caso, l’equazione ax=b, lo è anche algoritmicamente, soprattutto quando la mancanza di una notazione letterale rende difficile vedere il permanere della struttura dietro la molteplicità dei problemi, apparentemente tutti diversi tra loro. In effetti, la semplificazione introdotta dal metodo della falsa posizione è tale, che è conveniente utilizzare anche una sua estensione, detta della doppia falsa posizione o con voce araba “elcataym”, che consente di affrontare problemi che conducono a un’equazione del tipo ax+c=b.

Un argomento che vale la pena di approfondire.

I vostri commenti sono benvenuti!

To Bead or not to Bead … un pensiero profondo per cominciare il nuovo anno !

To bead or not to bead … that is the question, e ci perdonerà il grande Shakespeare per questa citazione un po’ a sproposito.

Con questa profondissima domanda il nostro blog inaugura l’anno nuovo. Abaco o non abaco? Il dilemma non nasce oggi, e senza togliere il sonno a troppe persone ha perlomeno la sua origine nella diatriba riguardo all’interpretazione da dare al titolo della celebre opera di Leonardo Pisano, meglio conosciuto come Fibonacci: il “Liber Abaci”, appunto.

C’è chi sostiene – a torto o a ragione – che si debba tradurre tale titolo con “Il libro dell’abaco”. C’è chi sostiene invece – altrettanto a torto o a ragione – che tale traduzione sarebbe fuorviante, in quanto le tecniche di calcolo introdotte da Fibonacci sono applicabili senza l’uso dell’abaco.

Dunque, se è lecito chiedere, chi ha torto e chi ha ragione?

Come spesso accade, in fin dei conti … entrambi. Almeno da un certo punto di vista.

Ma cominciamo con un po’ di storia. Ci aiuta Enrico Giusti, con un bellissimo articolo intitolato “Matematica e commercio nel Liber Abaci”, pubblicato sul prezioso sito “Il giardino di Archimede – un museo per la matematica” ( accessibile a questo link ). Vi leggiamo:

“Quando il Liber Abaci vide la luce, ottocento anni or sono, la matematica dell’Occidente cristiano era praticamente inesistente: se si eccettuano le traduzioni dall’arabo che alla fine del XII secolo un gruppo di studiosi stava conducendo nella Spagna musulmana, traduzioni che riguardavano soprattutto i grandi classici – Euclide in primo luogo – dell’antichità greca, ben poco circolava in Europa all’inizio del Duecento. Soprattutto ben poco di comparabile per mole e per profondità a quanto Leonardo Fibonacci avrebbe reso pubblico nel 1202.

Nè soccorrono meglio le opere arabe, certo testimoni di una cultura scientifica di tutt’altra consistenza e dalle quali Leonardo per sua stessa ammissione aveva attinto la maggior parte delle sue conoscenze. Ma anche rispetto ai suoi maestri, Fibonacci compie un’opera unica se non per originalità certo per mole: ben pochi trattati d’abaco arabi ci sono pervenuti che possano stare alla pari con quello scritto dal Pisano al termine delle sue peregrinazioni.

Siamo dunque di fronte a un’opera che non ha antecedenti in Europa, e che sfida le sue stesse fonti arabe; un’opera che non ha padri. Naturalmente, non mancano le filiazioni da opere precedenti, e anzi in alcuni tratti il Liber Abaci mostra evidenti le tracce di autori arabi, da al-Khwarizmi ad Abu Kamil; ma è altrettanto evidente che l’opera di Leonardo deriva non da un autore o da una scuola, ma semmai dalla matematica araba nel suo complesso, e che Fibonacci integra in essa tutte le conoscenze acquisite durante il suo apprendistato a Bugia prima, e poi nel corso dei suoi viaggi in tutto il mondo conosciuto”.

Ancora dallo stesso articolo, citiamo le rarefatte note biografiche che il Giusti raccoglie intorno al Fibonacci, tanto famoso quanto avvolto, in definitiva, dal mistero:

“Non c’è nessun documento che attesti la data di nascita di Leonardo. Sappiamo solo che in giovanissima età – “in pueritia mea” scrive nel Liber Abaci – aveva accompagnato a Bugia il padre Guglielmo, che nella dogana della città maghrebina svolgeva le funzioni di “publicus scriba pro Pisanis mercatoribus”, ossia di notaio che curava l’assistenza ai mercanti e forse aveva anche incarichi di rappresentanza. Qui il giovane Leonardo apprese la matematica dell’abaco, forse non più dei primi rudimenti se si deve prestar fede al suo proprio racconto, dove dice essere stato a scuola d’abaco “per aliquot dies”, alla lettera: “per alcuni giorni”. Ma una volta familiarizzatosi con le tecniche dei numeri arabi, non cesserà più di accumulare conoscenze, impadronendosi di quanto si sapeva nei luoghi in cui lo portava la sua attività, o forse più probabilmente il suo desiderio di viaggi e di conoscenze: in Egitto, in Siria, in Grecia, in Sicilia, in Provenza; in breve, in tutto il Mediterraneo.”

Fermiamoci un attimo e cerchiamo di fare il punto nella tempesta d’informazioni che in questi pochi paragrafi ci ha bombardato la mente… raccogliamo alcune parole chiave tra quelle che ci hanno solleticato l’immaginazione e il pensiero …

… ad esempio: “matematica araba” …

… meglio ancora: “numeri arabi” …

… ed ecco un indizio importante: “la matematica dell’abaco” …

… e infine, la vera parola chiave per ricostruire la scena teatrale: “il mondo conosciuto” …

Il mondo conosciuto! Di che cosa stiamo parlando?

Stando alle note del Giusti, il “mondo conosciuto” di Leonardo Pisano comprende – oltre all’algerina Bugia, anche “l’Egitto, la Siria, la Grecia, la Sicilia, la Provenza”. Niente dunque di particolarmente esotico … ma non abbiamo forse saltato qualche passaggio di troppo, nei nostri calcoli?

Facciamo un passo indietro e ripeschiamo un’altra delle nostre parole-chiave: “numeri arabi”.

Numeri arabi! … voi che leggete questo articolo sapete di cosa stiamo parlando?

Probabilmente sì, almeno a grandi linee: tutti sanno che i cosiddetti “numeri arabi” sono in realtà i numeri indiani, adottati appunto dagli Arabi con qualche adattamento e da loro stessi portati anche nella cosiddetta “Europa cristiana” che anche il Giusti come tale menziona.

Tutti sanno anche che i numeri arabi – pardon, i numeri indiani – introducono come una novità nello stesso mondo arabo la notazione posizionale, e ancora più noto è il fatto che proprio grazie alla matematica indiana viene introdotto l’uso dello zero come “numero” – meglio sarebbe dire come cifra.

Ok, d’accordo. E cosa c’entra tutto questo  con l’abaco-o-non-abaco, da cui siamo partiti?…

… vedrete che c’entra, eccome!

Innanzitutto, i detrattori della tesi “abaco sì”, quando dicono “abaco” pensano esclusivamente all’abaco latino o antico-romano, unico retaggio di questo tipo di strumento nella sempre cosiddetta “Europa cristiana”. Certo. Questo ci riporta alla premessa prima di Enrico Giusti, vale a dire “quando il Liber Abaci vide la luce, ottocento anni or sono, la matematica dell’Occidente cristiano era praticamente inesistente”.

In effetti l’abaco romano – peraltro interessantissimo strumento – non era affatto uno strumento “posizionale”, così come non lo era il sistema di numerazione latino che ne rispecchiava nè più nè meno il funzionamento.

Quindi – abaco o non abaco – il “Liber Abaci” di cui Fibonacci, non si riferisce certo, nè direttamente nè indirettamente, allo strumento di calcolo della Città Eterna … ma allora?

allora torniamo alla domanda delle domande: “il mondo conosciuto”!

Urge un’addizione. Facciamola subito. Addizioniamo “Mondo conosciuto” con “Matematica araba”. Otteniamo, usando la proprietà dissociativa, commutativa e associativa dell’addizione: “Matematica” + “Mondo conosciuto dagli Arabi”… cambia qualcosa? … Eccome se cambia!

Il mondo conosciuto dagli Arabi, all’epoca di Fibonacci, in effetti andava un pochino al di là della pur ammirabile cultura del Pisano: di sicuro, abbiamo detto, avevano abbastanza approfondito la familiarità con il mondo indù da riportarne a casa – ed esportarne all’Europa – le conoscenze scientifico-matematiche e non solo. Ma già da diversi secoli erano arrivati fino in Cina, dove la moschea di X’ian, una delle più antiche al mondo, fu fondata da uno dei primi Califfi, nel primo secolo dell’Egira. E d’altra parte, un detto del Profeta Muhammad esorta a “cercare la conoscenza fino in Cina”!

Ebbene, tra il Medioriente e la Cina, decisamente la cultura dell’abaco si trova ben più radicata che non sulle sponde del Mediterraneo. Tutto fa pensare che il mondo arabo, o almeno una parte di esso, avesse effettivamente adottato un abaco simile a quelli orientali piuttosto che non l’abaco latino. E la notazione posizionale – comprendente la cifra dello zero a segnare il posto per le posizioni dell’abaco dove “non succede nulla” – sembra un modo ben congegnato per “simulare” sulla carta le tecniche consolidate sull’abaco, senza aver bisogno di portare con sè il non sempre pratico strumento.

Solo una congettura? Ci sono indizi per dire di no, ma ne parleremo nei prossimi articoli.

I vostri commenti sono i benvenuti, li attendiamo con piacere.

Buon Natale!

Buone Feste da trascorrere nella Pace e nella contemplazione e arrivederci nel nuovo anno.

A’ tous nos amis on souhaite un Joyeux Noel de Paix et de contemplation. A’ nous retrouver dans la nouvelle année.

We wish you all a Merry Christmas of Peace and contemplation, looking forward to meet again you all in the new year.

Santa pazienza!

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Restiamo sul tema Curriculum Inspirations #2, (http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf) da predigerire con meticolosa attenzione nella separazione degli aspetti degni di interesse.

Il primo è certamente quello dell’equazione con valori assoluti in due variabili proposta dal quesito:
|x+y|+|x-y|=2, di cui nell’ultimo post “Una funzione… quadrata”, http://wp.me/p2liCw-3I) abbiamo anticipato il grafico.

Stanton chiede per prima cosa: “che sensazione vi procura la vista di questa equazione?”
Ma noi non ci lasciamo impressionare.

La nostra reazione istintiva è semplicemente un ritroso “noooooo….”, dovuto a cosa?
Analizziamo freddamente:
- al fatto che ci sono i valori assoluti
- al fatto che ci sono due variabili
- al fatto che c’è una stuzzicante simmetria nella struttura dell’equazione, che promette artifici di calcolo e altre bizzarìe alle quali non riusciremo ad esimerci di sottoporci.

I valori assoluti.
Niente di che, c’è una semplice procedura standard per affrontarli. E’ solo lunga e potenzialmente noiosa. Fine.

Le due variabili.
Qui un appunto si, lo dobbiamo fare: chi ci ha mai abituato a lavorare con una sola equazione in due variabili? Ci mancano i riferimenti culturali di base: com’è fatto l’insieme delle soluzioni? Come lo si gestisce?
Reazione istintiva: Aiuto!! Ho un’equazione in due variabili, e niente con cui metterla a sistema!!

La stuzzicante simmetria.
E’ crudelissima, perchè ci stimola a cercare di affrontare l’equazione, ce la rende attraente, impedendoci di fuggire senz’altro indugio il fatidico quesito.

E’ a questo punto che scatta l’ingrediente segreto di ogni buon compito di matematica: la santa pazienza!
Armiamoci di santa pazienza, e – come dice Stanton – cominciamo a fare qualcosa.
Cosa?
Quello che normalmente si fa con i valori assoluti.
Esplicitiamo i diversi casi dei valori assoluti: si tratta di un’operazione puramente algebrica, e forse navigando nella nebbia di questa arriveremo anche a darci la risposta rispetto all’insieme delle soluzioni. Questa prassi di fiducia nella “leggibilità geometrica” del calcolo algebrico, in effetti va trasmessa agli studenti, poichè non è affatto istintiva nè scontata.
La vera lezione, ripetiamo, è la santa pazienza:
Esplicitiamo dunque le 2×2=4 equazioni in cui si scompone il valore assoluto a seconda dei casi:

Caso x+y>=0 e x-y>=0: l’equazione diventa (x+y)+(x-y)=2, ovvero 2x=2, ovvero x=1 …. wow!

Caso x+y>=0 e x-y<0: l’equazione diventa (x+y)+(y-x)=2 ovvero y=1 …. wow wow!

Caso x-y>=0 e x+y <0 : l’equazione diventa -(x+y)+(x-y) =2 ovvero y=-1

Caso x-y < 0 e x+y < 0 : l’equazione diventa -(x+y)-(x-y)=2, ovvero x=-1

Fino a qui, tutto bene: abbiamo ottenuto espressioni semplici: siamo galvanizzati e fiduciosi… ma allora cos’è questo senso di disagio che ancora ci vàriega?

Ma certo: siamo a disagio rispetto agli insiemi di validità delle quattro espressioni.

Allora, riprendiamo dalla cassetta degli attrezzi la santa pazienza e cominciamo ad analizzare il primo:

x+y>=0 e x-y>=0

anche qui le reazioni istintive ci tempestano immediatamente:
domanda 1: ma è possibile che siano vere contemporaneamente queste due espressioni? (Risposta: “lo scopriremo solo vivendo…”, ovvero, portando i calcoli fino in fondo)
domanda 2: ma come si gestisce una disequazione in due variabili? (Risposta lunga: se un’equazione in due variabili ha come insieme delle soluzioni una funzione con un grafico, la disequazione in due variabili avrà come insieme delle soluzioni la parte di piano soprastante o sottostante quel grafico. Risposta breve: la si risolve graficamente)

Quindi evviva, risolviamo graficamente!
… Come si fa?
Riprendiamo la risposta lunga alla domanda 2 e trasformiamola in procedura operativa:
1) Trovare le equazioni associate.
In questo caso sono x+y=0 (ovvero y=-x, bisettrice del II e IV quadrante) e x-y=0 (ovvero y=x, bisettrice del I e III quadrante).
2) Intersecare le parti del piano soprastanti i grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione “>=0″ o sottostanti ai grafici delle equazioni associate nel caso di disequazione <0.

Ma attenzione: quando consideriamo la disequazione, dobbiamo verificare che la sua forma corrisponda a quella dell’equazione associata, altrimenti rischiamo di sbagliare. Ad esempio, nel nostro primo caso la seconda disequazione è x-y >= 0 mentre la nostra equazione in forma esplicita è y=x : i segni delle y non corrispondono. Per poter valutare correttamente il semipiano da considerare nella risoluzione grafica, converrà portare la disequazione nella stessa forma esplicita dell’equazione associata, e visto che y era negativa, il verso della disequazione deve cambiare. Otterremo: y <= x, quindi il semipiano da considerare sarà quello sottostante e non soprastante il grafico dell’equazione.

E ci voleva tanto?

No, solo un po’ di tempo, calma e concentrazione per dedicarsi a questo in modo esclusivo.

Quindi, nel primo caso, intersechiamo il semipiano soprastante la bisettrice del II-IV quadrante con il semipiano sottostante (mi raccomando!!) la bisettrice del I-III quadrante. Otteniamo l’angolo retto compreso tra le due bisettrici contenente il semiasse x positivo.
L’insieme di validità della seconda equazione sarà invece l’angolo tra le due bisettrici contenente il semiasse y positivo. E così via fino a ricomporre tutti e quattro gli spicchi del quadrato.

Passarci un po’ di tempo, vale davvero la pena!

Una funzione… quadrata

Proseguiamo la conversazione sul secondo esercizio svolto della serie “Curriculum Inspirations” a cura di James Stanton, pubblicata dalla Mathematical Association of America al link http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/CurriculumInspirations/essay2.pdf

Nel precedente post abbiamo introdotto questa proposta didattica con alcune doverose osservazioni più generali.

Oggi vorremmo invece prendere spunto dal lavoro di Stanton per proporre un approccio questa volta un po’ diverso dal suo e più vicino invece ai principii ispiratori della cosiddetta “didattica breve”, la quale – ricordiamo – è definita dal suo ideatore come “il complesso di tutte le metodologie che, agli obiettivi della didattica tradizionale (rispetto del rigore scientifico e dei contenuti delle varie discipline), aggiunge anche quello della drastica riduzione del tempo necessario al loro insegnamento e al loro apprendimento”.

Quello che sembra infatti mancare questa volta all’esposizione di Stanton è proprio quella “distillazione dei contenuti” che permetta innanzitutto all’insegnante-animatore della discussione” di condurre quest’ultima in modo da arrivare eventualmente anche in modo rapido all’obiettivo.

Capita infatti spesso che gli studenti – o lo stesso insegnante – abbiano intuizioni magari istintive, imprecise o che non sarebbero capaci di giustificare con rigore dal punto di vista teorico, ma che sono già molto vicine al centro del problema, e soltanto per la mancanza di un’adeguata riflessione preventiva tali intuizioni vengano accantonate oppure usate in modo del tutto inefficace rispetto all’obbiettivo di giungere rapidamente al cuore non solo della risoluzione del problema ma anche della riflessione sulla struttura sottostante.

Soprattutto nel caso di un problema come quello proposto in questo #2 – la discussione di un’equazione con valori assoluti in due variabili – partire dalla soluzione per ricostruire il “percorso breve” che la congiunge con intelligenza e con tutte le soddisfazioni del caso al quesito iniziale è davvero indispensabile per chi poi voglia avventurarsi a proporre tale argomento in classe.

Certo, toglieremo tutta la suspence. Certo, ripuliremo di quell’analisi psicologica ben dipinta da Stanton, più preoccupato forse questa volta, insisto, di procurare “anestesie” per i dolori delle valutazioni nazionali che non di dare indicazioni efficaci ad un corretto uso dell’unità didattica.

Perdendosi invece un’altra analisi psicologica possibile: quella della sorpresa che può suscitare la scoperta che da un’equazione “quadrata” e spigolosa come questa:
|x+y|+|x-y|= L
si possa dedurre un grafico altrettanto spigoloso e “quadrato”: quello per la precisione di un quadrato centrato nell’origine e di lato L.

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

grafico della funzione |x+y| + |x-y| = L con esempio L=2

Introdurre un’unità didattica di questo tipo, tradendo per una volta la fedeltà al format “vi propongo il quiz dell’American Mathematical Competition”, può essere molto più produttivo, aiuta ad affrontare il tabù delle “non funzioni” che incombe sulla nostra didattica della matematica, allargando l’orizzonte alla considerazione del vasto mondo delle equazioni in due variabili e del loro grafico, di cui con un certo imbarazzo gli studenti hanno affrontato soltanto i casi dell’ellisse, dell’iperbole e naturalmente della circonferenza.

Secondo me vale la pena, e l’argomento è decisamente “to be continued”

Curriculum Inspirations #2 – si alza il tiro!

Rompe un po’ la continuità rispetto alla prima delle proposte di problem solving basati su quesiti dell’American Mathematical Competition, a cura di James Stanton e pubblicate dalla Mathematical Association of America, il secondo quesito risolto della collezione.

Se il primo dei problemi proposti, sul quale abbiamo proposto alcune fugaci riflessioni nel mese di Ottobre con l’articolo “Ispirazioni per la didattica” http://wp.me/P2liCw-28 era un esercizio di geometria piana adattabile per riflessioni molto stimolanti a pressochè ogni ordine di scuola, il secondo numero della raccolta propone un quesito decisamente di altro livello, che richiede di tuffarsi subito in “acque alte”.
Mettiamo un attimo da parte l’interesse per il problema, oggettivamente stimolante e carino [per un matematico], e il sempre accattivante stile letterario in cui viene proposta l’attività didattica. Lasciamo stare anche per un momento l’accento che Stanton pone sullo spirito e sul metodo con cui proporre in classe non una “risoluzione” ma una “discussione aperta” sull’argomento.
E’ necessario, mettere per un momento da parte tutto questo, alla luce dei gridi di allarme e delle riflessioni di ben altro ordine che invece in questi giorni attraversano gli Stati Uniti proprio riguardo ai “core standard”, a cui il lavoro di Stanton si propone di attenersi con zelante diligenza.
Viene allora il sospetto che la finalità ultima non sia [soltanto] quella di insegnare modi nuovi e molto più convincenti di affrontare la didattica della matematica. Questo c’è e nessuno lo mette in dubbio, il lavoro resta notevole e degno di approfondimento. Viene però il sospetto che in qualche misura questa proposta di schede didattiche voglia servire da “foglia di fico” per coprire l’inadeguata burocratizzazione che si è voluto imporre alla didattica.
Non vorrei entrare nel merito della discussione visto che la cosa non ci riguarda direttamente, ma credo sia utile riflettere sulla linea di confine tra la sistematizzazione efficace degli obiettivi di apprendimento e una burocratizzazione che invece di essere di supporto allo studente ne diventi l’incubo e lo scoglio insormontabile.
Detto questo, il secondo problema di Stanton merita un articolo a sè. E’ un problema di geometria in due variabili, adatto al massimo al triennio dei licei scientifici e degli istituti tecnici, con risvolti anche di programmazione lineare che per la verità da noi si studia veramente in pochissimi ambienti. Come livello di difficoltà, è forse addirittura più adatto agli studenti universitari. Ma c’è della magia, perchè in poche righe riesce a far vedere come un’antipatica equazione descriva in realtà il contorno di un quadrato.
A presto una presentazione e sarò curiosa di sapere come proponete di utilizzarlo in classe!

(to be continued)

Giochi MateMagici : Ra-giocando

ilripassinodimatematica:

condivido e diffondo volentieri

Originally posted on Attraverso lo Specchio...:

Vorrei segnalarvi  un bellissimo progetto… Ra-Giocando , una mostra interattiva ed itinerante per bambini dai 5 ai 12 anni, realizzata dalle insegnanti del Laboratorio di didattica della Matematica di Rozzano (del Nucleo di Ricerca Didattica dell’Università di Pavia).

E’ creata per bambini della scuola dell’infanzia e della scuola primaria e secondaria di primo grado.

Cito dal sito

E’disponibile per scuole, distretti, comuni, ludoteche, centri estivi con prezzi e modalità da concordare. Il costo indicativo dell’iniziativa è di circa 2/3 euro a bambino (una media di 20 alunni per classe) con la presenza di due animatrici. Si effettuano preventivi gratuiti che dipendono dal numero delle classi, dalla distanza, dall’eventuale pernottamento.   

Nel sito si  trovano le modalità di svolgimento e i requisiti minimi per l’installazione, i percorsi già fatti e tante foto dei laboratori.

Nelle news, il calendario dei corsi di formazione per la scuola Primaria e Secondaria di 1° grado…

View original 44 altre parole

O se del mezzo …

O se del mezzo cerchio far si puote
triangol sì che un retto non avesse

Nel Paradiso di Dante, è di casa la geometria euclidea!

Quelli sopra riportati sono i versi 101 e 102 del tredicesimo Canto, e il buon Dante cita la bella proprietà euclidea dei triangoli in un passaggio che apre in realtà ad una logica metafisica più elevata, dove la domanda di fondo è se si possa andare oltre questo ed altri risultati della più sublime logica terrena.
Resta invariata la domanda: i lettori di Dante erano tutti ferrati in geometria, oppure fu un vezzo del Poeta di inserire un riferimento che fosse inafferrabile anche ai più sofisticati dei filosofi?

Qualunque sia la risposta, massima ammirazione per Dante e per la vastità e precisione delle sue conoscenze!

Sebbene non ci siano studi accademici sull’argomento, è opinione diffusa che le visite ai luoghi d’arte, oltre a integrare la didattica, sviluppino anche negli studenti importanti competenze relazionali, capacità critiche e altre capacità intellettuali forse meno misurabili secondo i moderni parametri scientifici.
Non ci sono studi specifici sull’argomento, tuttavia alcune occasioni informali di sondare questi parametri si sono presentate recentemente. Una è stata colta pochi anni fa negli Stati Uniti, in occasione dell’apertura del Crystal Bridges Museum of American Art a Bentonville, Arkansas.
Ne parla il New York Times con un articolo intitolato “Art Makes You Smart”

Art gets you smart

dove si espongono i risultati dell’osservazione delle competenze cognitive e relazionali sviluppate dagli studenti della zona, alcuni dei quali erano stati a campione selezionati per “vincere” visite gratuite al nuovo museo appena inaugurato.
“Possiamo concludere” – scrive l’autore dell’articolo – “che visitare un museo d’arte espone gli studenti a una diversità di idee che li sfida a confrontarsi con diverse prospettive della condizione umana. Espandere l’accesso all’arte, che sia con programmi scolastici o con visite a musei e gallerie d’arte, dovrebbe essere una voce centrale di qualunque curricolo scolastico”.

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